12. Zastosowania rachunku różniczkowego cd

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”
realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna
Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik
12. Zastosowania rachunku różniczkowego c.d.
Ćw. 12.1 Podchodzący do lądowania samolot porusza się po łuku paraboli w ten sposób,
że w miejscu lądowania trajektoria lotu jest styczna do płyty lotniska. W jakiej odległości od wieży kontrolnej wyląduje samolot, jeżeli w odległości D = 9 km znajdował
się on na wysokości H = 400 m, a w odległości d = 6 km był na wysokości h = 100
m.
Ćw. 12.2 Taśmociąg przenosi piasek z wydajnością w = 1 m3 /min. Z piasku tworzy się
kopiec w kształcie stożka o kącie α = π/4 nachylenia tworzącej do podstawy. Oblicz,
z jaką prędkością wzrasta wysokość kopca w chwili, gdy osiągnie wysokość H = 3 m.
Ćw. 12.3 Balon wznosi się ze stałą prędkością v = 3 m/s. Na dnie kosza balonu zamontowany jest aparat do zdjęć kartograficznych. Kat widzenia aparatu jest równy
2α = 60◦ . Oblicz, z jaką prędkością zmienia się pole fotografowanego obszaru, gdy
balon jest na wysokości H = 300 m.
Ćw. 12.4 Gumowy balon ma kształt kuli o objętości początkowej V0 = 40 m3 . Do balonu
wtłacza się powietrze z szybkością p = 1 m3 /s. Oblicz, z jaką szybkością powiększać
się będzie średnica balonu po 24 s. Załóż, że ciśnienie powietrza w balonie jest stałe.
Ćw. 12.5 Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX pod wpływem zmiennej siły. Położenie x(t) tego punktu w chwili t jest opisane wzorem
x(t) = t3 − 3t2 + t + 5.
Znajdź położenie punktu w chwili, w której siła działająca na niego jest równa 0.
Ćw. 12.6 Punkt materialny porusza się ze zmienną szybkością wzdłuż osi OX. Położenie
tego punktu w chwili t jest opisane wzorem
x(t) = 3 · 2t − 2−3t .
Oblicz przyspieszenie punktu w chwili, w której jego szybkość jest równa 0.
Ćw. 12.7 Sprawdź, czy do wykresu funkcji f : [−1, 1] → R, f (x) = x(x2 − 1) można
poprowadzić styczną równoległą do osi OX.
Ćw. 12.8 Korzystając z twierdzenia Lagrange’a, udowodnij nierówności
1
x
< ln(1 + x) < x, x > 0,
x+1
b) ex > 1 + x, x > 0,
a)
c) n(b − a)an−1 < bn − an < n(b − a)bn−1 dla 0 < a < b, n ∈ N \ {1}.
Ćw. 12.9 Uzasadnij równości
x
1
√
=
arccos
dla każdego x ∈ [0, ∞),
1 + x2
1 + x2
2x
1
b) arctan x = arctan
dla każdego x ∈ (−1, 1),
2
1 − x2
π
1−x
c) arctan x = − arctan
dla każdego x ∈ (−1, ∞).
4
1+x
a) arcsin √
Na podstawie:
M. Gawert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania. Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002.
2