Zadanie 1. Wykazac, ˙ze jesli liczby rzeczywiste x 1,x2,...,xn nale˙za
Transkrypt
Zadanie 1. Wykazac, ˙ze jesli liczby rzeczywiste x 1,x2,...,xn nale˙za
Seria na styczeń 2003 (grupa ”STARSZYCH”) Zadanie 1. Wykazać, że jeśli liczby rzeczywiste x1 , x2 , . . . , xn należa, do przedzialu [0, 1], to ! ! n q n X X n2 xi n− n− 1 − x2i ≤ . 4 i=1 i=1 Zadanie 2. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n oraz nieujemnej liczby calkowitej k równanie x31 + x32 + · · · + x3n = y 3k+2 ma nieskończenie wiele rozwiazań w liczbach naturalnych xi oraz y. , Zadanie 3. Wykazać, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność aa bb cc ≥ (abc) a+b+c 3 . Zadanie 4. Dla liczby a z przedzialu (0, 1) definiujemy funkcje, f : [0, 1] → R wzorem ( 0 jeśli 0 ≤ x ≤ a, p f (x) = √ 2 1 − ( ax + (1 − a)(1 − x)) jeśli a ≤ x ≤ 1. oraz ciag , {an } kladac , a1 = f (1) oraz an = f (an−1 ), dla n > 1. Udowodnić, że ak = 0 dla pewnej liczby naturalnej k. Zadanie 5. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x1 , x2 , . . . , xn spelniajace uklad równań , 4x2 1 = x2 1+4x21 2 4x 2 1+4x2 = x3 2 ................. 4x2n−1 = xn 2 1+4x n−1 2 4xn = x1 1+4x2 n Zadanie 6. Niech f (n) oznacza liczbe, permutacji a1 , a2 , . . . , an liczb 1, 2, . . . n takich, że (a) a1 = 1, (b) |ai − ai+1 | ≤ 2, dla i = 1, 2, . . . , n − 1. Wykazać, że ciag , reszt z dzielenia przez 3 liczb f (n) jest okresowy i obliczyć reszte, z dzielenia przez trzy liczby f (2003). Zadanie 7. Niech danym ciagiem dodatnich P liczb wymiernych takim, że , , Pm r1 , r2 , . . . , rm bedzie m r = 1. Dla liczby naturalnej n niech f (n) = n − k=1 k k=1 [rk n], gdzie [x] oznacza cześć calkowita, liczby x. Wyznaczyć najwieksz a, i najmniejsza, wartość funkcji f (n). , , Zadanie 8. Wewnatrz kwadratu o boku 1 narysowano nie przecinajac , , a, sie, ze soba, lamana, o dlugości 1000. Wykazać, że istnieje prosta równolegla do pewnych boków kwadratu przecinajaca lamana, w przynajmniej 500 punktach. , Zadanie 9. Wewnatrz kwadratu o boku 1 narysowano lamana, o dlugości l tak, że każdy punkt , kwadratu jest oddalony od pewnego punktu lamanej o nie wiecej niż ( jest pewna, , π 1 − . liczba, dodatnia). Wykazać, że l ≥ , 2 2 Zadanie 10. Wewnatrz kwadratu o boku 1 umieszczono n2 punktów. Wykazać, że istnieje lamana , zawierajaca wszystkie umieszczone punkty, której dlugość jest nie wieksza niż: a) , , 2n + 1, b)∗ 2n. 1 Zadanie 11. Wewnatrz kwadratu o boku 100 polożona jest lamana L taka, że każdy punkt kwadratu , jest oddalony od L o nie wiecej niż 0, 5. Wykazać, że lamana L zawiera dwa punkty , odlegle od siebie o nie wiecej niż 1, ale droga wzdluż lamanej lacz te punkty ma , aca , , dlugość nie mniejsza, niż 198. maja, dlugości a i b. Zadanie 12. Rzuty prostokatne wielokata W na osie ukladu wspó√ lrzednych , , , Wykazać, że wielokat 2(a + b). , W ma obwód nie mniejszy niż Zadanie 13. Wewnatrz wielokata foremnego A1 A2 . . . An wybrano punkt O. , , pewnej pary liczb i, j ∈ {1, 2, . . . n} zachodza, nierówności 1 π 1− ≤ ∠Ai OAj ≤ π. n Wykazać, że dla Zadanie 14. Siedmiokat o leży , A1 A2 . . . A7 jest wpisany w okrag , o. Wykazać,że jeśli środek okregu , wewnatrz siedmiok ata, to suma k atów przy wierzcho lkach A , A i A jest mniejsza 1 3 5 , , , od 450◦ . Zadanie 15. Przekatne wypuklego czworokata maja, dlugości 2a i 2b. Wykazać, że przynajmniej , , √ 2 + b2 . a jeden z boków tego czworokata ma d lugość nie mniejsz a niż , ,