1. Oblicz kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi ostrosłupa

1. Oblicz kąt między sąsiednimi krawędziami bocznymi ostrosłupa foremnego o podstawie kwadratu o
boku a i wysokości h = a/3 (korzystając z iloczynu skalarnego).
2. Oblicz iloczyn wektorowy ~r × ~v dla t = π, gdy wektor położenia ~r zależy od czasu w następujący
sposób:
~r(t) = t cos(t)~i + t sin(t)~j + t~k,
a wektor prędkości ~v jest jego pochodną po t.
3. Opisz (naszkicuj) obszar zadany we współrzędnych sferycznych:
{(r, φ, θ) : r ≤ 10, φ ∈ (0, 2π), θ ∈ (−π/2, π/3)}
4. Podaj zbiór rozwiązań układu równań:

 



1 2 3
x
0


 


 0 1 2 · y = 0 
0 0 0
z
0
W zadaniach 5,6,7 do otrzymanego układu równań zastosuj metodę macierzową (wzory
Cramera lub eliminacja Gaussa-Jordana). We wszystkich zadaniach w przypadku liczenia
wyznacznika, stosować metodę Laplace’a ze wskazaniem optymalnego rozwinięcia
5. Sprawdź, czy podane wektory są liniowo niezależne.
• (1, 2, 0, 1), (0, 1, 2, 0) (1, 0, 0, 2) (1, 0, 2, 0) w R4
• (2, 2, 0, 1), (0, 1, −2, 1) (1, 1, 0, 2) (2, 0, 4, −4) w R4
6. Wektor (1, 2, −1, −2) przedstaw jako kombinację liniową wektorów:
(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 1, 0)
7. Sprawdź, czy podane wektory tworzą bazę w R4 .
(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 0, 1, 0)
Uwaga: Układ wektorów tworzy bazę gdy: (1) jest liniowo niezależny, (2) każdy element przestrzeni
da się zapisać jako kombinację liniową tych wektorów. Jeśli mamy przestrzeń R4 i mamy 4 wektory, to
wystarczy sprawdzić jeden z tych warunków. Jeśli w poleceniu jest sprawdź z definicji, to sprawdzamy
oba warunki.
8. Wyznacz macierz odwrotną (a) metodą dopełnień algebraicznych, (b) metodą eliminacji Gaussa.


2 3 1


 0 1 0 
3 4 1
9. Rozwiąż układ równań (a) za pomocą macierzy odwrotnej, (b) za pomocą wzorów Cramera, (c) metodą
eliminacji Gaussa.

x+t
= 5



 x+z−t = 5

−2y + t = 5



y + 2z = 5