Twierdzenie o wzajemności

WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
1
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 7
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCIACH
TWIERDZENIE BETTIEGO (o wzajemności prac)
Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny, ale o
niepodatnych podporach i przy braku naprężeń termicznych, działa układ sił i
momentów skupionych. Obciążenia te rozdzielić można, w sposób dowolny, na dwie
grupy, z których jedną nazwiemy układem sił Pi a drugą układem sił Pk (przez „siły”
rozumieć należy zarówno siły uogólnione).
Sytuacja pierwsza A: Najpierw przykładamy siłę Pi, a następnie siłę Pk.
Obkaśnienia:
Punkt i - zestaw punktów poddany obserwacjom,
Pi
- układ sił (moment, siła skupiona itd.) działających na punkt i,
∆jn
- przemieszczenie punktu j wywołane przyczyną w pkt n,
∆jn
- przemieszczenie punktu j wywołane jednostkową przyczyną w pkt n,
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
2
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Najpierw przykładamy grupę sił Pi a następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił Pk.
Praca sił zewnętrznych w sytuacji A:
A
Lz =
1
Pi vi
2
P
Lz
A
i
1

1

=  Pi ∆ ii  +  Pk ∆ kk + Pi ∆ ik 
2

2

(6.1)
Pk
Sytuacja druga B: Najpierw przykładamy siłę Pk, a następnie siłę Pi
Siły przykładamy podobnie jak w poprzednim wypadku z tą różnicą, że najpierw
przykładamy grupę sił Pk, a następnie do tego stanu wprowadzamy grupę sił Pi. Praca sił
zewnętrznych od sytuacji B:
Lz
B
1

=  Pk ∆ kk 
2

Pk
1

+  Pi ∆ ki + Pk ∆ ki 
2

Pi
(6.2)
linia A=linia B
Zgodnie z zasadą superpozycji oraz faktem, że wartość pracy nie zależy od historii
(kolejności działania przyczyn) obciążeń można zapisać:
A
Lz = Lz
B
Pi ∆ ik = Pk ∆ ki
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
(6.3)
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
3
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Twierdzenie:
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne układy obciążeń, spełniające
równania równowagi to: układ sił Pi wykonuje na przemieszczeniach
wywołanych układem sił Pk taką samą pracę jak siły Pk na przemieszczeniach
spowodowanych układem sił Pi.
TWIERDZENIE MAXWELLA (o wzajemności przemieszczeń)
Rozpatrzmy dowolny układ statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny. Załóżmy
obciążenia:
Pierwszy typ obciążenia: Niech na układ działa siła jednostkowa Pk=1, skierowana w
kierunku przesunięcia δki. Drugi typ obciążenia: Na układ działa siła jednostkowa
Pi=1, skierowana w kierunku przesunięcia δik.
Załóżmy, że podpory nie osiadają, a temperatura nie zmienia się, tak że mamy do
czynienia wyłącznie z naprężeniami wywołanymi obciążeniem zewnętrznym. Między
przesunięciami δik i δki zachodzi szczególny związek.
Przykłąd 1:
φ
Do danej belki przykładamy jednostkowe obciążenia; w punkcie „i” jednostkową siłę
Pi=1 a w punkcie „k” jednostkowy moment Mk=1. korzystając z wyżej przedstawionego
twierdzenia Bettiego można zapisać zależność:
Pi ∆ ik = M k ϕ
Warto zauważyć, że kąt obrotu na którym pracuje moment to nic innego jak ∆ki.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
(6.4)
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
4
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Przyjmując, że układy sił obciążających są jednostkowe, przemieszczenia zapisujemy
następująco:
∆ ik = δ ik
(6.5)
ϕ = ∆ ki = δ ki
Wykorzystując powyższe założenia otrzymamy:
Pi ∆ ik = M k ∆ ki
(6.6)
δ ik = δ ki
Przykład 2:
Do kratownicy przyłożono siłę jednostkową w puncie 1, która wywołała
przemieszczenie w punkcie 2. Następnie do tej samej kratownicy przyłożono siłę
jednostkową w puncie 2, która wywołała przemieszczenie punktu 1. Zgodnie z
powyższym twierdzeniem przemieszczenia punktu 1 i 2 są sobie równe.
u
z
Twierdzenie:
Przemieszczenie uogólnione δik odpowiadające i-tej sile uogólnionej i
wywołane działaniem jednostkowej siły uogólnionej Pk=1 jest równe
przemieszczeniu δki odpowiadającemu k-tej sile uogólnionej i
wywołanemu działaniem jednostkowej siły uogólnionej Pi.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
MECHANIKI BUDOWLI
Z
5
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
TWIERDZENIE RAYLEIGHA (o wzajemności reakcji)
uk
Ciało odkształcalne przedstawione na rysunku:
ui
Zakładamy ogólny przypadek konstrukcji statycznie niewyznaczalnej. Przypuśćmy
wymuszenie kinematyczne ui po kierunku podpory „i” (rys 1). Następnie założymy
wymuszenie kinematyczne uk po kierunku podpory k (rys 2). Przemieszczenia podpór
przyjmijmy za jednostkowe. Zgodnie z twierdzeniem Bettiego można zapisać pracę
pierwszego układu :
Rki ⋅ u k + R' ( I ) ⋅0 + R' ( II ) ⋅0 + Rii ⋅ 0 = Rki ⋅ 0 + R' ( I ) ⋅0 + R' ( II ) ⋅0 + Rii ⋅ u i (6.7)
Przemieszczenia można przyjąć jako jednostowe:
u i = 1i
u k = 1k
(6.8)
Podstawiając przyjęte przemieszczenia do wzoru (6.7) otrzymamy:
Rki ⋅ 1k = Rii ⋅ 1i
rki = rik
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
(6.9)
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
6
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Zgodnie z przyjętą konwencją reakcje od jednostkowych przemieszczeń zapisujemy
małą literą podobnie jak przemieszczenia od jednostkowych reakcji.
Twierdzenie:
Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu przemieszczeniu
uogólnionemu a wywołana jednostkowym przemieszczeniem uk=1 k-tego
więzu, równa jest uogólnionej reakcji rki odpowiadającej u-temu
przemieszczeniu uogólnionemu w wywołanej jednostkowym
przemieszczeniem ui i-tego więzu.
TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI PRZEMIESZCZEŃ REAKCJI
Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub niewyznaczalny, przy
braku naprężeń termicznych, działa najpierw układ sił Pi. Zapiszemy pracę tego układu
jako L(z)1. Następnie załóżmy podatność jednej podpór np. kąta obrotu i zapiszmy jego
pracę jako L(z)2.
Mki
HBi
Hki
Vki
Lz
(I )
VBi
= Vki ⋅ 0 + H ki ⋅ 0 + M ki ⋅ ∆ kk + VBi ⋅ 0 + H Bi ⋅ 0 + Pi ⋅ ∆ ik
(6.10)
Mkk
HBk
Hkk
Vkk
Politechnika Poznańska®
VBk
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
WYKŁADY
Z
MECHANIKI BUDOWLI
7
TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
Lz
( II )
= Vkk ⋅ 0 + H kk ⋅ 0 + M kk ⋅ 0 + VBk ⋅ 0 + H Bk ⋅ 0
(6.11)
Zgodnie z zasadą superpozycji oraz faktem, że wartość pracy nie zależy od kolejności
działań przyczyn praca jednego układu i drugiego są sobie równe:
Lz
(I )
= Lz
( II )
M ki ⋅ ∆ kk + Pi ⋅ ∆ ik = 0
k
(6.11)
Przyjmujemy, że siła i przemieszczenie są jednostkowe:
Pi = 1
∆ kk = 1
(6.12)
Wykorzystując zależności (6.11) i (6.12) otrzymujemy:
M ki ⋅ 1k + 1i ⋅ ∆ ik = 0
mki = −δ ik
(6.13)
rki = −δ ik
Twierdzenie:
Jeżeli na ustrój sprężysty w punkcie i działa układ sił Pi=1 wywołuje w
punkcie k reacje i niezależnie od tego jeśli uogólnione przemieszczenie
∆k podpory k-tej towarzyszy pojawienie się w punkcie i przemieszczenia
δik to rzut reakcji rki na kierunek przemieszczenia ∆ik jest równy rzutowi
przemieszczenia ∆ik na kierunek uogólnionej siły Pi z przeciwnym
znakiem.
Politechnika Poznańska®
Kopacz, Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber