Liczby rzeczywiste - NaszeMiasto.pl

MATURA
2012
Powtórka do matury
z matematyki
Część I: Liczby rzeczywiste
ODPOWIEDZI
Organizatorzy: MatmaNa6.pl,
naszemiasto.pl i Dziennik Zachodni
Witaj,
otrzymałeś
już
powtórkowych
pierwszą
do
matury
z
dziesięciu
z
matematyki.
części
Tutaj
materiałów
znajdziesz
rozwiązania udostępnionych tam zadań. W każdy poniedziałek pod
adresem
http://naszemiasto.pl będą dostępne kolejne części
powtórki.
Powodzenia,
Redaktorzy portalu MatmaNa6.pl
Dziennikarze naszemiasto.pl i Dziennika Zachodniego
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
2/9
Liczby rzeczywiste
Zadanie 1:
Rozwiązaniami równania ∣ x−3∣=5 są liczby:
a  x=−2 i x=8
b x=2 i x=8=7
c  x =−3 i x=0
d  x=−1 i x=2
Rozwiązanie:
Prawidłowa odpowiedź: a).
∣x−3∣=5
Opuszczamy wartość bezwzględną i rozwiązujemy równania:
x−3=5
x=8
lub
x−3=−5
x=−2
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania x=−2 i x=8 .
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
3/9
Zadanie 2:
Liczba 15 stanowi 5% liczby x . Oznacza to, że liczba x jest równa:
a  300
b 187
c  120
d  90
Rozwiązanie:
Prawidłowa odpowiedź: a). Ponieważ 5% liczby x jest równe 15 , to
prawdziwe jest równanie:
0,05 x=15
15
x=
0,05
x=300
Zadanie 3:
Największy wspólny dzielnik liczb 216 i 328 , to
a 2
b 5
c 8
d  24
Rozwiązanie:
Prawidłowa odpowiedź: c). Rozkładamy obie liczby na czynniki.
216=2· 2·2 ·3·3 ·3
328=2· 2· 2· 41
Zatem największy wspólny dzielnik, to NWD 216,328=2⋅2⋅2=8 .
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
4/9
Zadanie 4:
Po zamianie liczby
0,56 na ułamek zwykły otrzymamy
a  16/98
b
12
99
c
56
99
d  23/ 33
Rozwiązanie:
Prawidłowa odpowiedź: c). Zamieniamy ułamek okresowy na ułamek zwykły.
Wprowadzamy oznaczenie x=0,56 . Wtedy 100x=56,56 .
100x− x=56,56−0,56
99x=56
56
x=
99
Zadanie 5:
Zaznacz prawdziwe zdanie:
a  Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną.
b
1
4 jest przykładem liczby całkowitej.
c  Każdą liczbę niewymierną można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
d  Liczba  nie jest liczbą rzeczywistą.
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
5/9
Rozwiązanie:
Prawidłowa odpowiedź: a).
Zadanie 6:
Oblicz
1
1
1
1
1
1
= −

...
wiedząc, że
.
n n1 n n1
2⋅3 3⋅4
19⋅20
Rozwiązanie:
Korzystamy z podanej zależności
1
1
1
= −
. Stąd otrzymujemy:
nn1 n n1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 1 1 10 1
9

...
= −  − ... − = − = − =
2⋅3 3⋅4
19⋅20 2 3 3 4
19 20 2 20 20 20 20
.
Zadanie 7:
Oblicz log log 6 325log 6 3log 2 .
Rozwiązanie:
log log6 325 log6 3log 2=log log6 2 55 log6 3log 2=
=log 5log6 25log 6 3log 2=log 5log6 2log6 3log 2=
=log 5 log 6 2⋅3log 2=log5 log6 6log 2=log 5log 2=
=log5⋅2=log 10=1
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
6/9
Zadanie 8:
Wiedząc, że
A=[−3,4 ,
B=−∞ , 10  i C =0,∞ wyznacz  A∩B∖C
Rozwiązanie:
Wyznaczamy
Zatem
A∩B . Są to liczby, które należą jednocześnie do obu przedziałów.
A∩B=[−3,4  . Kolejnym krokiem jest wyznaczenie zbioru  A∩B ∖C ,
czyli tych liczb, które należą do
to zatem liczby
A∩B=[−3,4  , ale nie należą do zbioru C . Są
 A∩ B∖ C =[−3,0 ] .
Zadanie 9:
Pan Kowalski założył lokatę w wysokości 2000 zł na okres dwóch lat. Jaka będzie
wartość kapitału Pana Kowalskiego po upływie tego okresu, jeżeli oprocentowanie
lokaty wynosi 6% w skali roku, a odsetki są kapitalizowane dwa razy w ciągu
roku?
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
7/9
Rozwiązanie:
Obliczając wartość kapitału po zakończeniu lokaty, korzystamy ze wzoru:

r
K n=K 0 1
m

n⋅m
,
gdzie
K 0 - początkowa wartość kapitału,
r - roczna stopa procentowa ( podana jako wartość dziesiętna),
m - ilość kapitalizacji odsetek w ciągu roku,
n - ilość lat.
Z danych zadania odczytujemy, że: K 0=2000 zl , n=2 , r=6 %=0,06 ,
m=2 . Obliczamy wartość kapitału po upływie dwóch lat:

0,06
K A=2000 1
2

2⋅2
=2000⋅1,034≈2251zł
Zadanie 10:
Wykaż, że jeżeli od liczby trzycyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy
liczbę podzielną przez 9 .
Rozwiązanie:
Oznaczmy dowolną liczbę trzycyfrową jako 100a10bc. Po odjęciu od tej liczby
sumy jej cyfr otrzymamy
100a10bc−a−b−c=99a9b=911ab ,
co kończy dowód.
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
8/9
Kolejna porcja zadań, tym razem z wyrażeń algebraicznych dostępna będzie w
poniedziałek pod adresem
http://www.naszemiasto.pl
Szczegółowe wyjaśnienia zagadnień z działu liczby rzeczywiste, które pomogą Ci
w rozwiązaniu powyższych zadań znajdziesz na stronie
http://matmana6.pl/tablice_matematyczne/liceum
Wszelkie uwagi, komentarze na temat powtórki maturalnej można kierować na
adres [email protected].
Redaktorzy serwisu MatmaNa6.pl prowadzą Darmowy
Kurs Maturalny z matematyki na poziomie podstawowym
i rozszerzonym, który składa się z ponad 70 lekcji. Każda
lekcja zawiera:
1. omówienie wybranego zagadnienia,
2. ćwiczenia interaktywne,
3. przykłady zadań,
4. zadania maturalne do samodzielnego rozwiązania,
5. rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji.
Kliknij aby zapisać się na kurs.
Powtórka maturalna > Część I: Liczby rzeczywiste.
9/9