Praca - Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej

Transkrypt

Spis treści
Wstep
¾
2
1 WIADOMOŚCI OGÓLNE
1.1 Krótki zarys historii Babilonii. . . . . . . . . . . .
1.2 Źród÷
a wiedzy matematyki babilońskiej. . . . . . .
1.3 Pismo klinowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Geneza i powstanie pisma klinowego. . . .
1.3.2 System sześćdziesietny.
¾
. . . . . . . . . . .
1.4 Dzia÷
ania arytmetyczne w numeracji. . . . . . . .
1.4.1 Dodawanie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
.
1.4.2 Odejmowanie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
1.4.3 Mnoz·enie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
. .
1.4.4 Dzielenie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
7
7
7
9
9
9
9
10
2 LICZBY PITAGOREJSKIE
2.1 Informacje ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Znajdowanie trójkatów
¾
pitagorejskich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 W÷
asności trójkatów
¾
pitagorejskich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Trójkaty
¾ pitagorejskie o bokach mniejszych od 100. . . . . . . . 18
Trójkaty
¾ pitagorejskie, których dwa boki sa¾ kolejnymi liczbami.
19
Podzielność przez 3 albo przez 5 jednego z boków trójkata
¾ pitagorejskiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.4 Trójkaty
¾ pitagorejskie o tym samym obwodzie. . . . . . . . . . . 26
2.3.5 Trójkaty
¾ pitagorejskie o jednakowych polach. . . . . . . . . . . . 26
2.3.6 Trójkaty
¾ pitagorejskie, których jeden lub wiecej
¾ boków sa¾kwadratami
liczb naturalnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.7 Trójkaty
¾ prostokatne,
¾
których boki sa¾ odwrotnościami liczb naturalnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Sposób Vogelera na znajdowanie liczb pitagorejskich. . . . . . . . . . . 32
2.5 Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 Co to takiego? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2 Liczbowy algorytm uz·ywany przy konstrukcji tablicy. . . . . . . 39
2.5.3 Ograniczenia na parametry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.4 Analiza b÷
edów
¾
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 LICZBY BABILOŃSKIE
3.1 Zadanie z teorii liczb. . . . . . .
3.2 De…nicje i twierdzenia . . . . .
3.2.1 Zwiazek
¾ miedzy
¾
liczbami
3.3 Zadania. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
pitagorejskimi a babilońskimi.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
51
53
54
60
63
1
Wstep
¾
O ile moz·na sadzić
¾
z poznanych dotad
¾ tekstów, matematyka w staroz·ytnym Babilonie,
choć tak daleka od idea÷
u nauki dedukcyjnej, osiagn
¾ e÷
¾ a niewatpliwie
¾
wysoki poziom, a
odkrycia dokonane przez babilońskich pisarzy zdumiewaja¾ do dziś swoim zasiegiem.
¾
To tu po raz pierwszy powsta÷system oparty na zasadzie pozycyjnej i, później,
na pos÷
ugiwaniu sie¾ symbolem zera. Tu równiez· po raz pierwszy powsta÷
a algebra
równań liniowych i kwadratowych, a nawet zajmowano sie¾ najprostszymi równaniami
wyz·szych stopni. Jeśli do tego dodamy odkrycie twierdzenia Pitagorasa i poczatków
¾
nauki o wielokatach
¾
foremnych w zakresie geometrii, oraz postawienie i rozwiazanie
¾
pierwszych zadań z teorii liczb, to duz·e znaczenie matematyki babilońskiej nie moz·e
budzić watpliwości.
¾
Nie ulega tez· watpliwości,
¾
z·e matematyka staroz·ytnego Babilonu mia÷
a istotny
wp÷
yw na późniejszy rozwój matematyki. Numeracja sześćdziesietna
¾
stosowana przez
matematyków babilońskich, ma swe odzwierciedlenie w arytmetyce u÷
amków i podziale
ko÷
a, którym pos÷
ugujemy sie¾ jeszcze dziś. Staroz·ytni Grecy - którym przypisywane
sa¾ najwieksze
¾
zas÷
ugi w dziedzinie matematyki dedukcyjnej - zaczeli
¾ od badania tych
problemów, którymi juz· od dawna zajmowali sie¾ Babilończycy, od w÷
¾
prostokatnych
¾
i wielokatów
¾
foremnych, twierdzenia Pitagorasa i liczb pitagorejskich, od
zadań na równania kwadratowe i postepów.
¾
To w÷
aśnie twierdzenia Pitagorasa, liczb pitagorejskich, oraz pewnego ich uogólnienia w postaci liczb babilońskich, bedzie
¾
dotyczy÷
a niniejsza praca. Zagladaj
¾ ac
¾ do
źróde÷matematyki staroz·ytnego Babilonu, poprzez analize¾ matematycznych tekstów
klinowych dowiemy sie¾ skad
¾ wzie÷
¾ y sie¾ owe liczby, do czego je wykorzystywano oraz
jaki by÷algorytm ich wyliczania. Na podstawie owych tekstów klinowych oraz zgromadzonych materia÷
ów postaramy sie¾ przekazać i ujać
¾ - w postaci sformu÷
owanych
twierdzeń, algorytmów i de…nicji - matematyczny dorobek Babilończyków, w zakresie
stosowania i obliczania liczb pitagorejskich i babilońskich. W zwiazku
¾
z powyz·szym w
niniejszej pracy oprócz zagadnień matematycznych, w postaci róz·nego rodzaju twierdzeń
i de…nicji, znajdziemy równiez· analize¾ matematycznych tekstów klinowych, czyli glinianych tablic z okresu starobabilońskiego. Aby tego dokonać nauczymy sie¾ najpierw
pisma klinowego, oraz systemu sześćdziesietnego,
¾
stosowanego przez matematyków babilońskich.
I tak opierajac
¾ sie¾ na analizie symboli liczb oraz wspomnianych wyz·ej tablic sformu÷
owana zosta÷
a hipoteza o genezie powstania i rozwoju pisma klinowego wraz z ogólna¾
charakterystyka¾pisma. Mowa jest równiez· o numeracji sześćdziesietnej
¾
pozycyjnej, przy
uz·yciu której zapisywano wiekszość
¾
tekstów matematycznych. Z numeracja¾ta¾zwiazana
¾
jest technika wykonywania dzia÷
ań arytmetycznych. Zosta÷
a ona zapisana - w oparciu
o ksia¾z·ki: A. P. Juszkiewicza [[5], str. 42], Sz. Wekslera [[13], str.30-40], oraz J. Friberg
[[3], str. 315] -wraz ze stosowanymi środkami pomocniczymi w postaci róz·nego rodzaju
tablic.
W dalszej cześci
¾ rozwaz·ane sa¾ liczby pitagorejskie, czyli rozwiazania
¾
w liczbach naturalnych równania x2 +y 2 = z 2 : Analizujac
¾ prace W. Sierpińskiego [[10], [11]] przedstawione zosta÷
y sposoby wyliczania i znajdowania trójek liczb pitagorejskich róz·nymi
metodami oraz podano niektóre w÷
asności liczb pitagorejskich w postaci twierdzeń,
2
uwag i wniosków. Rozwaz·ania nad liczbami pitagorejskimi kończy analiza opublikowanej
w 1945 roku tablicy matematycznej Plimpton 322, zawierajacej
¾ zbiór liczb pitagorejskich. W zwiazku
¾
z publikacja¾wspomnianej tablicy, powsta÷
o zagadnienie rekonstrukcji
stosowanego algorytmu, na którym oparte by÷
o wyznaczenie liczb pitagorejskich. Problem ten jest nadal dyskusyjny. Tu zosta÷potraktowany szerzej, na tle ca÷
okszta÷
tu
treści i metod matematyki babilońskiej. W analizie tego niezwyk÷
ego unikatu matematycznego tekstu niezmiernie pomocne okaza÷
y sie¾ prace takich matematyków jak: O.
Neugebauer [[7], [8]], A. Sachs [8], J. Friberg [3]. W konsekwencji zosta÷
y zwery…kowane
hipotezy dotyczace
¾ algorytmu, wskazane zosta÷
y tablice, na których przypuszczalnie
oparte by÷
y obliczenia, oraz dokonano analizy b÷
edów
¾
zawartych w tablicy.
Jako w÷
asny wk÷
ad zamieści÷
am udowodnione przeze mnie twierdzenia 20 i 21, dotyczace
¾ znajdowania liczb wzglednie
¾
pierwszych. Ponadto dokona÷
am poprawek znalezionych b÷
edów
¾
dotyczacych
¾
analizy tablicy Plimpton 322 w pracach Szymona Wekslera
i Johna Conwaya, jak równiez· podaje¾ wszystkie dok÷
adne wyliczenia zwiazane
¾
z technika¾wykonywania dzia÷
ań rachunkowych i arytmetycznych w systemie sześćdziesietnym
¾
pozycyjnym.
Kolejna cześć
¾ pracy poświecona
¾
jest rozwaz·aniom nad pewnym uogólnieniem problemu liczb pitagorejskich w postaci rozwiazań
¾ w liczbach naturalnych równania x2 +z 2 =
2
2y ; zwanych liczbami babilońskimi. W ich analizie zosta÷
o zastosowane to samo podejście, co w pierwszej cześci.
¾
Sformu÷
owane zosta÷
y twierdzenia i de…nicje oraz przedstawiono analize¾ tablic z rozwiazaniami
¾
zadań geometrycznych - w oparciu o prace¾ Sz.
Wekslera [13] - majacych
¾
na celu wyliczenie liczb babilońskich.
W zwiazku
¾
z ograniczona¾ literatura¾ dotyczac
¾ a¾ analizy liczb babilońskich , jako
w÷
asny wk÷
ad przede wszystkim zaliczyć moge¾ wiekszość
¾
zamieszczonych w tym rozdziale
twierdzeń i dowodów. Znajdujac
¾ zalez·ność pomiedzy
¾
liczbami pitagorejskimi i babilońskimi sformu÷
owa÷
am i udowodni÷
am twierdzenia o znajdowaniu liczb babilońskich
tj. twierdzenia, które w niniejszej pracy zapisane zosta÷
y jako twierdzenia odpowiednio:
32, 33, 34. W oparciu o powyz·sze twierdzenia dokona÷
am równiez· wszelkich obliczeń
liczb babilońskich, zamieszczajac
¾ wyniki w tabeli nr.9. Ponadto rozwiazuj
¾ ac
¾ zadanie
z teorii liczb - jakim zajmowali sie¾ staroz·ytni matematycy babilońscy- pokaza÷
am i
udowodni÷
am zalez·ności teorio liczbowe, zapisujac
¾ je w postaci twierdzeń: 25, 26, 27.
Na koniec chcia÷
abym serdecznie podziekować
¾
opiekunowi mojej pracy profesorowi
Janowi Kubarskiemu, za poświecony
¾
czas i pomoc w pisaniu niniejszej pracy, oraz
wszystkim pracownikom Politechniki ×ódzkiej za przekazana¾ wiedze.
¾
3
1
1.1
WIADOMOŚCI OGÓLNE
Krótki zarys historii Babilonii.
Kulture¾ staroz·ytnego Dwurzecza, utworzonego przez Tygrys i Eufrat, nazywamy babilońska¾ od nazwy jednego z najwiekszych
¾
miast tego obszaru. Dwurzecze to inaczej
Mezopotamia ( od greckich s÷
ów " o& środkowy, o
o& rzeka ) lub Miedzyrzecze.
¾
Jako kraina geogra…czna Babilonia obejmuje po÷
udniowa¾ cześć
¾ dzisiejszego Iraku, w
przybliz·eniu od Bagdadu na pó÷
nocy do Zatoki Perskiej na po÷
udniu.
Obejmowa÷
o ono ziemie dawnego Sumeru i Akadu, na pó÷
nocy graniczac
¾ z państwem
Asyryjskim.
W wieku XXIII p.n.e. oba państwa Mezopotamii zjednoczy÷Akadyjski król Sargon
I i poczawszy
¾
od XXI wieku p.n.e. nastepowa÷
¾
y ze wschodu i zachodu najazdy licznych
plemion Amurytów i Elamitów.
W d÷
ugiej historii staroz·ytnej Babilonii wyróz·niaja¾ sie¾ dwa okresy jej najwiek¾
szego rozkwitu: okres starobabiloński (2005-1595 p.n.e.), oraz nowobabiloński (pierwsza
po÷
owa I tysiaclecia
¾
p.n.e.). Miedzy
¾
tymi okresami krajem rzadzili
¾
Kasyci (1595-1157
p.n.e.).
Pierwszy obejmuje cztery wieki, od upadku Ur w 2005 roku p.n.e do zdobycia
Babilonu przez Hetytów w 1595 roku p.n.e. Pierwsze dwa stulecia jakie mine÷
¾ y od
upadku Ur to podokres Isin-Larsa, w którym umacnia÷
y sie¾ lokalne dynastie amoryckie.
Poczatkowo
¾
dominujac
¾ a¾ role¾ odgrywa÷
o miasto Isin (obecny Al-Bahrijjat), pod panowaniem Akadyjczyka rodem z Mari-Iszbierra (2017-1985 p.n.e.). W 1992 roku p.n.e.
wygna÷on Elamitów z Ur, stajac
¾ sie¾ panem centralnej i po÷
udniowej Mezopotamii wraz
z Nippur. Potem dosz÷
o do starcia z pote¾z·nym królestwem Larsy. Piaty
¾ król Larsy, Gungunum (1932-1906 p.n.e.) zaatakowa÷króla Isin i odebra÷mu Ur. W nastepnych
¾
latach
rozszerzy÷swe panowanie na znaczna¾ cześć
¾ Dolnej Mezopotamii, zdobywajac
¾ miasto
Der, Suze,
¾ Legesz. Oko÷
o 1894 roku p.n.e. jeden z plemiennych ksia¾z·at
¾ amuryckich,
Samuabum, za÷
oz·y÷pierwsza¾ dynastie¾ babilońska¾ (ok. 1984-1595), osiadajac
¾ w mieście
Babilon. Swoje panowanie rozpocza÷
¾ od zniszczenia miasta Kazall. Jego syn, Samulael,
zdoby÷Kisz i Sippar, ale po÷
udniowa Mezopotamia pozosta÷
a pod panowaniem Larsy az·
do czasów Hammurabiego (1792-1750 p.n.e), który by÷szóstym królem dynastii. Za jego
panowania nastapi÷
¾ szczyt panowania imperium Babilońskiego. Zajmowa÷sie¾ organizacja¾ państwa, wznosi÷i upieksza÷
¾
światynie
¾
oraz troszczy÷sie¾ o rozbudow¾
e i utrzymanie
kana÷
ów nawadniajacych.
¾
Nie zapomina÷tez· o obronie państwa, forty…kujac
¾ miasta
graniczne, takie jak Sippar. W 29 roku panowania odniós÷zwyciestwo
¾
na Elamem i
koalicja¾ Esznury, Subartu (czyli Górnego Kraju) i Gutejów z gór Zagros. W nastep¾
nym roku podbi÷Larse¾ stajac
¾ sie¾ jedynym w÷
adca¾ Babilonii. W efekcie Hammurabi
zjednoczy÷pod swoim panowaniem wiekszość
¾
ziem Mezopotamii i Elam. Zas÷
yna÷w
¾
historii jako wybitny prawodawca i reformator, by÷twórca¾ kodeksu praw tzw. Kodeksu
Hammurabiego. Jego imperium istnia÷
o krótko, lecz wywar÷
o istotny wp÷
yw na dalsza¾
historie¾ Mezopotamii. Po śmierci Hammurabiego zacza÷si
¾ e¾ upadek potegi
¾ Babilonu.
Nastepni
¾
w÷
adcy nie potra…li przeciwstawić s÷
abnacego
¾
państwa Kasytom, którzy od
pewnego czasu nap÷
ywali do Mezopotamii. W 1595 r. p.n.e Kasyci pod wodza¾ Mursilisa I zdobyli i spladrowali
¾
Babilon, po czym objeli
¾ panowanie nad krajem.
4
I tak rozpocza÷
¾ sie¾ trwajacy
¾ od 1126 roku p.n.e. (druga po÷
owa II tysiaclecia
¾
p.n.e.)
okres średniobabiloński, w którym panowa÷
a dynastia kasycka. Jej pierwszym królem
znanym z inskrypcji by÷Kara-indasz (ok. 1415 p.n.e). Kasyci sa¾ najmniej znanym
ludem staroz·ytnej Babilonii. Uznawani byli za niecywilizowanych barbarzyńców, którzy
przybyli z gór Iranu. Nowsze badania wskazuja¾jednak na ich pokojowa¾imigracje¾ z bliz·ej
nieznanych regionów. Nie mieli w÷
asnego piśmiennictwa a ich jezyk
¾
znany jest jedynie z
bardzo skapych
¾
przekazów. Tymczasem rzekomi barbarzyńcy podnieśli kraj z upadku,
zapewniajac
¾ mu dostatek i powaz·anie pote¾z·nych sasiadów.
¾
Do upadku Kasytów przyczyni÷sie¾ Elam. W 1160 roku p.n.e. jego w÷
adca SzutrukNahhunte I najecha÷i zagrabi÷Dolna¾Mezopotamie.
¾ S÷
ynne zabytki, jak stela Naramisina
i Kodeks Hammurabiego zosta÷
y wywiezione do Suzy. Syn Szutruka najecha÷Babilonie¾
k÷
adac
¾ kres najd÷
uz·ej panujacej
¾ dynastii.
W IX wieku p.n.e. w po÷
udniowej Mezopotamii zamieszkali inni, niebudzacy
¾ zaufania sasiedzi,
¾
chaldejczycy. Trzy wieki później plemie¾ to da÷
o Babilonowi najwiek¾
szego, od czasów Hammurabiego, w÷
adce:
¾ Nabuchodonozora II- wybitnego m¾
ez·a stanu
i dowódcy wojskowego. Wspó÷
czesny mu prorok Jeremiasz przewidywa÷
, z·e imperium
w÷
adcy przetrwa trzy pokolenia: „To mówi Pan Zastepów...Teraz
¾
zaś da÷
em wszystkie
te ziemie w rece
¾ Nabuchodonozora, króla babilońskiego, mojego s÷
ugi...Wszystkie narody bed
¾ a¾ s÷
uz·y÷
y jemu, jego Synowi oraz Synowi jego Syna”-(Proroctwo Jeremiasza
27,4-7). W krótkim czasie podbi÷Syrie,
¾ narzuci÷zwierzchność Fenicji, a w 586 roku
·
p.n.e. uśmierzy÷bunt w Judei. To w÷
aśnie jemu przypisuje sie¾ niewole¾ babilońska¾ Zydów, której tyle miejsca poświeca
¾ Biblia. On tez· zburzy÷s÷
ynna¾ światyni
¾ e¾ Salomona w
Jerozolimie. Jego nastepca
¾
Nabonid mia÷o wiele mniej szcześcia.
¾
W 539 roku p.n.e.
król Persów Cyrus II Starszy zaatakowa÷Babilonie,
¾ która w starciu z takim gigantem
by÷
a bez szans. W konsekwencji Babilonia przestaje istnieć, Babilon zaś zostaje w÷
a¾
czony do imperium perskiego. A kiedy w 482 roku p.n.e. wybuch÷
o wielkie powstanie
przeciwko okupantom, miasto zosta÷
o zburzone, a jego sanktuaria, zrównano z ziemia.
¾
1.2
Źród÷
a wiedzy matematyki babilońskiej.
Wiele osiagni
¾ eć
¾ naszej cywilizacji ma źród÷
o w naukowym dorobku Mezopotamii. Czerpa÷
a ona - za pośrednictwem staroz·ytnych Greków, Rzymian, Bizantyńczyków i Arabów
- z matematycznej, astronomicznej, medycznej i chemicznej wiedzy Babilończyków. Do
niedawna wiedza o babilońskiej matematyce pochodzi÷
a z rozproszonych wzmianek w
literaturze greckiej, mówiacych
¾
o babilońskich matematykach i astronomach. Na podstawie tych wzmianek wysunieto
¾ wniosek, z·e w Babilonii istnia÷pewien rodzaj mistyki
liczb czy numerologii; obecnie wiemy jednak, jak dalekie od prawdy by÷
y te przypuszczenia. W drugiej po÷
owie XIX w. archeolodzy rozpoczeli
¾ prace wykopaliskowe w
miejscach kryjacych
¾
ruiny staroz·ytnych miast Mezopotamii. Wiekszość
¾
domów w tych
miastach budowano z niewypalonej ceg÷
y (co zdarza sie¾ równiez· obecnie). Rezultatem
przekopania tych wzgórz by÷
o znalezienie, wśród innych dowodów istnienia wspania÷
ej
cywilizacji staroz·ytnej, dziesiatków
¾
tysiecy
¾ glinianych tabliczek pokrytych napisami.
Wcześnie zorientowano sie,
¾ z·e niektóre maja¾ coś wspólnego z liczbami, ale dopiero ok.
30 lat temu uda÷
o sie¾ w pe÷
ni je rozszyfrować. Wówczas to doceniono matematyk¾
e
babilońska.
¾
5
Źród÷
ami wiedzy o matematyce Babilonu sa¾matematyczne teksty klinowe odkryte w
wykopaliskach archeologicznych lub znalezione przypadkowo przez tubylców w ruinach
starych budynków. Wśród tych wszystkich odnalezionych tabliczek na ca÷
ym świecie
zarejestrowano ok. 500 000 z najróz·niejszych epok, od poczatku
¾
III tysiaclecia
¾
p.n.e.
do I w. n.e. Obecnie znamy ok. 400 tabliczek lub ich fragmentów o treści matematycznej, które zosta÷
y dok÷
adnie skopiowane, przepisane, przet÷
umaczone i objaśnione w
obszernych i autorytatywnych pracach.
Najwieksze
¾
zbiory tabliczek matematycznych znajduja¾ sie¾ w Londynie (British Museum - BM), Paryz·u (Louvre, Antiquites Orientales-AO), Berlinie (Staatliche Museen,
Voderasiatische Abteilung-VAT), Leningradzie (Gosudarstvenny Ermitaz·-ERM), Starssburgu (Bibliotheque Nationale et Universitaire-Str.), New Haven (Yale Babilonian Collection-YBC), dalsze w Nowym Jorku-MCT, Bagdadzie-IM itd. Prócz tych zbiorów
opracowane poszczególne teksty publikowane sa¾ w pismach matematycznych i orientalistycznych. Dok÷
adny wiek tabliczek jest trudny na ogó÷do określenia, gdyz· wiekszość
¾
z nich nie tra…÷
a do muzeów w wyniku naukowo prowadzonych prac archeologicznych,
lecz zakupiona zosta÷
a od przypadkowych znalazców. Moz·emy go ustalić albo na podstawie wykopalisk, albo na podstawie stylu pisma.
Charakterystyczny kszta÷
t pisma by÷rezultatem z·÷
obienia w tabliczkach z miekkiej
¾
gliny rylcem wykonanym z trzciny lub kości o trójkatnym
¾
przekroju. Tabliczki gliniane
maja¾ zazwyczaj kszta÷
t prostokatny
¾
o róz·nych rozmiarach (od 2 cm x 2,4 cm do 22
cm x 37 cm i grubości od 0,2 cm do 2,5 cm). Przed zapisaniem tabliczki, najpierw ja¾
liniowano za pomoca¾napietego
¾
sznurka dla uzyskania równości wierszy i odpowiedniego
uk÷
adu kolumn pisma, b÷
edy
¾ zamazywano sp÷
aszczonym końcem rylca. Po zapisaniu w przypadku gdy chciano, aby zapis by÷bardziej trwa÷
y i mia÷s÷
uz·yć d÷
uz·ej - tabliczki
wypalano (tych jednak by÷
o mniej), stad
¾ moz·na spotkać róz·norodne odcienie gliny, od
jasnej czerwieni do g÷
ebokiej
¾
czerni.
Analizujac
¾ materia÷źród÷
owy wyodrebnić
¾
moz·na 3 rodzaje tabliczek: odpowiednik
wspó÷
czesnych podreczników
¾
w postaci systematycznie u÷
oz·onych zadań z rozwiazania¾
mi lub bez, tabliczki zapisane bardziej lub mniej wprawna¾ rek
¾ a¾ ucznia, a wiec
¾ coś
w rodzaju zeszytów szkolnych i wreszcie róz·nego rodzaju tablice, s÷
uz·ace
¾ w cześci
¾
celom praktycznym, jako środki pomocnicze do wykonywania dzia÷
ań arytmetycznych.
Szczególnie cenne sa¾ tabliczki-podreczniki
¾
zawierajace
¾ obok treści zadań równiez· rozwiazania.
¾
Rozwiazania
¾
te sk÷
adaja¾ sie¾ z samych kroków numerycznych, brak jest natomiast nawet najskromniejszych wyjaśnień i uzasadnień poszczególnych kroków. Być
moz·e by÷
y one treścia¾ ustnych komentarzy nauczycieli.
Ta luka, przy braku systematycznej analizy treści i stosowanych metod, wymaga
wype÷
nienia, by w konsekwencji móc ujać
¾ dorobek matematyczny Babilończyków, w
postaci pewnej teorii, zawierajacej
¾ twierdzenia, de…nicje i algorytmy, których niestety
nie znajdziemy w z·adnych źród÷
ach. Ten cel zosta÷postawiony w niniejszej pracy. Aby
go zrealizować postaram sie¾ przekazać i wyrazić w jezyku
¾
dzisiejszym to, co dokona÷
o
sie¾ wtedy, analizujac
¾ prace ówczesnych matematyków takich jak: Neugebauer, Sachs,
Prince, Bruins, Friberg, Vogeler itd.
6
1.3
1.3.1
Pismo klinowe.
Geneza i powstanie pisma klinowego.
Pismo klinowe to najstarsza, na Bliskim Wschodzie, odmiana pisma. Nazwa ta pochodzi
od kszta÷
tu znaków odciskanych na glinianych tabliczkach za pomoca¾ kawa÷
ka trzciny.
Wynalezienie pisma klinowego nastapi÷
¾ o w IV tysiacleciu
¾
p.n.e. Przez szereg lat wynalazek ten przypisywano Sumerom, chociaz· w ostatnich latach poglad
¾ ten zosta÷podwaz·ony z uwagi na znaleziska najstarszych zabytków pisma nie tylko w sumeryjskim
Uruk–konkretnie w warstwie Uruk IV–III (datowanej na lata 3300 – 2900 p.n.e.), ale
takz·e w Niniwie, na terenach Syrii, zachodniego Iranu, a nawet we wschodnim Iranie
niedaleko obecnego Afganistanu. Oczywiście odkrycia te nie wykluczaja¾ roli Sumerów
w powstaniu pisma klinowego, jednakz·e wskazuja¾ na inne ośrodki, gdzie mog÷
o ono
powstać niekoniecznie z udzia÷
em tego ludu.
Poczatkowo
¾
pismo mia÷
o charakter obrazkowy, czyli ideogra…czny, a to wyklucza
rozpoznanie jezyka,
¾
w jakim by÷
y wyraz·ane treści, stad
¾ tez· nie moz·e ona pomóc w
identy…kacji ludu, który je tworzy÷
. Stopniowo piktogramy przekszta÷
ci÷
y sie¾ w system pisma wyrazowo-sylabowego, czyli ideogra…czno-zg÷
oskowego. Na etapie pisma
ideogra…cznego znaków by÷
o bardzo duz·o- ok. 2 tysiecy.
¾ Z czasem jednak coraz bardziej
upraszczano form¾
e zapisu, rezygnujac
¾ z wielu szczegó÷
ów gra…cznych, zastepuj
¾ ac
¾ obrazki
kreskami w uk÷
adzie pionowym i poziomym, w efekcie czego pismo przekszta÷
ci÷
o sie¾ w
system zapisu kreskowego, a liczba znaków uleg÷
a redukcji do ok. 500. Wraz ze stopniowym upraszczaniem sie¾ formy zapisu rós÷stopień kompilacji samego pisma, jez·eli
chodzi o jego odczytywanie, a tym samym i zapisywanie. By÷
o to wynikiem stopniowej
ewolucji pisma, której nastepnym
¾
etapem by÷
o pismo sylabowe.
Jego pierwsze przyk÷
ady znajdujemy w tekstach z Ur z ok. 2800 roku p.n.e.–
zawieraja¾one elementy fonetyczne i gramatyczne, a tym samym na ich podstawie moz·na
zidenty…kować juz· jezyk
¾
w jakim sa¾ tworzone –jezykiem
¾
tym jest sumeryjski. Powraca
wiec
¾ tym samym sugestia, z·e to w÷
aśnie ten lud by÷twórca¾ pisma.
Mniej wiecej
¾ do końca okresu wczesnodynastycznego II-III (2600-2334), pismo nie
ulega÷
o zasadniczym przemianom, ale juz· pod koniec tego okresu nastapi÷
¾ a waz·na zmiana w kierunku pisania tekstów. Wraz z dojściem do w÷
adzy Sargona z Akadu (22952284) nastapi÷
¾ y pewne zmiany, gdyz· Akadowie przyjeli
¾ system pisma sumeryjskiego, ale
go przystosowali do swojego semickiego jezyka.
¾
Z kolei na terenach Syrii pismo klinowe
zosta÷
o przystosowane do jezyka
¾
elamickiego.
Liter klinowych by÷
o duz·o, ale znaków cyfrowych by÷
o niewiele. Liczby babilońskie
sa¾ w÷
aściwie kombinacjami trzech znaków: jedynki, dziesiatki
¾ i setki. Za pomoca¾ tych
znaków pisano kaz·da¾ liczbe,
¾ pos÷
ugujac
¾ sie¾ zasada¾ mnoz·enia i dodawania, przy czym
wówczas wieksza
¾
liczba zawsze poprzedza÷
a mniejsza.
¾
1.3.2
System sześćdziesietny.
¾
Osobliwościa¾omawianej kultury matematycznej jest istnienie numeracji sześćdziesietnej
¾
pozycyjnej. W wiekszości
¾
tablic matematycznych (a we wszystkich omawianych przeze
mnie w tej pracy) liczby zapisywane by÷
y w÷
aśnie w tym systemie, którego podstawa¾
jest liczba g = 60: Dla kaz·dej liczby ci < 60 istnia÷symbol indywidualny i tak np.: cyfre¾
7
jeden oznaczano ostrym (pionowym) klinem:
tylez· jedności, np.:
2-
, 3-
, 4-
, 5-
: Nastepne
¾
do 9, oddawano wypisujac
¾
, 6-
, 7-
, 8-
, 9-
Liczbe¾ 10 zaś zapisywano w postaci rozwartego (poziomego) klina:
50 mamy :
20-
, 30-
, 40-
, 50-
.
. I podobnie do
.
Do liczby 60 sposób zapisywania jest w gruncie rzeczy ten sam, co w Rzymie, teraz
jednak wystapi
¾ zasadnicza róz·nica: znak jedności napisany przed znakiem dziesiatki
¾
nie oznacza 1 lecz 60, a wiec
¾
= 70:
Najbardziej charakterystycznym zjawiskiem w opisanej numeracji jest fakt opuszczania w symbolu indywidualnym liczby oznaczeń dla poszczególnych rzedów
¾
wielkości.
Stad
¾ numeracja ta obarczona jest zasadnicza¾wada:
¾ odpowiedniość miedzy
¾
liczbami naturalnymi a ich symbolami nie jest wzajemnie jednoznaczna. Danej liczbie odpowiada
jeden i tylko jeden symbol, ale danemu symbolowi moga¾ odpowiadać róz·ne liczby.
Do III w. p.n.e. pisarze sumeryjscy, akadyjscy, elamiccy, aramejscy i babilońscy w
zapisach liczb rozdzielali odstepami
¾
60-tkowe cyfry znaczace,
¾ miedzy
¾
którymi powinno
być jedno lub kilka zer, i radzili sobie z niejednoznacznościa¾ zapisu. W III w p.n.e. Babilończycy zaczeli
¾ oznaczać puste rzedy
¾ miedzy
¾
cyframi znaczacymi,
¾
podwójna¾kreseczka¾
ukośna,¾ uz·ywana¾równiez·w innych kontekstach na oznaczenie przerwy albo powtórzenia.
Natomiast „brakujacych”
¾
zer na końcu zapisu liczby i na poczatku
¾
zapisu u÷
amka
nie oznaczali w z·aden sposób. W tym czasie Babilończycy nie uz·ywali (a wiec
¾ i nie
zapisywali) liczby 0. Wiadomo to dok÷
adnie, bo zachowa÷
y sie¾ rachunki, w których
metoda rozwiazywania
¾
prowadzi÷
a do wartości 0 wśród wyników, np. sytuacji, w której
odpowiedź mia÷
a być róz·nica¾ równych liczb. G. Ifrah [[4], str. 185] przytacza dwa takie
rozwiazania
¾
zadań:
1. „20 mniej 20 widzisz
”
2. w zadaniu o podziale zboz·a, w którym nalez·a÷
o obliczyć liczbe¾ osób obdzielonych
zboz·em po danej liczbie miar i liczbe¾ miar pozosta÷
ego po podziale zboz·a, a liczba miar
zboz·a do podzia÷
u akurat dzieli÷
a sie¾ przez przydzia÷
:
„Zbo·ze zosta÷o wyczerpane”.
Innymi s÷
owy Babilończycy pos÷
ugiwali sie¾ uk÷
adem pozycyjnym: co sprawia, z·e
2
znak jedynki móg÷oznaczać 1; 60; 60 , itd., czyli kaz·da¾ liczbe¾ postaci g k ; k = :::
1; 0; 1; 2::: ; zalez·nie od tego na którym stoi miejscu. Szczególnie donios÷
ym osiagni
¾ eciem
¾
by÷
o wspomniane wyz·ej rozszerzenie wyk÷
adników poteg
¾ podstawy numeracji na liczby
ca÷
kowite ujemne, dzieki
¾ temu uzyskiwano numeracje¾ równiez· w zakresie tych u÷
amków
postaci
p
dla których q = 2 3 5 , ; ; = 0; 1; 2; 3; :::
q
8
tzn. tych, które daja¾sie¾ przedstawić w postaci skończonych u÷
amków sześćdziesietnych.
¾
Liczby q wyz·ej opisane nazywać bedziemy
¾
za O. Neugebauerem regularnymi, a jej cyfry
zapisywać bedziemy
¾
w uk÷
adzie dziesietnym,
¾
przy czym poszczególne rzedy
¾ oddzielać
bedziemy
¾
przecinkami, zaś cześć
¾ ca÷
kowita¾ od u÷
amkowej średnikiem i tak np. :
23; 0; 26; 1; 13 = 23 602 + 0 601 + 26 600 +
1
13
+ 2;
1
60
60
brakujace
¾ rzedy
¾ uzupe÷
niać bedziemy
¾
zerami, które stosować bedziemy
¾
równiez· na
końcu symbolu.
1.4
Dzia÷
ania arytmetyczne w numeracji.
Przechodzac
¾ do dzia÷
ań numeracji sześćdziesietnej
¾
nalez·y zauwaz·yć, z·e we wszystkich
dokumentach wyniki dzia÷
ań zapisane sa¾od razu, bez podania postepowania,
¾
na drodze
którego wynik uzyskano. W zwiazku
¾
z tym w poniz·szym opisie równiez· zawarte bed
¾ a¾
elementy hipotetyczne.
1.4.1
Dodawanie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
Wystarczy÷
o w tym celu zgrupować odpowiednio jednostki poszczególnych rzedów
¾
sk÷
adników i nastepnie
¾
dziesieć
¾ jednostek zastepować
¾
symbolem liczby dziesieć
¾ oraz sześć
dziesiatek
¾ w symbolu sumy zastapić
¾ cyfra¾ jeden.
1
3;
+ 1;
5;
1.4.2
1
23;
45;
9;
50
25;
15
Odejmowanie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
Tworzenie symbolu róz·nicy liczb przy za÷
oz·eniu, z·e róz·nica istnieje jest operacja¾ czysto
mechaniczna.¾ Wystarczy w symbolu odjemnej wykreślić liczbe¾ jednostek i dziesiatek
¾
odjemnika. Jez·eli zaś liczba jednostek odjemnika jest wieksza
¾
od liczby jednostek odjemnej nalez·y w niej symbol jednej dziesiatki
¾ zastapić
¾ dziesiecioma
¾
jednostkami.
1
2;
1;
1.4.3
1;
59 1 ;
0;
25;
34;
15
40
35
Mnoz·enie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
Mnoz·enie wykonywane by÷
o w oparciu o tabliczki mnoz·enia. Wiele z tych tabliczek
sie¾ zachowa÷
o. Wyróz·niamy dwa typy owych tabliczek. Pierwszy stanowia¾ tabliczki
pojedyncze (Tablica nr.1 mnoz·enia [[7], str. 19], [[13], str. 32]), zawierajace
¾ iloczyny
9
jednej liczby - mnoz·nej przez mnoz·niki od 1 do 20 oraz 30; 40; 50 („a-rá” w jezyku
¾
sumeryjskim to „razy”) i tak np.:
7
a-rá 1 7
a-rá 2
14
a-rá :::
:::
a-rá 19
2; 13
a-rá 20
2; 20
a-rá 30
3; 30
a-rá 40
4; 40
a-rá 50
5; 50
Tablica nr.1 mnoz·enia
Drugi typ stanowia¾ tabliczki „zbiorcze”, które zawiera÷
y szereg tabliczek mnoz·enia
dla róz·nych mnoz·nych, oraz tablice odwrotności, niekiedy równiez· tablice kwadratów
kolejnych liczb naturalnych i inne. Znamy 39 takich „zbiorczych”tablic, przewaz·nie w
stanie cześciowo
¾
uszkodzonym lub tylko w postaci fragmentów.
Poniz·ej przedstawie¾ algorytm dla wyliczenia iloczynu dwóch liczb zapisanych w systemie sześćdziesietnym,
¾
który w późniejszych rozdzia÷
ach pos÷
uz·y nam do wyliczania
liczb zapisanych w systemie sześćdziesietnym.
¾
a1
7
b3 ;
5;
a1 b 1
B1 q + c0
a1 b 2
a1 b2 + B1
B2 q + c1
a1 b 3
a1 b3 + B2
B3 q + c2
a1 b3 ; b2 ; b1
1.4.4
b 2 ; b 1 ; = c 2 ; c1 ; c0
18; 32 = 37; 9; 44
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2;
35
37
0; 37
37;
3;
126
129
9
9;
224
44
44
Dzielenie w numeracji sześćdziesietnej.
¾
Dzielenie jest jedynym dzia÷
aniem, dla którego teksty wyraźnie formu÷
uja¾algorytm, lecz
tylko w przypadku, gdy dzielnik jest liczba¾regularna.
¾ Zgodnie z tekstami, aby podzielić
liczbe¾ a przez liczbe¾ b (regularna)
¾ nalez·y znaleźć odwrotność liczby b i pomnoz·yć ja¾przez
a. W tabliczce BM 8520 [[13], str. 34] jest wykonane dzia÷
anie 26 12. Tekst g÷
osi:
„Utwórz odwrotność dwunastki, to stanowi 0;5. Pomnóz· przez 26 - stanowi to 2,10”.
Algorytm dzielenia przez liczby regularne wymaga wiec
¾ umiejetności
¾
znajdowania
odwrotności liczb regularnych. W tym celu utworzone zosta÷
y specjalne tablice odwrotności. Najwcześniejsze i najbardziej potrzebne takie tablice zawiera÷
y odwrotności tych
liczb od 2 do 1; 21 = 81. Nazywać bedziemy
¾
je „normalnymi tablicami odwrotności”
10
(porównaj [[7], str.10], [[13], str.35], [[1], str. 15]). Wyglada÷
¾ y one nastepuj
¾ aco
¾
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
30
20
15
12
10
7; 30
6; 40
6
5
4
16
18
20
24
25
27
30
32
36
40
3; 45
3; 20
3
2; 30
2; 24
2; 13; 20
2
1; 52; 30
1; 40
1; 30
45
48
50
54
1
1; 4
1; 12
1; 15
1; 20
1; 21
1; 20
1; 15
1; 12
1; 6; 40
1
56; 15
50
48
45
44; 26; 40
Tablica nr.2 Normalna tablica odwrotności
Pierwsze liczby kaz·dej pary, obejmuja¾ wszystkie liczby regularne z przedzia÷
u2
1; 21, natomiast drugie w kaz·dej parze moga¾ być uwaz·ane jako odwrotności pierwszych,
jez·eli weźmiemy pod uwage¾ wzgledność
¾
numeracji babilońskiej, czyli pierwsze wiersze
nalez·y rozumieć jako
1
2
= 0; 30;
1
3
= 0; 20;
1
4
= 0; 15;
1
5
= 0; 12 itd:
Jednak kaz·da para moz·e równiez· być interpretowana odwrotnie - druga liczba kaz·dej
pary jako odwrotność pierwszej, czyli
0; 2 =
1
;
30
0; 3 =
1
;
20
0; 4 =
1
;
15
0; 5 =
1
12
itd:
Ogólnie oznaczajac
¾ pierwsza¾ litere¾ jako pary jako t, druga¾ zaś przez t0 mamy dla kaz·dej
0
zalez·ność t t = 1, chociaz· wobec nieuwzgledniania
¾
przez Babilończyków przy pisaniu
symboli liczb rzedu
¾ wielkości, zachodzi ogólny zwiazek
¾
t t0 = 60k ; k = :::
1; 0; 1; 2; :::
Jak wykonywano dzielenie, gdy dzielna by÷
a wielokrotnościa¾„nieregularnego”dzielnika,
tablice nie podaja;
¾ iloraz znajdowano, być moz·e, dobierajac
¾ odpowiednie liczby.
11
2
LICZBY PITAGOREJSKIE
Jednym ze znakomitszych odkryć dokonanych w Babilonie jest niewatpliwie
¾
twierdzenie Pitagorasa, które po raz pierwszy pojawia sie,
¾ i to w postaci ogólnej, w tekstach
klinowych juz· w epoce Hammurabiego. Jak Babilończycy doszli do tego twierdzenia,
nie wiadomo. Poczatkowo
¾
moz·e zauwaz·yli, z·e niektóre trójkaty,
¾ których boki a; b; c
wyraz·aja¾ sie¾ liczbami ca÷
kowitymi, czynia¾ zadość równości a2 + b2 = c2 ; sa¾ prostokatne,
¾
a nastepnie
¾
rozciagn
¾ eli
¾ te¾ w÷
asność na wszystkie trójkaty
¾ prostokatne?
¾
W kaz·dym razie
juz· w epoce starobabilońskiej znany by÷zbiór trójek „liczb pitagorejskich”. Zachowa÷
a
b2
c2
sie¾ tablica, zawierajaca
¾ 15 rzedów
¾
liczb postaci a2 = a2 + 1; b; c; spe÷
niajacych
¾
równanie Pitagorasa. Analiza¾ tego niezwyk÷
ego unikatu tekstu matematycznego zajm¾
e sie¾
w dalszej cześci
¾ pracy.
2.1
Informacje ogólne
De…nicja 1 Liczby (trójki) pitagorejskie to rozwiazania
¾
równania Pitagorasa
x2 + y 2 = z 2
(1)
wyra·zone w liczbach naturalnych.
De…nicja 2 Trójkatem
¾
pitagorejskim nazywamy trójkat
¾ prostokatny,
¾
którego d÷ugo´sci
boków x; y; z wyra·zone sa¾ w liczbach naturalnych. Je·zeli ka·zdy z boków trójkata
¾
pitagorejskiego powiekszymy
¾
te¾ sama¾ naturalna¾ liczbe¾ razy to otrzymamy podobny mu
trójkat
¾ pitagorejski (kx; ky; kz); k = 1; 2; 3; :::. Trójkat
¾ pitagorejski o bokach x; y; z
bedziemy
¾
oznaczali symbolem (x; y; z) , przy czym na ostatnim miejscu bedziemy
¾
pisali
przeciwprostokatn
¾ a.¾
De…nicja 3 Trójkat
¾ pitagorejski (x; y; z), nazywamy pierwotnym, je·zeli x i y sa¾
liczbami naturalnymi wzglednie
¾
pierwszymi .
Twierdzenie 4 Je·zeli w trójkacie
¾ pitagorejskim (x; y; z) liczby x i y sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, to nie ma podobnego mu mniejszego trójkata
¾ pitagorejskiego.
Dowód. Za÷
óz·my, z·e (x; y; z) jest trójkatem
¾
pitagorejskim pierwotnym.
Niech (a; b; c) bedzie
¾
trójkatem
¾
pitagorejskim podobnym do (x; y; z).
Przypuśćmy, z·e
(x; y; z) > (a; b; c):
Wobec podobieństwa naszych trójkatów
¾
mamy, z·e
x
a
= ;
y
b
a poniewaz· u÷
amek
x
y
jest nieprzywiedlny, gdyz· liczby x i y wzglednie
¾
pierwsze, wiec
¾
x
a;
12
y
b;
wbrew za÷
oz·eniu, z·e trójkat
¾ (a; b; c) jest mniejszy od trójkata
¾ (x; y; z). Zatem wśród
wszystkich podobnych trójkatów
¾
pitagorejskich, najmniejszy trójkat
¾ poznajemy po tym,
z·e liczby x i y sa¾ wzglednie
¾
pierwsze.
Za÷
óz·my, z·e x i y nie sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, otz·., posiadaja¾ wspólny dzielnik naturalny d > 1 tzn.:
x = dx1 ; y = dy1 ;
gdzie x1; y1 sa¾ liczbami naturalnymi, stad
¾ wobec (1)
z 2 = x2 + y 2 = (dx1 )2 + (dy1 )2 = d2 x21 + y12 ;
co dowodzi, z·e liczba d2 jest dzielnikiem liczby z 2 , z tego wynika, z·e d jest dzielnikiem
z. Zatem
z = dz1 ;
gdzie z1 jest liczba¾ naturalna.¾ Wzory
x = dx1 ;
y = dy1 ;
z = dz1 ;
daja¾ na mocy (1), po skróceniu przez d2
x21 + y12 = z22 ;
co dowodzi, z·e (x1 ; y1 ; z1 ) jest trójkatem
¾
pitagorejskim mniejszym od trójkata
¾ (x; y; z)
i do niego podobnym. Zatem udowodniliśmy, z·e w najmniejszym ze wszystkich podobnych trójkatów
¾
pitagorejskich musza¾przyprostokatne
¾ być liczbami wzglednie
¾
pierwszymi.
2.2
Znajdowanie trójkatów
¾
pitagorejskich.
Za÷
óz·my, z·e (x; y; z) jest trójkatem
¾
pitagorejskim pierwotnym. Oznacza to, z·e spe÷
niony
jest warunek (1), oraz, z·e liczby x i y sa¾ wzglednie
¾
pierwsze.
Zastanówmy sie¾ najpierw nad parzystościa¾ liczb pitagorejskich. Poniewaz· x i y wzglednie
¾
pierwsze, zatem nie moga¾obie być parzyste. Pokaz·e,
¾ z·e nie moga¾być równiez·
obie nieparzyste.
Zauwaz·my, z·e kwadrat liczy nieparzystej przy dzieleniu przez 8 daje reszte¾ 1.
Istotnie, liczbe¾ nieparzysta¾moz·emy przedstawić w postaci 2k + 1, gdzie k jest liczba¾
ca÷
kowita.¾ Zatem
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1:
Ale poniewaz· z kolejnych liczb ca÷
kowitych k i k + 1 jedna z liczb jest parzysta a wiec
¾
podzielna przez 2, zatem liczba 4k(k + 1) jest podzielna przez 8. Liczba (2k + 1)2 daje
wiec
¾ przy dzieleniu przez 8 reszte¾ 1, co by÷
o do pokazania.
Suma kwadratów liczb nieparzystych daje wiec
¾ przy dzieleniu przez 8 reszte¾ 2, a
wiec
¾ jest parzysta, lecz niepodzielna przez 4, zatem nie moz·e być kwadratem liczby
naturalnej. Wzór (1) nie moz·e wiec
¾ zachodzić, gdy obie liczby x i y sa¾ nieparzyste.
Jez·eli wiec
¾ trójkat
¾ pitagorejski (x; y; z) jest trójkatem
¾
pierwotnym, to spośród liczb x i
y jedna musi być nieparzysta, a druga parzysta. Ponadto, z (1) mamy, z·e z-nieparzyste.
13
Przypuśćmy, z·e y-parzysta, zatem x i z- nieparzyste. Równanie (1) moz·emy zapisać
w postaci:
y 2 = (z x)(z + x):
(2)
Liczby z x i z +x; jako suma i róz·nica dwóch liczb nieparzystych, sa¾parzyste, moz·emy
wiec
¾ je przedstawić jako
z + x = 2a; a; b 2 N
(3)
z
x = 2b;
Stad
¾ oczywiście a > b i
z = a + b;
x = a b:
(4)
Liczby a i b musza¾ być zatem wzglednie
¾
pierwsze. Istotnie, bowiem za÷
óz·my, z·e nie sa¾
wzglednie
¾
pierwsze tzn. posiadaja¾ wspólny dzielnik d > 1
a = da1 ;
b = db1 :
Zatem wobec (4) d by÷
oby wspólnym dzielnikiem x i z zatem tez· liczb z x i z + x i na
2
mocy (2) d by÷
oby dzielnikiem y 2 , wiec
¾ d by÷
oby równiez· dzielnikiem liczby y. Zatem
udowodniliśmy, z·e d by÷
oby wspólnym dzielnikiem liczb x i y wbrew za÷
oz·eniu, z·e liczby
te sa¾ wzglednie
¾
pierwsze. Poniewaz· y - parzysta wiec
¾ moz·emy ja¾ przedstawić jako
c2N
(5)
(2c)2 = 2a2b;
c2 = ab:
(6)
y = 2c;
Stad
¾ i z (3) wzór (2) daje sie¾ zapisać
Rozwijajac
¾ liczby a i b na czynniki pierwsze, stwierdzamy, z·e kaz·dy czynnik pierwszy
wchodzi do tych rozwinieć
¾ w potedze
¾
parzystej. Istotnie, gdyby czynnik p wchodzi÷np.
do rozwiniecia
¾ liczby a w potedze
¾ nieparzystej, to wchodzi÷
by tez·w potedze
¾ nieparzystej
do rozwiniecia
¾ iloczynu ab; gdyz· liczba b jako pierwsza wzgledem
¾
a, czynnika p nie
posiada. Jest to jednak niemoz·liwe, poniewaz· wobec (6) wszystkie czynniki pierwsze
wchodza¾ do rozwiniecia
¾ iloczynu ab w potegach
¾
parzystych. Skoro wszystkie czynniki
pierwsze rozwiniecia
¾ liczby a sa¾ - jak pokazaliśmy - w potegach
¾
parzystych to a jest
kwadratem, czyli
a = m2 :
Podobnie
b = n2 ;
dla pewnych liczb naturalnych m i n.
14
Liczby te sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, bo gdyby mia÷
y wspólny dzielnik d > 1 to d2 by÷
by
dzielnikiem a i b, co być nie moz·e. Stad
¾ wobec (4)
z = m2 + n2 ;
x = m2 n2 ;
i uwzgledniaj
¾
ac
¾ wzór (6) oraz
a = m2 i b = n2
znajdujemy
c = mn;
co wobec y = 2c daje
y = 2mn:
Liczby m i n musza¾być róz·nej parzystości. Nie moga¾być obie parzyste, gdyz· sa¾wzgled¾
2
2
nie pierwsze, nie moga¾ tez· być obie nieparzyste, gdyz· x = m
n by÷
aby parzysta,
co jest niemoz·liwe. Zatem liczby m i n sa¾ róz·nej parzystości. Wynika stad,
¾ z·e liczba
y = 2mn jest podzielna przez 4. Zatem moz·emy sformu÷
ować nastepuj
¾ acy
¾ wniosek:
Wniosek 5 W ka·zdym trójkacie
¾ pitagorejskim pierwotnym, a tym bardziej, jak ÷atwo
zauwa·zyć, w ka·zdym trójkacie
¾ pitagorejskim, conajmniej jedna z przyprostokatnych
¾
jest
podzielna przez 4.
Dowiedliśmy zatem, z·e jez·eli (x; y; z) jest trójkatem
¾
pitagorejskim pierwotnym
i y-parzyste, to istnieja¾ liczby naturalne wzglednie
¾
pierwsze m i n takie, z·e.:
x = m2 n2 ;
y = 2mn;
z = m2 + n2 :
(7)
(8)
(9)
W zwiazku
¾
z powyz·szym, udowodnimy nastepuj
¾ ace
¾ twierdzienie:
Twierdzenie 6 Je·zeli m i n przyjmuja¾wszystkie takie warto´sci ca÷kowite, ·ze spe÷nione
bed
¾ a¾jednocze´snie nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
1. m > n > 0;
2. m i n sa¾wzglednie
¾
pierwsze,
3. m i n sa¾ró·znej parzysto´sci,
wówczas wyra·zenia
x = m2 n2 ;
y = 2mn;
z = m2 + n2 ;
utworza¾wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie, przy czym ka·zda¾tylko jeden raz.
15
Dowód. ([10], str. 229) Przypuśćmy, z·e m > n sa¾ liczbami naturalnymi wzglednie
¾
pierwszymi, z których jedna (którakolwiek) jest parzysta, a druga nieparzysta. Wyznaczymy liczby x; y i z ze wzorów (7). Trójkat
¾ (x; y; z) jest wówczas trójkatem
¾
pitagorejskim pierwotnym. Z ÷
atwo dajacej
¾ sie¾ sprawdzić toz·samości
L = x2 + y 2 = m2
P = z 2 = m2 + n2
L = P
n2
2
2
+ (2mn)2 = m4 + 2m2 n2 + n4
= m4 + 2m2 n2 + n4
oraz ze wzorów (7) wynika, z·e jest to trójkat
¾ pitagorejski.
Sprawdzimy teraz, czy jest on pierwotny. W tym celu pozostaje nam do udowodnienia, z·e liczby x i y sa¾ wzglednie
¾
pierwsze.
Przypuśćmy, z·e tak nie jest i x i y posiadaja¾ wspólny dzielnik d > 1. Wobec
nieparzystości liczby x, dzielnik d tez· by÷
by liczba¾ nieparzysta,
¾ a w myśl (1) liczba d
by÷
aby dzielnikiem liczby z. Wobec (7) liczba d by÷
aby wiec
¾ dzielnikiem liczb m2 + n2 i
2
2
2
m n , zatem by÷
aby tez· dzielnikiem ich sumy 2m oraz róz·nicy 2n2 : Poniewaz· d jest
liczba¾nieparzysta¾wiec
¾ d musia÷
oby być dzielnikiem liczb m2 i n2 . Lecz skoro liczby m i
n sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, to i liczby m2 i n2 sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, zatem nie moga¾ mieć
wspólnego dzielnika d > 1, stad
¾ sprzeczność. Liczby x i y sa¾ wiec
¾ wzglednie
¾
pierwsze.
Zauwaz·my jeszcze, z·e róz·nym uk÷
adom liczb m i n odpowiadaja¾ róz·ne trójkaty
¾
pitagorejskie (x; y; z). Ze wzorów (7) wynika bowiem, z·e
2m2 = x + z;
2n2 = z x;
liczby naturalne m i n sa¾ wiec
¾ w zupe÷
ności wyznaczone przez liczby x i z. Moz·na
m
amkiem nieprzywiedlnym równym liczbie
ponadto zauwaz·yć, z·e n jest u÷
x+z
;
y
(bo 2m2 = x + z, zaś y = 2mn):
Jez·eli teraz równanie (1) przekszta÷
cimy na równanie
x2 = (z + y)(z
y);
(10)
(zak÷
adajac,
¾ z·e y jest liczba¾ parzysta,
¾ zatem x i z sa¾ nieparzyste), to liczby
u = z + y;
v = z y;
by÷
yby nieparzyste i, jak ÷
atwo zauwaz·yć, wzglednie
¾
pierwsze (poniewaz· x i y, zatem
tez· y i z sa¾ wzglednie
¾
pierwsze i z - nieparzyste), a poniewaz· wobec (10),
x2 = uv;
wiec
¾ istnieja¾ liczby naturalne wzglednie
¾
pierwsze k i l takie, z·e;
u = k2;
16
v = l2 ;
skad
¾
x = kl;
(u
y =
(11)
v)
=
(k
2
2
l )
;
2
2
(u + v)
(k 2 + l2 )
z =
=
;
2
2
(12)
(13)
Liczby k i l sa¾ obie nieparzyste. Istotnie, bowiem obie parzyste być nie moga,
¾ gdyz·
sa¾ wzglednie
¾
pierwsze. Natomiast, zak÷
adajac,
¾ z·e k jest liczba¾ parzysta,¾ l- nieparzysta,
¾
badź
¾ odwrotnie, otrzymamy, z·e z i y sa¾ parzyste, co być nie moz·e.
Twierdzenie 7 Je·zeli k i l przyjmuja¾wszystkie takie warto´sci ca÷kowite, ·ze spe÷nione
bed
¾ ace
¾ warunki:
1. k > l > 0
2. k i l sa¾wzglednie
¾
pierwsze
3. k i l sa¾obie nieparzyste.
x = kl;
y=
(k2 l2 )
;
2
z=
(k2 +l2 )
2
utworza¾wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie, przy czym ka·zda¾tylko jeden raz.
Dowód. Analogiczny, jak w przypadku poprzedniego twierdzenia.
Aby wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne (x; y; z), gdzie y jest parzyste,
ustawić w określony ciag
¾ nieskończony, moz·emy brać za k kolejne liczby nieparzyste
3; 5; 7; 9; ::: i dla kaz·dej z nich wziać
¾ za l kolejno wszystkie liczby nieparzyste pierwsze
wzgledem
¾
k i mniejsze od k, a nastepnie
¾
wyznaczamy liczby x; y i z ze wzorów (11).
Oto tablica dwudziestu jeden pierwszych trójkatów
¾
pitagorejskich pierwotnych u÷
oz·onych w ten sposób:
17
k
l
x
y
3 1
3
4
5 1
5 12
5 3 15
8
7 1
7 24
7 3 21 20
7 5 35 12
9 1
9 40
9 5 45 28
9 7 63 16
11 1 11 60
11 3 33 56
11 5 55 48
11 7 77 36
11 9 99 20
13 1 13 84
13 3 39 80
13 5 65 72
13 7 91 60
13 9 117 44
13 11 143 24
15 1 15 112
z
5
13
17
25
29
37
41
53
65
61
65
73
85
101
85
89
97
109
125
145
113
P
6
30
60
84
210
210
180
630
504
330
924
1320
1386
990
546
1560
2340
2730
2574
1716
840
Tablica nr.3
Aby otrzymać wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie, nalez·y wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne jeszcze raz powiekszyć
¾
dowolna¾naturalna¾liczbe¾ razy i wziać
¾ pod uwage,
¾
z·e wyz·ej uwzgledniliśmy
¾
tylko trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne (x; y; z), gdzie y jest
liczba¾ parzysta.
¾ Trzeba wiec
¾ jeszcze poprzestawiać liczby x i y.
2.3
W÷
¾
pitagorejskich.
W rozdziale tym w ca÷
ości opartym na podstawie ksia¾z·ki Wac÷
awa Sierpińskiego Trójkaty
¾
pitagorejskie [11], podane zostana¾niektóre w÷
asności tychz·e trójkatów,
¾
a co za tym idzie
w÷
asności samych liczb pitagorejskich.
2.3.1
Trójkaty
¾ pitagorejskie o bokach mniejszych od 100.
Podam teraz wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie, których boki sa¾ mniejsze od 100. Aby
warunek ten by÷spe÷
niony, potrzeba i wystarcza oczywiście, aby przeciwprostokatna
¾
by÷
a mniejsza od 100. W powyz·szej tablicy widać, z·e takich trójkatów
¾
pitagorejskich
pierwotnych mamy dok÷
adnie 16. Istotnie sa¾ to wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne o przeciwprostokatnej
¾
mniejszej od 100 i parzystym y, gdyz· dla k 15 mamy
z=
k 2 + l2
152
>
> 100:
2
2
18
Tymi 16toma trójkatami
¾
pierwotnymi , uporzadkowanymi
¾
wed÷
ug rosnacych
¾
przeciwprostokatnych,
¾
a w przypadku ich równości wed÷
ug wielkości pól, bed
¾ a¾ wiec
¾ trójkaty:
¾
(3,4,5), (5,12,13), (15,8,17), (7,24,25), (21,20,29), (35,12,37), (9,40,41), (45,28,53),
(11,60,61), (63,16,65), (33,56,65), (55,48,73), (13,84,85), (77,36,85), (39,80,89) i
(65,72,97).
Pierwsze 7 tych trójkatów
¾
moz·emy powiekszyć
¾
dwukrotnie (tak, aby podwojone
przeciwprostokatne
¾ by÷
y nadal mniejsze od 100), co daje 7 nowych trójkatów
¾
pitagorejskich, juz· nie pierwotnych: (6,8,10), (10,24,26), (30,16,34), (14,48,50), (42,40,58),
(70,24,74), (18,80,82).
Pierwsze 5 z naszych 16 trójkatów
¾
pierwotnych moz·emy jeszcze powiekszyć
¾
trzykrotnie, co daje 5 nowych trójkatów
¾
pitagorejskich: (9,12,15), (15,36,39), (45,24,51),
(21,72,75), (63,60,87).
Pierwsze trzy moz·emy powiekszyć
¾
czterokrotnie lub pieciokrotnie,
¾
co daje 6 nowych
trójkatów:
¾
(12,16,20), (20,48,52), (60,32,68), (15,20,25), (25,60,65), (75,40,85).
Pierwsze dwa moz·emy powiekszyć
¾
sześciokrotnie i siedmiotkrotnie, co daje 4 nowe
trójkaty:
¾ (18,24,30), (30,72,78), (21,28,75) i (35,84,91).
Wreszcie pierwszy z 16 trójkatów
¾
pitagorejskich pierwotnych moz·emy powiekszyć
¾
jeszcze 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 i 19 razy, co daje jeszcze 12 nowych
trójkatów:
¾
(24,32,40), (27,36,45), (30,40,50), (33,44,55), (36,48,60), (39,52,65),
(42,56,70), (45,60,75), (48,64,80), (51,68,85), (54,72,90) i (57,76,95).
Tak wiec
¾ otrzymujemy dok÷
adnie 50 nieprzystajacych
¾
trójkatów
¾
pitagorejskich o
bokach mniejszych od 100. Przestawiajac
¾ jeszcze w naszych trójkatach
¾
przyprostokatne
¾
doszlibyśmy do wniosku, z·e na p÷
aszczyźnie mamy dok÷
adnie 100 nieprzystajacych
¾
przez
przesuniecie
¾ trójkatów
¾
pitagorejskich o bokach mniejszych od 100.
2.3.2
Trójkaty
¾ pitagorejskie, których dwa boki sa¾ kolejnymi liczbami.
Rozwaz·my na poczatek
¾
trójkat
¾ (3,4,5), który to ma boki bed
¾ ace
¾ kolejnymi liczbami
naturalnymi. Jest to jedyny trójkat
¾ pitagorejski o takiej w÷
asności. Jez·eli bowiem
trójkat
¾ pitagorejski ma boki n 1, n i n + 1, gdzie n jest liczba¾ naturalna¾ wieksz
¾ a¾ od
1, to
(n 1)2 + n2 = (n + 1)2 ;
skad
¾ po redukcji mamy
n2 = 4n
czyli
n=4
a wiec
¾ trójkat
¾ (3,4,5).
×atwo tez· znaleźć wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie, których boki tworza¾postep
¾ arytmetyczny. Oznaczajac
¾ bowiem te boki przez n k, n i n + k, (gdzie k i n sa¾ liczbami
naturalnymi, przy czym n > k) mamy
(n
k)2 + n2 = (n + k)2 ;
n2 = 4nk
n = 4k:
19
Szukanymi trójkatami
¾
sa¾ wiec
¾ trójkaty
¾ (3k; 4k; 5k), gdzie k = 1; 2; ::: Sa¾ to wiec
¾ wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie podobne do trójkata
¾ (3,4,5).
Zajmiemy sie¾ teraz trójkatami
¾
pitagorejskimi, których dwa boki sa¾kolejnymi liczbami
naturalnymi.
Jak ÷
atwo zauwaz·yć, trójkaty
¾ takie musza¾ być pierwotne, gdyz· dwie kolejne liczby
naturalne sa¾ zawsze wzglednie
¾
pierwsze. Przypuśćmy najpierw, z·e w trójkacie
¾ (x; y; z)
mamy
z x=1
Z twierdzenia 7 wynika, z·e wówczas przy pewnych naturalnych nieparzystych k i l mamy
wzory (11), skad
¾ wobec z x = 1 otrzymujemy
k 2 + l2
2
kl = 1;
zatem
l)2 = 2
(k
co jest niemoz·liwe, gdyz· liczba 2 nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Przypuśćmy nastepnie,
¾
z·e
z y = 1:
W myśl twierdzenia 7 mamy wiec
¾
k 2 + l2
2
k2
l2
= 2
2
l2 = 1;
skad
¾
l = 1;
zatem
k2 + 1
;
(14)
2
2
gdzie k jest liczba¾ nieparzysta¾ wieksz
¾ a¾ od 1. Wzory te daja¾ wiec
¾ wszystkie trójkaty
¾
pitagorejskie (x; y; z), w których z y = 1. Oto pierwsze dziesieć
¾ takich trójkatów:
¾
(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61), (13,84,85), (15,112,113), (17,144,145),
(19,180,181), (21,220,221).
Istnieje tez·mechaniczny niemal sposób wypisywania dowolnej ilości trójkatów
¾
pitagorejskich, dla których z = y + 1: Jez·eli mianowicie we wzorach (14), gdzie k jest liczba¾
nieparzysta¾ wieksz
¾ a¾ od 1, podstawimy k = 2n + 1, (n 2 N ) to otrzymamy wzory
x = k; y =
k2
1
; z=
x = 2n + 1; y = 2n (n + 1) ; z = 2n (n + 1) + 1:
Przyjmujac
¾ n = 10s ; gdzie s jest liczba¾ naturalna,
¾ otrzymujemy liczby
s 1 zer
z}|{
x = 2 10 + 1 = 2 0:::0 1;
s
s 1 zer s zer
z}|{ z}|{
y = 2 10 + 2 10 = 2 0:::0 20:::0
2s
s
s 1 zer s zer
z}|{ z}|{
z = 2 102s + 2 10s + 1 = 2 0:::0 20:::01:
20
(15)
W ten sposób dla s = 1; 2; 3; ::: otrzymujemy trójkaty
¾
21;
201;
2001;
20001;
200001;
2000001;
220;
20200;
2002000;
200020000;
20000200000;
2000002000000;
221;
20201;
2002001;
200020001;
20000200001;
2000002000001;
i tak dalej, z których kaz·da¾nastepna
¾
trójk¾
e boków uzyskuje sie¾ przez proste wstawianie
zer w odpowiednich miejscach poprzedniej trójki.
Podobnie, gdybyśmy we wzorach (15) przyjeli
¾ n = 2 10s mielibyśmy
s 1 zer
z}|{
x = 4 10 + 1 = 4 0:::0 1;
s
s 1 zer s zer
z}|{ z}|{
y = 8 10 + 4 10 = 8 0:::0 40:::0
2s
s
s 1 zer s zer
z}|{ z}|{
z = 8 10 + 4 10 + 1 = 8 0:::0 40:::01;
2s
s
stad
¾ trójkaty
¾ pitagorejskie
41;
401;
4001;
40001;
400001;
4000001;
840;
80400;
8004000;
800040000;
80000400000;
8000004000000;
841;
80401;
8004001;
800040001;
80000400001;
8000004000001;
i tak dalej.
Trójkaty
¾ pitagorejskie, których przyprostokatne
¾
sa¾kolejnymi liczbami naturalnymi. W podanej tablicy trójkatów
¾
pitagorejskich pierwotnych widzimy, z·e trójka¾
tami takimi sa¾ (3,4,5), nastepnie
¾
(21,20,29). Moz·na dowieść, z·e takich trójkatów
¾
pitagorejskich jest nieskończenie wiele. Wynika to stad,
¾ z·e jez·eli dla pewnych naturalnych x i z mamy trójkat
¾ pitagorejski (x; x + 1; z), to istnieje trójkat
¾ pitagorejski
(3x + 2z + 1; 3x + 2z + 2; 4x + 3z + 2):
Istotnie,
(3x + 2z + 1)2 + (3x + 2z + 2)2
= 18x2 + 24xz + 8z 2 + 18x + 12z + 5;
a poniewaz·
x2 + (x + 1)2 = z 2 ;
czyli
2x2 + 2x + 1 = z 2 ;
21
wiec
¾
(3x + 2z + 1)2 + (3x + 2z + 2)2
= 2(3x + 2z + 1)2 + 2(3x + 2z + 1) + 1
= 16x2 + 24xz + 9z 2 + 16x + 12z + 4
= (4x + 3z + 2)2 :
W ten sposób z kaz·dego trójkata
¾ pitagorejskiego (x; x + 1; z) , którego przyprostokatne
¾
sa¾ kolejnymi liczbami naturalnymi, moz·emy otrzymać trójkat
¾ pitagorejski
f (x; x + 1; z) = (3x + 2z + 1; 3x + 2z + 2; 4x + 3z + 2);
o wiekszych
¾
bokach, którego przyprostokatne
¾ sa¾ równiez· liczbami kolejnymi. Z trójkata
¾
(3,4,5) otrzymujemy w ten sposób trójkat
¾ o bokach
3 3 + 2 5 + 1 = 20;
21;
4 3 + 3 5 + 2 = 29;
z niego zaś trójkat
¾ o bokach
3 20 + 2 29 + 1 = 119;
120; 4 20 + 3 29 + 2 = 169;
i tak dalej.
Oto pierwsze dziesieć
¾ otrzymanych w ten sposób trójkatów
¾
pitagorejskich:
3;
20;
119;
696;
4059;
23660;
114243;
732780;
4282439;
24961856;
4;
21;
120;
697;
4060;
23661;
114244;
732781;
4282440;
24961857;
5;
29;
169;
985;
5741;
33461;
195025;
1042049;
6057269;
35301565;
Udowodnimy teraz, z·e w opisany wyz·ej sposób otrzymamy wszystkie trójkaty
¾ pitagorejskie, których przyprostokatne
¾ sa¾ kolejnymi liczbami naturalnymi.
Twierdzenie 8 Ka·zdy trójkat
¾ pitagorejski, którego przyprostokatne
¾ sa¾kolejnymi liczbami naturalnymi, jest jednym z trójkatów
¾ ciagu
¾ nieskończonego
(3; 4; 5); f (3; 4; 5); f f (3; 4; 5); f f f (3; 4; 5); :::
W tym celu udowodnimy najpierw nastepuj
¾ acy
¾ lemat:
Lemat 9 Je·zeli (x; x + 1; z) jest trójkatem
¾
pitagorejskim, gdzie x > 3, to równie·z
(x1 ; x1 + 1; z) = g(x1 ; x1 + 1; z1 ) = (3x
2z + 1; 3x
jest trójkatem
¾
pitagorejskim, przy czym z1 < z:
22
2z + 2; 3z
4x
2)
(16)
Dowód. Pokaz·emy przede wszystkim, z·e
x1 = 3x
2z + 1 > 0
i
0 < z1 = 3z
4x
2 < z;
czyli
2z < 3x + 1;
3z > 4x + 2
i
(17)
z < 2x + 1:
Wobec x > 3 mamy
x>3 j x
x2 > 3x = 2x + x > 2x + 3:
Poniewaz·
x2 + (x + 1)2 = z 2 ;
gdyz· (x; x + 1; z) jest trójkatem
¾
pitagorejskim, wiec
¾ znajdujemy
4z 2 = 8x2 + 8x + 4 = 9x2 + 8x + 4 x2 <
< 9x2 + 8x + 4 (2x + 3) = 9x2 + 6x + 1 = (3x + 1)2 ;
skad
¾
2z < 3x + 1
i wobec x > 0 mamy tym bardziej
2z < 4x + 2;
zatem
z < 2x + 1:
Wreszcie, wobec x2 + (x + 1)2 = z 2 i x > 0 mamy
9z 2 = 18x2 + 18x + 9 > 16x2 + 16x + 4 = (4x + 2)2 ;
skad
¾
3z > 4x + 2:
Nierówności (17) zosta÷
y zatem udowodnione.
Pozostaje do pokazania, z·e (x1 ; x1 + 1; z1 ) jest trójkatem
¾
pitagorejskim. Mamy,
x21 + (x1 + 1)2 = 18x2
z12 = 16x2
24xz + 8z 2 + 18x
24xz + 9z 2 + 16x
12z + 5;
12z + 4;
a poniewaz· z 2 = 2x2 + 2x + 1; wiec
¾
18x2
24xz + 8z 2 + 18x 12z + 5 = 16x2
2x2 + 2x + 1 = z 2 ;
24xz + 9z 2 + 16x
zatem
x21 + (x1 + 1)2 = z12 ;
23
12z + 4;
co dowodzi, z·e trójkat
¾ (x1 ; x1 +1; z1 ) jest pitagorejski. Udowodniliśmy wiec
¾ nasz lemat.
Wróćmy teraz do dowodu naszego twierdzenia.
Dowód. W myśl naszego lematu z kaz·dego trójkata
¾ pitagorejskiego (x; x + 1; z) ,
którego przyprostokatne
¾ sa¾ kolejnymi liczbami naturalnymi i x > 3, moz·emy otrzymać
nowy trójkat
¾ pitagorejski
x21 + (x1 + 1)2 = g(x; x + 1; z);
którego przyprostokatne
¾
sa¾ równiez· kolejnymi liczbami naturalnymi, przy czym z1 <
z: Jez·eli przy tym x1 > 3; to w myśl naszego lematu moz·emy z trójkata
¾ (x1 ; x1 +
1; z1 ) otrzymać nowy trójkat
¾ pitagorejski
(x2 ; x2 + 1; z2 ) = g(x1 ; x1 + 1; z1 ) = gg(x; x + 1; z);
gdzie z2 < z1 itd. Nie moz·emy jednak oczywiście w ten sposób otrzymać ciagu
¾ nieskończonego trójkatów
¾
pitagorejskich o malejacych
¾
przeciwprostokatnych.
¾
Dowodzi to, z·e
przy pewnym naturalnym n musimy dojść do trójkata
¾
(xn ; xn + 1; zn ) = g n (x; x + 1; z);
gdzie xn = 3 , co wobec zwiazku
¾
x2n + (xn + 1)2 = zn2 daje z n = 5: A wiec
¾ przy pewnym
naturalnym n jest
g n (x; x + 1; z) = (3; 4; 5) :
(18)
Jak ÷
atwo sprawdzić, dla kaz·dego trójkata
¾ pitagorejskiego (x; x + 1; z); gdzie x > 3;
mamy
f g(x; x + 1; z) = f (3x
2z + 1; 3x
2z + 2; 3z
4x
2) = (x; x + 1; z);
co daje
f f gg(x; x + 1; z) = (x; x + 1; z)
i ogólnie
f k g k (x; x + 1; z) = (x; x + 1; z)
dla k = 1; 2; :::
zatem, wobec (18)
(x; x + 1; z) = f n (3; 4; 5) ;
co by÷
o do pokazania.
2.3.3
Podzielność przez 3 albo przez 5 jednego z boków trójkata
¾ pitagorejskiego.
Jak juz· wiemy, w kaz·dym trójkacie
¾ pitagorejskim co najmniej jedna z przyprostokat¾
nych jest podzielna przez 4 (patrz Wniosek 5). Udowodnimy teraz, nastepuj
¾ ace
¾ dwa
twierdzenia:
Twierdzenie 10 W ka·zdym trójkacie
¾ pitagorejskim co najmniej jedna z przyprostokat¾
nych jest podzielna przez 3.
24
Dowód. Przypuśćmy, z·e w trójkacie
¾ pitagorejskim (x; y; z) z·adna spośród liczb x i y
nie jest podzielna przez 3. Mamy wiec
¾
x = 3k
1;
y = 3l
1;
gdzie k i l sa¾ liczbami ca÷
kowitymi. Stad
¾
x2 + y 2 = 3 3k 2 + 3l2
2k
2l + 2;
a to nie moz·e być kwadratem liczby naturalnej, gdyz· kwadrat liczby podzielnej przez
3 jest podzielny przez 3, natomiast kwadrat liczby naturalnej niepodzielnej przez 3, a
wiec
¾ liczby postaci 3t 1, wobec równości
(3t
1)2 = 3 3t2
2t + 1;
daje przy dzieleniu przez 3 reszte¾ 1, w z·adnym wiec
¾ razie nie daje reszty 2, jak liczba
z 2 = x2 + y 2 . Za÷
oz·enie, z·e z·adna spośród liczb x i y nie jest podzielna przez 3 doprowadza do sprzeczności. Udowodniliśmy w ten sposób, z·e co najmniej jedna z liczb
x i y jest podzielna przez 3.
Twierdzenie 11 W ka·zdym trójkacie
¾ pitagorejskim przynajmniej jeden z boków jest
podzielny przez 5.
Dowód. Przypuśćmy, z·e n 2 N nie jest podzielna przez 5, jest zatem postaci
n = 5k
1
lub
n = 5k
2;
gdzie k jest liczba¾ ca÷
kowita.¾ W pierwszym przypadku mamy
n2 = 5 5k 2
2k + 1;
n2 = 5 5k 2
4k + 4:
a w drugim
Wynika stad
¾ natychmiast, z·e kwadrat liczby naturalnej niepodzielnej przez 5 daje przy
dzieleniu przez 5 reszte¾ 1 lub 4. Gdyby wiec
¾ w trójkacie
¾ pitagorejskim (x; y; z) z·adna z
liczb x i y nie by÷
a podzielna przez 5, to kaz·da z liczb x2 i y 2 dawa÷
yby przy dzieleniu
2
2
przez 5 reszte¾ 1 lub 4, skad
¾ z÷
atwościa¾wynika, z·e liczba x +y dawa÷
aby przy dzieleniu
przez 5 reszte¾ 2, 3 lub 0. Poniewaz· x2 +y 2 = z 2 , wiec
¾ pierwsze dwa przypadki zachodzić
nie moga,¾ gdyz· liczba z 2 , jako kwadrat liczby naturalnej, nie moz·e- jak widzieliśmyprzy dzieleniu przez 5 dawać reszty 2 ani 3. Musi wiec
¾ zachodzić przypadek trzeci, skad
¾
wynika, z·e liczba z 2 , a wiec
¾ i liczba z musi być podzielna przez 5. Jez·eli wiec
¾ w trójkacie
¾
pitagorejskim z·adna przyprostokatna
¾ nie jest podzielna przez 5, to przeciwprostokatna
¾
musi być podzielna przez 5.
Z przegladu
¾ trójkatów
¾
wynika, z·e podzielna przez 5 moz·e być przyprostokatna
¾
nieparzysta, przyprostokatna
¾ parzysta albo przeciwprostokatna.
¾
25
2.3.4
Trójkaty
¾ pitagorejskie o tym samym obwodzie.
Pokaz·emy tu, z·e dla kaz·dej liczby naturalnej n istnieje przynajmniej n nieprzystajacych
¾
trójkatów
¾
pitagorejskich o równych obwodach.
Istotnie, wiemy juz·, z·e z·adne dwa nieprzystajace
¾ trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne nie
sa¾ podobne, a jest ich nieskończenie wiele. Weźmy n nieprzystajacych
¾
takich trójkatów
¾
(ak ; bk ; ck ) ; gdzie k = 1; 2; :::; n; i oznaczmy
ak + b k + c k = s k
s = s1 s2 ::: sn ;
0
0
0
ak =
ak s
;
sk
dla
0
bk =
bk s
;
sk
k = 1; 2; :::; n
0
ck =
ck s
sk
dla k = 1; 2; :::; n:
0
Bedzie
¾
ak +bk +ck = s dla k = 1; 2; :::; n; przy czym z·adne dwa z trójkatów
¾
pitagorejskich
0
0
0
ak ; bk ; ck gdzie k = 1; 2; :::; n; ;nie bed
¾ a¾ podobne do trójkatów
¾
(ak ; bk ; ck ) ; a wiec
¾ tym
bardziej nie bed
¾ a¾ przystajace.
¾ Oczywiście w powyz·szym dowodzie, zamiast określać s
jako iloczyn wszystkich liczb s1 ; s2 ; :::; sn ; moz·na by określić s jako najmniejsza¾wspólna¾
wielokrotność liczb s1 ; s2 ; :::; sn : W ten sposób z trójkatów
¾
(3,4,5) i (2,12,13) otrzymujemy dwa trójkaty
¾ (15,20,25) i (10,24,26) o jednakowym obwodzie równym 60. Istotnie,
bowiem
s1 = 3 + 4 + 5 = 12;
s2 = 5 + 12 + 13 = 30
najwieksza
¾
wspólna wielokrotność liczb s1 ; s2 to s = 60, zatem otrzymujemy,
0
a1 s
3 60
=
= 15;
s1
12
a2 s
5 60
=
=
= 10;
s2
30
a1 =
0
a2
b1 s
4 60
=
= 20;
s1
12
b2 s
12 60
0
b2 =
=
= 24;
s2
30
0
b1 =
c1 s
5 60
=
= 25
s1
12
c2 s
13 60
0
c2 =
=
= 26:
s2
30
0
c1 =
Podobnie z trójkatów
¾
pitagorejskich (3,4,5), (5,12,13) i (15,8,17) otrzymujemy trzy
trójkaty
¾ (30,40,50), (20,48,52), (45,24,51) o tym samym obwodzie równym 120.
Z ciekawostek podamy, z·e znaleziono tez· trzy trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne o tym
samym obwodzie równym 14280: (3255,5032,5993), (7055,168,7057) i (119,7080,7081).
Istnieja¾ równiez· trójkaty
¾ pitagorejskie pierwotne, których obwód jest kwadratem liczby
naturalnej; najmniejszym z nich jest trójkat
¾ (16,63,65) o obwodzie równym 122 . Trójka¾
tem pitagorejskim niepierwotnym o tym samym obwodzie jest (36,48,60). Trójkat
¾
pierwotny (252,275,373) ma obwód 302 ; ten sam obwód maja¾ trójkaty
¾ niepierwotne
(150,360,390) oraz (90,400,410).
2.3.5
Trójkaty
¾ pitagorejskie o jednakowych polach.
Z podanej tablicy (Tablica nr.3) wynika, z·e trójkaty
¾ pitagorejskie (21,20,29) i (35,12,37)
maja¾ jednakowe pola równe 210 i z·e nie ma mniejszych trójkatów
¾
pitagorejskich pierwotnych o róz·nych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych polach.
26
Gdybyśmy tak jeszcze chcieli uwzglednić
¾
niepierwotne trójkaty
¾ pitagorejskie o przeciwprostokatnych
¾
mniejszych od 37, to nalez·y jeszcze wziać
¾ pod uwage¾ trójkaty:
¾
x
6
9
12
15
18
21
10
30
y
8
12
16
20
24
28
24
16
z
10
15
20
25
30
35
26
34
P
24
54
96
150
216
294
120
240
Uwzgledniaj
¾
ac
¾ jeszcze te trójkaty
¾ widzimy, z·e nie ma trójkatów
¾
o róz·nych przeciwpros¾
równe pola.
tokatnych
¾
mniejszych od 37 (ani tez· o polach mniejszych od 210) majacych
Zatem:
Wniosek 12 Najmniejsza¾ para¾ trójkatów
¾
pitagorejskich o ró·znych przeciwprostokat¾
nych i jednakowych polach jest para trójkatów
¾ (21,20,29) i (35,12,37).
Uwaga 13 Zauwa·zmy, ·ze trójkaty
¾ prostokatne
¾ o jednakowych polach i jednakowych
przeciwprostokatnych
¾
musza¾być przystajace.
¾
Dowód. Za÷
óz·my, z·e (a1 ; b1 ; c1 ) i (a2 ; b2 ; c2 ) sa¾ takimi trójkatami
¾
i a1
to w myśl za÷
oz·enia mamy,
b 1 ; a2
b2 ;
a1 b 1 = a2 b 2
c1 = c2 ;
zatem
a21 + b21 = a22 + b22 ;
skad
¾
(a1
b1 )2 = (a2
b2 )2
i
(a1 + b1 )2 = (a2 + b2 )2 ;
b2
i
a1 + b1 = a2 + b2 ;
co daje
a1
b 1 = a2
wiec
¾ a1 = b1 i a2 = b2 ; co by÷
o do pokazania.
Nasuwa sie¾ teraz pytanie, czy moz·na znaleźć dowolnie wiele trójkatów
¾
pitagorejskich
o róz·nych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych polach. Odpowiedź na to pytanie daje
nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie Fermata:
Twierdzenie 14 (Fermata) Dla ka·zdej liczby naturalnej n istnieje n trójkatów
¾ pitagorejskich o ró·znych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych polach.
Twierdzenie to wynika natychmiast przez indukcje¾ z nastepuj
¾ acego
¾
lematu:
27
Lemat 15 Je·zeli mamy n 1 trójkatów
¾ pitagorejskich o ró·znych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych polach i jeden z nich ma przeciwprostokatn
¾ a¾ nieparzysta,¾ to mo·zemy
znale´zć n + 1 trójkatów
¾
pitagorejskich o ró·znych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych
polach, z których jeden ma przeciwprostokatn
¾ a¾nieparzysta.¾
Dowód. Niech n 1 oznacza dana¾ liczbe¾ naturana¾ i niech bedzie
¾
danych n trójkatów
¾
pitagorejskich (ak ; bk ; ck ) ; gdzie ak < bk < ck ; k = 1; 2; :::; n o róz·nych przeciwprostokatnych
¾
i jednakowych polach, przy czym liczba c1 jest nieparzysta. Przyjmijmy
0
ak = 2 b21
0
a21 c1 ak ;
bk = 2 b21
0
a21 c1 bk ;
ck = 2 b21
a21 c1 ck
(19)
dla k = 1; 2; :::; n oraz
0
an+1 = b21
0
0
2
a21
0
bn+1 = 4a1 b1 c21 ;
;
0
cn+1 = 4a21 b21 + c41 :
(20)
0
¾ o
Trójkaty
¾
ak ; bk ; ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n; sa¾ pitagorejskie, bowiem sa¾ to trójkaty
naturalnych bokach podobne odpowiednio do trójkatów
¾
pitagorejskich (ak ; bk ; ck ) : Ale i
0
0
0
trójkat
¾ an+1 ; bn+1 ; cn+1 jest pitagorejski, co wynika ze wzorów (20), wzoru a21 + b21 = c21
dla trójkata
¾ pitagorejskiego (a1 ; b1 ; c1 ) i z ÷
atwo dajacej
¾ sie¾ sprawdzić toz·samości
b2
a2
4
+ (4ab(a2 + b2 ))2 = [4a2 b2 + (a2 + b2 )2 ]2 :
0
0
0
Pokaz·emy teraz, z·e trójkaty
¾
ak ; bk ; ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n + 1; spe÷
niaja¾ z·adane
¾
warunki. W samej rzeczy, niech P bedzie
¾
polem kaz·dego z trójkatów
¾
(ak ; bk ; ck ) gdzie
k = 1; 2; :::; n: Bedzie
¾
wiec
¾ ak bk = 2P dla k = 1; 2; :::; n; a poniewaz· wobec (19) pole
0
0
0
trójkata
¾ ak ; bk ; ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n; jest równe
1 0 0
a b = 2 b21
2 k k
0
0
a21 c1 ak bk = 4 b21
a21 c21 P;
0
a pole trójkata
¾ an+1 ; bn+1 ; cn+1 jest wobec (20), równe
1 0
0
an+1 bn+1 = 2 b21
2
0
0
a21
2
a1 b1 c21 = 4 b21
a21
2 2
c1 P;
0
wiec
¾ trójkaty
¾ ak ; bk ; ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n + 1; maja¾ jednakowe pola.
0
0
0
Ponadto trójkaty
¾ ak ; bk ; ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n; maja¾ róz·ne przeciwprostokatne,
¾
gdyz· liczby ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n; jako przeciwprostokatne
¾ trójkatów
¾
(ak ; bk ; ck ) gdzie
k = 1; 2; :::; n; sa¾ wszystkie róz·ne, a przy tym, wobec (19), wszystkie parzyste. Nato0
miast liczba cn+1 jest wobec (20) nieparzysta, gdyz· w myśl za÷
oz·enia liczba c1 ; jest
0
nieparzysta. Liczby ck ; gdzie k = 1; 2; :::; n + 1; sa¾ wiec
¾ wszystkie róz·ne.
Lemat nasz zosta÷wiec
¾ udowodniony.
Weźmy najprostszy przypadek szczególny naszego lematu, gdy n = 1. Najmniejszym trójkatem
¾
pitagorejskim, do którego moz·emy zastosować nasz lemat, jest oczywiście trójkat
¾ o bokach (a1 = 3; b1 = 4; c1 = 5) : Otrzymamy z niego dwa trójkaty
¾
0
0
0
0
0
0
pitagorejskie a1 ; b1 ; c1 i a2 ; b2 ; c2 o jednakowych polach, gdzie w myśl wzorów (19)
mamy
0
a1 = 2 7 5 3 = 210;
0
b1 = 2 7 5 4 = 280;
28
0
c1 = 2 7 5 5 = 350:
W myśl wzorów (20) znajdujemy
0
a2 = 42
33
2
= 49;
0
b2 = 4 3 4 52 = 1200;
0
c2 = 4 32 42 + 54 = 1201:
Otrzymaliśmy zatem dwa trójkaty
¾ pitagorejskie o róz·nych przeciwprostokatnych
¾
i o
jednakowych polach równych 29400.
Istnieje oczywiście co najwyz·ej skończona ilość trójkatów
¾
pitagorejskich o danym
polu P , gdyz· przyprostokatne
¾ takich trójkatów
¾
musza¾ być dzielnikami liczby 2P .
2.3.6
Trójkaty
¾ pitagorejskie, których jeden lub wiecej
¾ boków sa¾kwadratami
liczb naturalnych.
Moz·na dowieść, z·e:
Twierdzenie 16 Istnieje nieskończenie wiele trójkatów
¾ pitagorejskich pierwotnych,których przeciwprostokatne
¾ sa¾kwadratami liczb naturalnych.
Dowód. Niech (n; m; p) ; gdzie n < m < p; oznacza jakikolwiek trójkat
¾ pitagorejski
pierwotny. Wiemy, z·e jedna spośród liczb m i n musi być parzysta, a druga nieparzysta,
przy czym liczby m i n sa¾ wzglednie
¾
pierwsze. Zatem w myśl twierdzenia 6, jez·eli
liczby x; y i z wyznaczymy ze wzorów (7), to otrzymamy trójkat
¾ pitagorejski pierwotny
(x; y; z). Mamy
z = m2 + n2 = p2 ;
wiec
¾ przeciwprostokatna
¾ jest kwadratem.
Na przyk÷
ad z trójkata
¾ pierwotnego (3; 4; 5) otrzymujemy trójkat
¾ pierwotny (7; 24; 25),
którego przeciwprostokatna
¾ jest kwadratem, a z trójkata
¾ pierwotny (119; 120; 169), gdzie 169 = 132 : Istnieja¾tez·trójkaty
¾ pitagorejskie, których przeciwprostokatne
¾ sa¾sześcianami liczb naturalnych, np. trójkat
¾ (177, 44,
125), gdzie 125 = 53 :
Pokaz·emy równiez·, z·e:
¾ pitagorejskich pierwotnych, których jedna z przyprostokatnych
¾
jest kwadratem liczby naturalnej.
Dowód. Niech (q; n; m) oznacza trójkat
¾ pitagorejski pierwotny, gdzie n jest liczba¾
parzysta,¾ zatem q i m sa¾ liczbami nieparzystymi, przy czym m; n- wzglednie
¾
pierwsze.
W myśl twierdzenia 6, jez·eli liczby x; y i z wyznaczymy ze wzorów (7), to otrzymamy
trójkat
¾ pitagorejski pierwotny (x; y; z). Mamy
x = m2
n2 = q 2 ;
zatem przyprostokatna
¾ (nieparzysta) jest kwadratem.
W ten sposób z trójkata
¾ pierwotny (9; 40; 41),
gdzie 9 = 32 ; a z trójkata
¾ pierwotny (25,
2
312, 313), gdzie 25 = 5 :
W końcu pokaz·emy, z·e:
29
¾ pitagorejskich pierwotnych, których przyprostokatne
¾ parzyste sa¾kwadratami.
Dowód. Wynika natychmiast z toz·samości
k4
4
2
+ (2k)4 = k 4 + 4
2
;
gdzie za k nalez·y przyjać
¾ liczbe¾ nieparzysta,
¾ wówczas bowiem liczby k 4 4 i 4k 2 bed
¾ a¾
wzglednie
¾
pierwsze.
Dla k = 1 otrzymujemy stad
¾ trójkat
¾ (3; 22 ; 5); dla k = 3 mamy trójkat
¾ (77; 62 ; 85);
dla k = 5 mamy trójkat
¾ (621; 102 ; 629):
2.3.7
Trójkaty
¾ prostokatne,
¾
których boki sa¾ odwrotnościami liczb naturalnych.
W zwiazku
¾
z omawianymi trójkatami
¾
pitagorejskimi rodzi sie¾ pytanie, czy istnieja¾
trójkaty
¾ prostokatne,
¾
których kaz·dy z boków jest odwrotnościa¾ liczby naturalnej, i jak
moz·na znaleźć wszystkie takie trójkaty.
¾
Przypuśćmy wiec,
¾ z·e T jest takim trójkatem.
¾
Istnieja¾ wiec
¾ liczby naturalne x; y i z
takie, z·e T = ( x1 ; y1 ; z1 ); a poniewaz· trójkat
¾ T ma być prostokatny,
¾
wiec
¾ musi być
1
1
1
+ 2 = 2:
2
x
y
z
(21)
Postacia¾algebraiczna¾naszego zagadnienia bedzie
¾
wiec
¾ znalezienie wszystkich rozwia¾
zań x; y; z równania (21) w liczbach naturalnych. Przypuśćmy, z·e liczby naturalne
x; y; z
spe÷
niaja¾ równanie (21). Mamy, stad
¾ z 2 > x 2 ; zaś z 2 < x2 ; co daje x > z:
Ze wzoru (21) wynika
y 2 x2 z 2 = x2 z 2 :
(22)
Niech d bedzie
¾
najwiekszym
¾
wspólnym dzielnikiem liczb x i z; istnieja¾ wiec
¾ liczby
naturalne a i c wzglednie
¾
pierwsze takie, z·e x = da, z = dc. Wobec (22) mamy
y 2 a2
c2 = (dac)2 ;
(23)
skad
¾ wynika, z·e (dac)2 jest dzielnikiem y 2 ;wiec
¾ dac jest dzielnikiem liczby y, zatem
istnieje liczba naturalna b taka, z·e dac = yb, skad
¾ wobec (23) znajdujemy
a2
c 2 = b2 :
(24)
Poniewaz· liczby a i c sa¾wzglednie
¾
pierwsze, wiec
¾ ze wzoru (24) wynika natychmiast,
z·e liczby b i c sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, a z·e wobec (24) mamy
b 2 + c 2 = a2 ;
zatem (b; c; a) jest trójkatem
¾
pitagorejskim pierwotnym.
30
(25)
W myśl twierdzenia 6 wnosimy wiec,
¾ z·e istnieja¾ liczby naturalne wzglednie
¾
pierwsze
m i n, z których jedna jest parzysta, takie z·e m > n i
8
< b = m2 n2 ; c = 2mn; a = m2 + n2
albo
(26)
:
2
2
2
2
b = 2mn; c = m
n ;a = m + n :
Jak wiemy, liczby b i c sa¾ wzglednie
¾
pierwsze; wobec wzoru (25) wynika stad
¾ z
÷
atwościa,
¾ z·e liczby b i a musza¾ być wzglednie
¾
pierwsze. Liczba b jest wiec
¾ pierwsza
zarówno wzgledem
¾
a, jak i wzgledem
¾
c, skad
¾ wynika, z·e jest pierwsza wzgledem
¾
iloczynu
ac. Znaleziona wyz·ej równość dac = yb dowodzi, z·e liczba d musi być podzielna przez
b, zatem istnieje liczba naturalna taka, z·e d = b : Mamy wiec
¾ x = da = ab; y =
ac; z = dc = bc; zatem wobec (26) otrzymujemy
x = m2 + n2
m2
n2
;
y = 2mn m2 + n2
;
z = 2mn m2
n2
;
albo
x = 2mn m2 + n2
y = m2 + n2
;
m2
n2
;
z = 2mn m2
n2
:
Z drugiej strony, jez·eli wyznaczymy liczby x; y; z z powyz·szych wzorów przy dowolnych
liczbach naturalnych m > n, to wyznaczajac
¾ liczby b; c; a ze wzorów (26) otrzymamy
x = ab;
y = ac;
z = bc;
bedziemy
¾
mieli wzór (25) oraz wzór (22), skad
¾ wzór (21).
Zatem moz·emy teraz sformu÷
ować nastepuj
¾ acy
¾ wniosek:
Wniosek 19 Wszystkie rozwiazania
¾
równania postaci
1
1
1
+ 2 = 2
2
x
y
z
wyra·zone w liczbach naturalnych x; y; z (i tylko takie rozwiazania)
¾
otrzymujemy ze
wzorów
x = m2 + n2
m2
n2
;
y = 2mn m2 + n2
;
z = 2mn m2
n2
;
lub
x = 2mn m2 + n2
;
y = m2 + n2
m2
n2
;
z = 2mn m2
n2
;
przy czym jest dowolna¾ liczba¾ naturalna,¾ a m i n sa¾ liczbami naturalnymi wzglednie
¾
pierwszymi, z których jedna jest parzysta i m > n.
Zauwaz·my, z·e kaz·de rozwiazanie
¾
równania (21) w liczbach naturalnych otrzymuje
amkiem nieprzywiedlnym równym liczbie
sie¾ w ten sposób tylko jeden raz, gdyz· ac jest u÷
x
, a wiec
¾ a i c sa¾ wyznaczone przez liczby x i z, jak równiez· wyznaczona jest liczba b
z
x
wobec wzoru (24), oraz liczby m i n; zatem takz·e liczba = ab
:
Dla m = 2; n = 1; = 1 otrzymujemy x = 15; y = 20; z = 12, co daje rozwiazanie
¾
równania (26) w liczbach naturalnych najmniejszych
1
1
1
+ 2 = 2:
2
15
20
12
Dla m = 3; n = 1; = 1 otrzymujemy x = 80; y = 60; z = 48, (czterokrotnie
wieksze
¾
od liczby znalezionej poprzednio).
31
2.4
Sposób Vogelera na znajdowanie liczb pitagorejskich.
J. H. Conway [[2], str.177-178] pokaza÷sposób Vogelera na otrzymanie liczb pitagorejskich, a dok÷
adniej u÷
amków pitagorejskich. Poniz·ej przedstawie¾ na czym on polega÷
.
W kwadrat wpisujemy okrag.
¾ ×¾
aczymy wierzcho÷
ek kwadratu P z punktem styczności
S lub W kwadratu z okregiem.
¾
Drugi punkt przeciecia
¾ tego odcinka z okregiem
¾
Q1
jest jednym z wierzcho÷
ków prostokata
¾ o bokach d÷
ugości 3; 4 i przekatnej
¾
d÷
ugości
5: Jeśli teraz po÷
aczymy
¾
pozosta÷
e wierzcho÷
ki tego prostokata
¾ z P otrzymamy na okregu
¾
punkty Q2 ; Q3 ; Q4 ; stanowiace
¾ wierzcho÷
ki prostokatów
¾
o nastepuj
¾ acych
¾
wymiarach
(8; 15; 17); (20; 21; 29) i (5; 12; 13). ×¾
aczac
¾ P z wierzcho÷
kami kaz·dego nowego prostokata,
¾ otrzymamy nastepne
¾
i tak w nieskończoność.
Rys.1
2
2
Zauwaz·my, z·e punkt Q1 = 54 ; 35 = p22pq
; p q ; dla p = 2; q = 1: Wartości
+q 2 p2 +q 2
(p; q) dla Q2 ; Q3 ; Q4 wynosza¾ odpowiednio (4; 1) ; (5; 2) ; (3; 2) . Z powyz·szego moz·na
zauwaz·yć, z·e
Twierdzenie 20 Ka·zda pierwotna para p; q, gdzie:
1. p; q wzglednie
¾
pierwsze,
2. p > q > 0;
32
3. p; q - róz·nej parzystości,
generuje powstanie trzech nowych pierwotnych par (P; Q) ze wzorów:
(p + 2q; q), (2p + q; p), (2p
q; p)
przy czym kaz·da¾ tylko jeden raz.
Dowód. Za÷
óz·my, z·e p; q wzglednie
¾
pierwsze, p > q > 0; oraz p; q - róz·nej parzystości. Para (P; Q) = (p + 2q; q) jest pierwotna. Istotnie, bowiem za÷
óz·my, z·e tak nie
jest i P , Q posiadaja¾ wspólny dzielnik d > 1, oznacza to, z·e d jest dzielnikiem liczb
p + 2q i q: Z tego wynika, z·e d musi być równiez· dzielnikiem liczby p; co wobec za÷
oz·eń
być nie moz·e. Analogicznie w pozosta÷
ych dwóch przypadkach.
Twierdzenie 21 Niech p; q- wzglednie
¾
pierwsze, p > q > 0; oraz p; q- ró·znej parzysto´sci. Je·zeli (P; Q) 6= (2; 1) ; to para która generuje (P; Q) wyznaczona jest wzorami
(P 2Q; Q) ; (Q; j P 2Q j) :
Dowód. Za÷
óz·my, z·e (P + 2Q; Q) = (p; q) ; oznacza to, z·e
p + 2q = P
=)
q=Q
p = P 2Q
q=Q
zatem
(p; q) = (P
2Q; Q)
Podobnie, (2p + q; p) = (P; Q) ; zatem mamy,
2p + q = P
p=Q
(p; q) = (Q; P
oraz (2p
2Q)
q; p) = (P; Q) ;
2p
q=P
p=Q
wiec
¾
(p; q) = (Q; 2Q
P):
Istotnie udowodniliśmy, z·e tak wskazana para p; q wyznaczona jest powyz·szymi wzorami. Pokaz·e¾ teraz, z·e nie moga¾ zachodzić te dwa wzory jednocześnie. Otóz·, aby
spe÷
niony by÷warunek pierwszy potrzeba i wystarcza by
P
2Q > Q
a to oznacza, z·e
P > 3Q;
natomiast drugi
j P 2Q j< Q
Q < P 2Q < Q
Q < P < 3Q
co nalez·a÷
o pokazać.
33
2.5
Plimpton 322
2.5.1
Co to takiego?
Stanowi niezwyk÷
y przyk÷
ad glinianej tablicy matematycznej, powszechnie znanej jako
Plimpton 322, jednej z najbardziej analizowanych tablic okresu starobabilońskiego,
bed
¾ acej
¾ źród÷
em badań wielu naukowców. Pierwotnie opublikowana zosta÷
a przez
Neugebauer’a i Sachs’a w „Mathematical Cuineform Texts” z 1945 roku. Zakupiona
przez G. A. Plimpton’a od Edgar James Banks of Eustis na Florydzie i przypuszczalnie zosta÷
a znaleziona w Senkereh. Swa¾ nazw¾
e naby÷
a od numeru rejestracji w kolekcji
George’a Ames’a Plimptona w „Rare Book and Manuscript Library”na Uniwersytecie
Kolumbijskim w Nowym Jorku. Poczatkowo
¾
myślano, z·e Plimpton 322 jest jedna¾ z
tuzina tabliczek handlowych, na których Babilończycy dokonywali spisu z·ywności i towarów. Dopiero Otto Neugebauer i A. J. Sachs ustalili jej identyczność jako matematycznego tekstu. Pokazali, z·e liczby na niej istniejace
¾ mog÷
y być jedynie obliczone poprzez
systematyczne uz·ycie wytworzonej formu÷
y (dla liczb ca÷
kowitych) dla trójek pitagorejskich. Poniz·ej znajduje sie¾ zdjecie
¾ tablicy (Rys.2) oraz obraz (Rys.3) przedstawiajacy
¾
liczby na niej zapisane za pomoca¾ pisma klinowego, przy czym kliny w kolorze szarym
oznaczaja,¾ z·e w tych miejscach trudno jednoznacznie odczytać ich wartość, w wiekszości
¾
z powodu uszkodzenia tablicy, kolor czerwony zaś sygnalizuje b÷
edy.
¾
Datowana na lata
1900 -1600 p. n. e. zawiera liste¾ wartości trzech niewiadomych, które w dzisiejszych
czasach moz·naby odczytać jako (c )2 ; b; c . ×atwo zwery…kować, z·e wartości (wyraz·one
w uz·ywanym przez Babilończyków systemie sześćdziesietnym)
¾
sa¾ precyzyjnie dobrane
i otrzymywane przez uz·ycie trójkatnego
¾
równania parametru
b = ab ;
c = ac ;
b = 21 (t0
t);
c = 12 (t0 + t);
jez·eli weźmiemy pod uwage¾ parametr t (gdzie t0 = 1t ) , tak by b i c by÷
y ca÷
kowitymi
liczbami wzglednie
¾
pierwszymi. Jednakz·e dla kaz·dej pary (b; c) pojawiajacej
¾ sie¾ w
drugiej i trzeciej kolumnie tablicy Plimpton 322, pojawiajace
¾ sie¾ trójki (a; b; c) sa¾
dodatnimi, pierwotnymi trójkami pitagorejskimi. Ca÷
kowite a; b i c sa¾ wartościami
boków trójkata
¾ i rozwiazaniami
¾
równania
a2 + b 2 = c 2
zwanego równaniem Pitagorasa. Po tej publikacji Neugebauera i Sachsa tablica Plimpton by÷
a analizowana i interpretowana przez wielu jeszcze innych autorów (Bruins,
Price itd.). Celem tych wszystkich publikacji jest wyciagni
¾ ecie
¾ jednolitej tezy oraz
zrozumienie znaczenia tego wyjatkowego
¾
unikatu matematycznego tekstu.
34
Rys.2
35
Rys.3
36
Format tablicy wynosi oko÷
o 13 9 3 cm. Zachowa÷
a sie¾ w uszkodzonym stanie,
lewa jej cześć
¾ jest od÷
amana, prawa zaś obt÷
uczona. Cześć
¾ zachowana zawiera cztery
kolumny liczb po 15 w kaz·dej. Pierwsza od prawej strony zawiera liczby porzadkowe
¾
od
1 do 15, nastepnie
¾
dwie zgodnie z nag÷
ówkami - przeciwprostokatn
¾ a¾c i przyprostokatn
¾ a¾
b trójkata.
¾ Ostatnia, czyli pierwsza od lewej strony, zawiera liczby wielocyfrowe, które
zosta÷
y zidenty…kowane jako
2
b
= (b )2 ;
a
gdzie a jest wieksz
¾ a¾ przyprostokatn
¾ a.
¾ Moz·liwa jest równiez· interpretacja liczb omawianej kolumny jako
c 2
+ 1 = (c )2 ;
a
i w takim razie kaz·da liczba tej kolumny mia÷
aby postać 1; ::: i być moz·e, z·e jedynki
znajdowa÷
y sie¾ na od÷
amanej cześci
¾ tablicy. Rzeczywiście nag÷
ówki nad trzema zachowanymi kolumnami nie liczac
¾ kolumny z liczbami porzadkowymi
¾
sa¾nastepuj
¾ ace
¾ [[3],
str 300] :
[...-ki]-il-ti si-li-ip-tim ib-sa sag ib-sa si-li-ip-tim
W tym kontekście „sag” i „sililiptum” moz·e być przet÷
umaczone jako „przód” i „przekatna”
¾
, odpowiednio, podczas gdy znaczenie terminu „ib-sa” jest mniej jasne. W tym
kontekście nawiazuj
¾ ac
¾ do Neugebauera i Sachsa, termin ten nie moz·e być tutaj uz·yty w
swoim zwyczajnym znaczeniu jako „pierwiastek kwadratowy”. Znaczenie tych nadpisów
jest mniej lub bardziej jasne: „przód”i „przekatna”
¾
, nawiazuj
¾ ac
¾ do Babilońskiego standardu terminologii, odpowiednio oznaczaja¾ „najkrótszy bok” i „przeciwprostokatna”
¾
trójkata
¾ prostokatnego,
¾
(dla jasności wieksza
¾
przyprostokatnego
¾
w ich jezyku
¾
to „us”).
Odwrotna strona jest niezapisana.
Poniz·ej przedstawie¾ interpretacje¾ tablicy Plimpton 322 w oryginale, zapisana¾w systemie sześćdziesietnym
¾
(Tabela nr.4 Plimpton 322), a nastepnie
¾
w dziesietnym
¾
(Tabela
nr.4 Plimpton 322), przy czym b÷
edy
¾ oznaczono pogrubiona¾ czcionka.
¾
37
[...-ki]-il-ti si-li-ip-tim
na-as-sá-hu-ú-ma-sag-i-[ ]-ù
[1; 59; 0]; 15
[1; 56; 56]; 58; 14; 56; 15
[1; 55; 7]; 41; 15; 33; 45
[1; 53; 10]; 29; 32; 52; 16
[1]; 48; 54; 1; 40
[1]; 47; 6; 41; 40
[1]; 43; 11; 56; 28; 26; 40
[1]; 41; 33; 59; 3; 45
[1]; 38; 33; 36; 36
[1]; 35; 10; 2; 28; 27; 24; 26; 40
[1]; 33; 45
[1]; 29; 21; 54; 2; 15
[1]; 27; 0; 3; 45
[1]; 25; 48; 51; 35; 6; 40
[1]; 23; 13; 46; 40
ib-sa sag
1; 59
56; 7
1; 16; 41
3; 31; 49
1; 5
5; 19
38; 11
13; 19
9; 1
1; 22; 41
45
27; 59
7; 12; 1
29; 31
56
ib-sa si-li-ip-tim
2; 49
3; 12; 1
1; 50; 49
5; 9; 1
1; 37
[3]; 1
59; 1
20; 49
12; 49
2; 16; 1
1; 15
48; 49
4; 49
53; 49
53
muki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
ki
bi-im
1
2
3
4
[5]
[6]
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tablica nr.3 Plimpton 322
1+b 2
1; 9834:::
1; 949158:::
1; 9188:::
1; 88925:::
1; 81501:::
1; 78519:::
1; 71998:::
1; 69277:::
1; 64267:::
1; 58612:::
1; 5625:::
1; 48942:::
1; 45002:::
1; 43024:::
1; 38716:::
Przyprostokatna
¾
b
119
3369
4601
12709
65
319
2291
799
541
4961
45
1679
25921
1771
56
Przeciwprostokatna
¾
c
169
11521
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
53
Lp:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tabela nr.4 Plimpton 322
Analiza tablicy Plimpton 322 pozwoli nam odpowiedzieć na pytania, jakim celom
s÷
uz·y÷
a tablica, jaka¾ stosowano metode¾ obliczania liczb pitagorejskich, wed÷
ug jakiego
kryterium dobrane zosta÷
y te liczby, które zosta÷
y zamieszczone w tablicy i wreszcie,
jaki by÷sens liczb pierwszej kolumny?
38
2.5.2
Liczbowy algorytm uz·ywany przy konstrukcji tablicy.
J. Friberg [3] utrzymuje, z·e liczby pitagorejskie by÷
y otrzymywane w oparciu o tablice
2
odwrotności. Jez·eli przyjmiemy oznaczenia, z·e c , b i c sa¾trzema wartościami liczbowymi
w tablicy Plimpton 322, to moz·na pokazać, z·e
c2
b 2 = a2 ;
gdzie a - ca÷
kowita, taka, z·e:
c
a
b
=
a
c
=
b
Wtedy mamy, z·e
c
(c
Zatem (c
2
b
2
=
c2
b2
a2
=1
b )(c + b ) = 1
b ) i (c + b ) sa¾ liczbami wzajemnie odwrotnymi. K÷
adac
¾ wiec
¾
c + b = t0 ;
c
b = t;
t-regularne,
t t0 = 1;
t0 > t > 0
otrzymujemy liczby wymierne
b = 12 (t0
c = 12 (t0 + t);
t);
(27)
które spe÷
niaja¾ równanie Pitagorasa. Nastepnie
¾
droga¾ prób szukali takiego czynnika k,
aby iloczyny powyz·szych liczb przez k by÷
y pierwotnymi liczbami pitagorejskimi, tzn.
aby
a = k; b = k b = k 12 (t0 t); c = k c = k 12 (t0 + t);
(28)
by÷
y liczbami ca÷
kowitymi wzglednie
¾
pierwszymi. Zatem pokazaliśmy kolejna¾ metode¾
wyliczania liczb pitagorejskich.
Moz·emy zatem sformu÷
ować nastepuj
¾ ace
¾ twierdzenie;
Twierdzenie 22 Je·zeli t i t0 spe÷niaja¾nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
1. t0 t = 1
2. t0 > t
x = k;
1
y = k (t0
2
t);
1
z = k (t0 + t)
2
utworza¾wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie, gdzie k 2 N jest najmniejsza¾wspólna¾
wielokrotno´scia¾liczb x; y; z:
39
W Tabeli nr.5 przedstawiono zestawienie liczb t0 i t zawartych w Plimpton 322.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
t0
2; 24 (2; 4)
2; 22; 13; 20 (2; 370 : : :)
2; 20; 37; 30 (2; 344 : : :)
2; 18; 53; 20 (2; 315 : : :)
2; 15 (2; 25)
2; 13; 20 (2; 222 : : :)
2; 9; 36 (2; 16)
2; 8 (2; 133 : : :)
2; 5 (2; 083 : : :)
2; 1; 30 (2; 025)
2 (120)
1; 55; 12 (1; 92)
1; 52; 30 (1; 875)
1; 51; 6; 40 (1; 852)
1; 48 (1; 8)
t
0; 25 (0; 417 : : :)
0; 25; 18; 45 (0; 422 : : :)
0; 25; 36 (0; 423 : : :)
0; 25; 55; 12 (0; 432)
0; 26; 40 (0; 444 : : :)
0; 27 (0; 45)
0; 27; 46; 40 (0; 463 : : :)
0; 28; 7; 30 (0; 469 : : :)
0; 28; 48 (0; 48)
0; 29; 37; 46; 40 (0; 494 : : :)
0; 30 (0; 5)
0; 31; 15 (0; 521 : : :)
0; 32 (0; 533 : : :)
0; 32; 24 (0; 54)
0; 33; 20 (0; 555 : : :)
Tabela nr.5
Hipoteze¾ te¾ [[13], str.56-57] moz·na poprzeć wskazaniem tablicy odwrotności, z której
móg÷korzystać staroz·ytny autor przy doborze w÷
aśnie takich liczb t i t0 (Tabela nr.5).
Otóz· niektóre z par t i t0 znajduja¾ sie¾ w zachowanych fragmentach „wielocyfrowych”
tablic odwrotności. I tak we fragmencie tablicy D.LBA 1633, który zawiera wraz
z odpowiadajacymi
¾
im odwrotnościami liczby t od 1; 41; 8; 8; 53; 20 do 1; 58; 31; 6; 40
(÷
acznie
¾
26 par) znajduja¾ sie¾ wszystkie pary t i t0 (w ÷
acznej
¾
liczbie 4), odpowiadajace
¾
liczbom tablicy Plimpton, dla których pierwsza¾ cyfra¾ liczby t jest liczba 1. W tablicy
AO 6456 natomiast znajduje sie¾ 14 par t i t0 odpowiadajacych
¾
liczbom tablicy Plimpton
322. Niz·ej podam odpowiednia¾ cześć
¾ tej tablicy z zachowaniem wierszy jak w oryginale. Numer zaopatrzony litera¾ a oznacza, z·e para …gurujaca
¾ pod tym numerem jest
umieszczona w oryginale w tym samym wierszu, co poprzednia. Pozostaje nam jeszcze
ustalenie kryterium wyboru par t i t0 z tej tablicy. Zagadnienie to po÷
aczymy
¾
z kryterium doboru liczb pitagorejskich umieszczonych w tablicy Plimpton 322. W tym celu
zauwaz·my najpierw, z·e t odpowiadajace
¾ kolejnym liczbom pitagorejskim tablicy tworza¾
ciag
¾ malejacy
¾ zaś t0 ciag
¾ rosnacy.
¾
Ponadto sa¾ to liczby co najwyz·ej „czterocyfrowe”.
Otóz· z podanego niz·ej fragmentu tablicy AO 6465 [13] widać, z·e wybrane z niej zosta÷
y
tylko pary, w których jedna z liczb jest co najwyz·ej „czterocyfrowa”, a jednocześnie
druga tej pary, co najwyz·ej „ trzycyfrowa”. Pary liczb o wiekszej
¾
ilości cyfr zosta÷
y
pominiete,
¾ zaś pary o tej samej ilości cyfr znajduja¾ sie¾ w omawianej tablicy jeszcze
dwie:
- w wierszu 32: (t0 ) 1; 57; 11; 15 i (t) 0; 30; 43; 12
- w wierszu 7a: (t0 ) 2; 6; 33; 45 i (t) 0; 28; 26; 40.
Te pary nie zosta÷
y wykorzystane prawdopodobnie dlatego, iz· prowadza¾ do za „duz·ych”liczb pitagorejskich. Istotnie, w tablicy Plimpton znajduja¾ sie¾ tylko cztery liczby
40
pitagorejskie, z których co najmniej jedna z liczb jest „trzycyfrowa”:
57; 36
1; 20; 0
3; 45; 0
1; 48; 0
56; 7
1; 20; 25
1; 16; 41 1; 50; 49
3; 31; 49 5; 9; 1
1; 22; 41 2; 16; 1
Zaś omawiane pary prowadza¾ do liczb
4; 26; 40 3; 12; 9
4; 55; 29 4; 48; 0
5; 28; 41
6; 12; 1
a wiec
¾ wiekszych
¾
od zawartych w tablicy Plimpton.
FRAGMENT TABLICY AO 6465
20 1; 48
20a 1; 48; 30; 25
21
1; 49; 13; 36
22
1; 49; 31
22a 1; 50; 35; 31; 12
23
1; 50; 43; 0; 45
24 1; 51; 6; 40
25
1; 51; 14; 11; 39; 36; 33; 45
26 1; 52; 30
26a 1; 53; 46; 40
27
1; 53; 54; 22; 30
28 1; 55; 12
29
1; 55; 44; 26; 40
30
1; 56; 38; 24
31
1; 57; 3; 19; 10; 37; 2; 13; 20
32
1; 57; 11; 15
33
1; 57; 57; 53; 16; 48
34
1; 58; 31; 6; 40
35
1; 58; 39; 8; 26; 15
0; 33; 20
0; 33; 10; 39; 21; 36
0; 32; 57; 32; 20; 37; 30
0; 32; 55; 18; 31; 6; 40
0; 32; 33; 7; 30
0; 32; 30; 5; 19; 36; 57; 17; 2; 13; 20
0; 32; 24
0; 32; 21; 48; 26; 40
0; 32
0; 31; 38; 26; 15
0; 31; 36; 36; 17; 46; 40
0; 31; 15
0; 31; 6; 14; 24
0; 30; 51; 51; 6; 40
0; 30; 45; 16; 52; 30
0; 30; 43; 12
0; 30; 31; 3; 16; 52; 30
0; 30; 22; 30
0; 30; 20; 26; 40
41
Odwrotna strona
2
3
2; 1; 30
4
2; 3; 1; 7; 30
5
2; 3; 27; 24; 26; 40
6
2; 4; 24; 57; 36
7
2; 5
7a
2; 6; 33; 45
8
2; 8
8a
2; 9; 36
9
2; 10; 12; 30
10
2; 11; 41; 14; 4; 26; 40
11
2; 13; 20
11a 2; 15
12
2; 16; 32
13
2; 16; 41; 15
14
2; 18; 53; 20
15
2; 20; 37; 30
16
2; 22; 22; 58; 7; 30
17
2; 24
0; 30
0; 29; 37; 46; 40
0; 29; 15; 49; 47; 39; 15; 33; 20
0; 29; 9; 36
0; 28; 56; 6; 40
0; 28; 48
0; 28; 26; 40
0; 28; 7; 30
0; 27; 46; 40
0; 27; 38; 52; 48
0; 27; 20; 15
0; 27
0; 26; 40
0; 26; 22; 1; 52; 30
0; 26; 20; 14; 48; 53; 20
0; 25; 55; 12
0; 25; 36
0; 25; 17; 2; 13; 20
0; 25
Brakujaca
¾ w tej tablicy para
t0 = 2; 22; 13; 20 i t = 0; 25; 18; 45
odpowiadajaca
¾ liczbom drugiego wiersza tablicy Plimpton, powinna sie¾ znajdować
miedzy
¾
wierszami 15 i 16 (drugiej strony orygina÷
u) i moz·na ja¾ otrzymać z pary znajdujacej
¾ sie¾ w tej tablicy w wierszu 27 droga¾ pomnoz·enia t0 przez 2 i podzielenia t przez
2. Istnienie omawianej pary mog÷
o być staroz·ytnym znane, gdyz· znane im by÷
y metody
uzyskiwania nowych par z danej t0 i t jako nt0 i nt, gdzie n = 2; 3 : : :
Pozostaje wyjaśnić jeszcze, w jaki sposób obliczone zosta÷
y liczby pierwszej kolumny
tablicy Plimpton 322. Zgodnie z
1
b = (t0
2
t)
juz· w trakcie wyznaczania liczb pitagorejskich, biorac
¾ kwadrat liczby b , otrzymuje sie¾
liczbe¾ (b 2 ) pierwszej kolumny. Zauwaz·my ponadto, iz· faktu, z·e b < 1;oraz t0 > 1
jako wieksza
¾
z liczb wzajemnie odwrotnych musi spe÷
niać nastepuj
¾ ace
¾ równanie:
t02
1 0
(t
2
2t0
t) < 1
1 < 0
p
1 < t0 < 1 + 2:
42
2
J. Friberg pokazuje [[3], str. 289-294}], z·e wartości liczb c , b i c moga¾ być otrzymane ÷
atwo i sprawnie z wartości b i c , uz·ywajac
¾ metody, która mog÷
a być dostepna
¾
i prawdopodobnie uz·ywana by÷
a przez matematyków epoki starobabilońskiej. Moz·liwe,
z·e w÷
aśnie w taki sposób wyliczano liczby pitagorejskie. Moz·liwe jest równiez· przypuszczenie, z·e nieuszkodzona tablica zawiera÷
a kolumny dla zmiennych odpowiednio
b;
c;
2
c ;
b;
c;
n:
Naszym zadaniem bedzie
¾
usunać
¾ w kilku prostych krokach wszystkie wspólne dzielniki
liczb b i c . Analizujac
¾ te¾ metode¾ przelicze¾ i sprawdze¾ wyniki otrzymane w tablicy
Plimpton rozwaz·ajac
¾ dwa przyk÷
ady.
Przyk÷
ad 23 Rozwa·zmy rzad
¾ drugi. Zgodnie z (27) mamy, ·ze
b = 30 (2; 22; 13; 20
25; 18; 45) = 30 (1; 56; 54; 35);
c = 30 (2; 22; 13; 20 + 25; 18; 45) = 30 (2; 47; 32; 5)
Zatem
(b ; c ) = (58; 27; 17; 30; 1; 23; 46; 2; 30):
Pierwszym wspólnym dzielnikiem jest liczba 30, ale poniewa·z Babilończycy operacje¾dzielenia zastepowali
¾
równowa·zna¾jej operacja¾mno·zenia, wiec
¾ mo·zemy powiedzieć, ·ze pierwszym wspólnym czynnikiem liczb b i c jest liczba 2. Zatem, mamy
(b1 ; c1 ) = 2 (b ; c ) = (1; 56; 54; 35; 2; 47; 32; 5);
(b1 ; c1 ) sa¾zatem zmniejszona¾liczba¾(b ; c ); która posiada wspólny czynnik 12, wiec
¾
(b2 ; c2 ) = 12 (b1 ; c1 ) = (23; 22; 55; 33; 30; 25):
Para (b2 ; c2 ) równie·z posiada wspólny czynnik 12, powtarzamy zatem proces
(b3 ; c3 ) = 12 (b2 ; c2 ) = (4; 40; 35; 6; 42; 5);
kolejnym czynnikiem jest 12
(b4 ; c4 ) = 12 (b3 ; c3 ) = (56; 7; 1; 20; 25):
Poniewa·z 7 jest liczba¾nieregularna,¾ proces zatrzymuje sie¾ w tym miejscu i para (b4 ; c4 )
nie ma ju·z wspólnych dzielników. W konsekwencji
(b; c) = (56; 7; 1; 20; 25)
(a) = 2 12 12 12
= 24 12 12
= 4; 48 12
= 57; 36:
Kontynuujac
¾ dalej na tym samym przyk÷adzie, mo·zemy teraz obliczyć kwadraty liczb b
i c ; u·zywajac
¾ tej samej metody.
43
Przyk÷
ad 24 Rozwa·zmy teraz rzad
¾ trzeci:
(b ; c )
(b1 ; c1 )
(b2 ; c2 )
(b3 ; c3 )
=
=
=
=
(57; 30; 45; 1; 23; 6; 45)
12 (b ; c ) = (11; 30; 9; 16; 37; 21)
20 (b1 ; c1 ) = (3; 50; 3; 5; 32; 27)
20 (b2 ; c2 ) = (1; 16; 41; 1; 50; 49)
zatem mamy, ·ze
(b; c) = (1; 16; 41; 1; 50; 49)
(a) = 12 20 20
= 4 20
= 1; 20
2.5.3
Ograniczenia na parametry
Neugebauer i Sachs [8] podkreślaja,
¾ z·e wszystkie liczby znajdujace
¾ sie¾ w omawianej
tablicy Plimpton 322 otrzymuje sie¾ z regularnych liczb p i q zawartych w normalnej
tablicy odwrotności. Jedyny wyjatek
¾
stanowi liczba p = 2; 5 = 125, która ÷
acznie
¾
z
q = 45 daje liczby czwartego wiersza. Fakt ten, z·e liczby tablicy Plimpton 322 moz·na
otrzymać wed÷
ug wzorów (7) z liczb normalnej tablicy odwrotności świadczy zdaniem
omawianych autorów, iz· prawdopodobnie staroz·ytni znali te wzory.
Wyliczmy zatem najpierw druga¾ przyprostokatn
¾ a¾ x, by potem podać zmienne p i q,
y
;
q
=
:
Zanim
dokonam wyliczeń pragne¾ zwrócić
które obliczy÷
am ze wzorów p2 = x+z
2
2p
uwage,
¾ iz· liczby …gurujace
¾ w rzedach
¾
11 i 15, nie sa¾ liczbami wzglednie
¾
pierwszymi i
nie stanowia¾ trójek pitagorejskich pierwotnych, zatem sa¾ postaci (kx; ky; kz).
Rzad
¾
z2
y2
x2 = z 2 y 2
1
28561
14161
14400
2
23280625 11336689
11943936
3
44209201 21169201
23040000
4
343768681 161518681 182250000
5
9409
4225
5184
6
231361
101761
129600
7
12538681
5428681
7290000
8
1560001
231361
921600
9
591361
231361
360000
10
66601921 24611521
41990400
11
5625
2025
3600
12
8579041
2819041
576000
13
83521
3136441
57600
14
10426441
3136441
7290000
15
11236
3136
8100
Tabela nr.6
44
x
120
3456
4800
13500
72
360
2700
960
600
6480
60
2400
240
2700
90
k
p
1 12
1 64
1 75
1 125
1
9
1 20
1 54
1 32
1 25
1 81
15 2
1 48
1 15
1 50
2
7
q
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
1
25
8
27
2
Neugebauer i Sachs zwracaja¾ uwage¾ na okoliczność, dotyczac
¾ a¾ kryterium wyboru
tych liczb pitagorejskich, które zosta÷
y umieszczone w tablicy, a mianowicie ilorazy
z pierwszej kolumny tworza¾ ciag
¾ dość regularnie liniowo malejacy
¾ (patrz Tabela nr.4
Plimpton 322), co jeszcze wyraźniej wystepuje
¾
dla samych ilorazów i w tym dopatruja¾
sie¾ kryterium wyboru liczb umieszczonych w tablicy.
Boyer [12] zauwaz·y÷
, z·e wartości q zawarte w tablicy Plimpton 322 sa¾ mniejsze niz·
60 (Tabela nr.6), biorac
¾ zatem to ograniczenie pod uwage¾ pokaza÷
, z·e istnieje dok÷
adnie
38 moz·liwych par dla (p; q), które spe÷
niaja¾ nastepuj
¾ ace
¾ warunki
1. p > q > 0;
2. p i q sa¾ wzglednie
¾
pierwsze,
3. p i q sa¾ róz·nej parzystości,
Ograniczenia na te parametry sa¾ nastepuj
¾ ace:
¾
1. p > q > 0 sa¾liczbami regularnymi, czyli maja¾skończone rozwiniecia
¾ sześćdziesietne.
¾
2. b < 1: Prowadzi to do
p2 + q 2
<1
2pq
co oznacza, z·e
1
2
s2
p q
+
q p
< 1
p
= s
q
2s + 1 < 0
zatem
p
p
< 1+ 2
q
p
p < q 1+ 2
3. q < 60
Jez·eli teraz weźmiemy wszystkie moz·liwe pparametry q i ustawimy je w pierwszej
kolumnie, nastepnie
¾
wyliczymy wartość q(1 + 2); to z ÷
atwościa¾ otrzymamy regularne
wartości parametru p; lez·ace
¾ pomiedzy
¾
tymi wartościami (Tabela nr.7 NIEPOSORTOWANA) i otrzymamy liste¾ 38 trójek pitagorejskich (porównaj [[2], str 180]) :
45
p
q q(1 + 2)
p
2pq p2 q 2 p2 + q 2
1
2:41421
2
4
3
5
2
4:82843
3
12
5
13
3
7:24264
4
24
7
25
3
5
30
16
34
4
9:65685
9
72
65
97
4
5
40
9
41
5
12:0711
6
60
11
61
5
12
120
119
169
5
9
90
56
106
5
8
80
39
89
8
19:3137 15
240
17
289
8
9
144
161
145
9
21:7279 10
180
19
181
9
20
360
319
481
9
16
288
175
337
12
28:9706 25
600
481
769
15
36:2132 16
480
31
481
15
32
960
799
1249
16
38:6274 27
864
473
985
16
25
800
369
881
18
43:4558 25
900
301
949
20
48:2843 27 1080
329
1129
24
57:9411 25 1200
49
1201
25
60:3553 32 1600
399
1649
25
54 2700
2291
3541
25
48 2400
1679
2929
25
36 1800
671
1921
25
27 1350
104
1354
27
65:1838 32 1728
295
1753
27
64 3456
3367
4825
27
50 2700
1771
3229
27
40 2160
871
2329
32
77:2548 45 2880
1001
3049
32
75 4800
4601
6649
40
96:5685 81 6480
4961
8161
45
108:6396 64 5760
2071
6121
50
120:7107 81 8100
4061
9061
54
130:368 125 13500
12709
18541
Tabela nr.7 NIEPOSORTOWANA
46
Jez·eli teraz obliczymy wartości
Tabele¾ nr.8 POSORTOWANA.
¾
p2 +q 2
2pq
=
z
x
i posortujemy je wed÷
ug ( xz )2 ;otrzymamy
2
z
q
p 2pq = x
y = p2 q2 z = p2 +q2
x2
5 12
120 1:983
119
169
27 64
3456 1:949
3367
4825
32 75
4800 1:919
4601
6649
54 125
13500 1:886
12709
18541
4
9
72 1:815
65
97
9 20
360 1:785
319
481
25 54
2700
1:72
2291
3541
15 32
960 1:693
799
1249
12 25
600 1:643
481
769
40 81
6480 1:586
4961
8161
1
2
4 1:563
3
5
25 48
2400 1:489
1679
2929
8 15
240
1:45
161
289
27 50
2700
1:43
1771
3229
5
9
90 1:387
56
106
9 16
288 1:369
175
337
16 27
864
1:3
473
985
3
5
30 1:284
16
34
: 50 81
8100 1:251
4061
9061
5
8
80 1:238
39
89
16 25
800 1:213
369
881
2
3
12 1:174
5
13
27 40
2160 1:163
871
2329
25 36
1800 1:139
671
1921
45 64
5760 1:129
2071
6121
32 45
2880 1:121
1001
3049
18 25
900 1:112
301
949
20 27
1080 1:093
329
1129
3
4
24 1:085
7
25
25 32
1600 1:062
399
1649
4
5
40 1:051
9
41
5
6
60 1:034
11
61
27 32
1728 1:029
295
1753
8
9
144 1:014
17
145
9 10
180 1:011
19
181
25 27
1350 1:006
104
1354
15 16
480 1:004
31
481
24 25
1200 1:002
49
1201
Tabela nr.8 POSORTOWANA
47
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
W zwiazku
¾
z powyz·szym stworzono interesujace
¾ i bardzo wiarygodne przypuszczenie, z·e pierwotnym zamiarem matematyka babilońskiego, który by÷autorem omawianej
tablicy by÷
o zawrzeć w niej te wszystkie wartości c 2 ; b i c; tz·.:
1 < c
0 < b
2
2
<2
<1
i w konsekwencji
0 < b < 1;
które moz·na dostać z formu÷
y (27). Przypuszczenie to oparte by÷
o równiez· na fakcie,
z·e linie oddzielajace
¾ kolumny na zapisanej stronie przedniej sa¾ przed÷
uz·one na niezapisanej odwrotnej stronie, co w pewnym sensie sugerowa÷
oby, z·e autor tablicy zamierza÷
umieścić wiecej
¾ niz· 15 wierszy.
2.5.4
Analiza b÷
edów
¾
Kolumna c 2 :
rzad
¾ 2 : [1; 56; 56] ; 58; 14; 56; 15 zamiast 1; 56; 56; 58; 14; 50; 6; 15
B÷
ad
¾ ten dość prosto daje sie¾ wyjaśnić. Polega on na braku spacji, badź
¾ zbyt ma÷
ej
przerwy dla oddzielenia liczby 50 od 6. Jej brak spowodowa÷b÷
edne
¾
odczytanie tej liczby
jako 56. Wiekszość
¾
źróde÷nie podaje tego przypadku jako b÷
ednego,
¾
prawdopodobnie
dlatego, iz· wynika on tylko z niew÷
aściwej interpretacji zapisu przez wspó÷
czesnych
badaczy.
rzad
¾ 8 : [1] ; 41; 33; 59; 3; 45 zamiast 1; 41; 33; 45; 14; 3; 45
B÷
ad
¾ ten wydaje sie¾ być bardziej powaz·ny. Powsta÷on prawdopodobnie w wyniku
niejasności w zapisie babilońskiego systemu numeracji. Joran Friberg [[3], str. 296-297]
przedstawia powstanie tego b÷
edu
¾ analizujac
¾ algorytm wyliczania liczb pitagorejskich
wed÷
ug Bruinsa. Przedstawie¾ teraz prawid÷
owe wyliczenie c2 . Otóz·, mamy
(b ; c ) = (49; 56; 15; 1; 18; 3; 45)
(b1, c1 ) = 4 (b; c) = (3; 19; 45; 5; 12; 15)
(b2 ; c2 ) = 4 (b1 ; c1 ) = (13; 19; 20; 49):
Nastepnie
¾
kwadraty otrzymanej pary (b2 ; c2 ) :
(b22 ; c22 ) = (2; 57; 20; 1; 7; 13; 20; 1):
Na koniec kwadraty pary (b ; c 2 ) sa¾wyliczone przez odwrócenie procesu czynnikowego:
(b 2 ; c 2 ) =
=
=
=
(3; 45)2 (b22 ; c22 )
3; 45 3; 45 (2; 57; 20; 1; 7; 13; 20; 1)
3:45 (11; 5; 0; 3; 45; 27; 5; 0; 3; 45)
(41; 33; 45; 14; 3; 45; 41; 33; 45; 14; 3; 45)
48
J. Friberg t÷
umaczy powstanie tego b÷
edu
¾ w wyniku nieprawid÷
owego odczytania liczby
11; 5; 0; 3; 45, która najprawdopodobniej odczytana zosta÷
a jako 11; 5; 3; 45, co w babilońskim systemie numeracji mog÷
o sie¾ rzeczywiście zdarzyć, gdyz· nie istnia÷z·aden
znak dla oznaczenia brakujacego
¾
rzedu
¾ wielkości. Faktycznie,
3; 45 (11; 5; 3; 45)
= 3 (11; 5; 3; 45) + 0; 45 (1; 5; 3; 45)
= (33; 1511; 15) + (8; 18; 47; 48; 45)
= (41; 33; 59; 3; 45)
Kolumna b:
rzad
¾ 9 : 9; 1 zamiast 8; 1
Zamiast prawid÷
owej liczby 8; 1 zapisano liczbe¾ 9; 1 co jest dość prostym b÷
edem,
¾
który powsta÷w trakcie tworzenia tablicy. Otóz· autor tablicy prawdopodobnie z·÷
obiac
¾
kliny, niechcacy
¾ wyz·÷
obi÷o jeden klin za duz·o.
rzad
¾ 13 : 7; 12; 1 zamiast 2; 41
B÷
ad
¾ ten podobnie jak poprzedni najprawdopodobniej równiez· powsta÷w wyniku
przepisywania, tworzenia tablicy. Zamiast prawid÷
owej liczby 2; 41 (b), zapisano liczbe¾
7; 12; 1 (b2 ) która jest kwadratem poprzedniej. Istotnie, bowiem:
2; 41 = 161
1612 = 25921 = 7; 12; 1
B÷
ad
¾ taki dość ÷
atwo pope÷
nić, zwaz·ywszy, z·e zgodnie z przypuszczeniem J. Friberg
obliczanie wartości liczb b i b2 by÷
o niezbednym
¾
krokiem do wyliczenia b 2 , którego
dokonywali Babilończycy, tworzac
¾ tablice¾ Plimpton 322.
rzad
¾ 15 : 56 zamiast 28
W wierszu tym, b÷
ednie
¾
zapisano liczby b = 56, c = 53. Istnieja¾dwie poprawne wersje tych liczb, mianowicie, jez·eli przyjmiemy, z·e poprawna¾ liczba¾ jest b = 56; to b÷
ad
¾
pope÷
niono przy zapisie liczby c, która powinna wynosić 106. Moz·liwa jest równiez·
interpretacja, z·e poprawna¾ wersja¾ sa¾ liczby b = 28; c = 53. Jak ÷
atwo zauwaz·yć liczba
b = 56 jest podwojona¾ wartościa¾ liczby b = 28, zaś liczba c = 106 liczby c = 53.
Trójki pitagorejskie przedstawiaja¾ sie¾ zatem nastepuj
¾ aco:
¾
(90; 56; 106) dla pierwszej
wersji, (45; 28; 53) dla drugiej. Innymi s÷
owy druga trójka pitagorejska stanowi trójkat
¾
pitagorejski pierwotny, a pierwsza odpowiedni mu trójkat
¾ podobny. Moz·liwe wyt÷
umaczenie jest takie, z·e wyliczanie czynników b i c krok po kroku nie zosta÷
o wykonane
jednocześnie, ale oddzielnie dla b i oddzielnie dla c w nastepuj
¾ acy
¾ sposób:
(b ) = 37; 20
(c ) = 1; 10; 40
b1 = 3 b = 1; 52 c1 = 3 c = 3; 32
b2 = 30 b1 = 56 c2 = 15 c1 = 53
...
49
Tutaj czynnik c by÷gotowy po wykonaniu dwóch kroków. W przypadku b równiez·
zosta÷przerwany po dwóch krokach, po to by dostać dwa s÷
adniki tego samego stopnia,
lecz nie zauwaz·ono, z·e czynniki uz·yte w drugim kroku skracania sa¾ róz·ne.
Kolumna c:
rzad
¾ 2 : 3; 12; 1 zamiast 1; 20; 25
Jest podobnego typu, co b÷
ad
¾ rzedu
¾ 15 kolumny b; ale z interesujac
¾ a¾ dodatkowa¾
komplikacja.
¾ Sukcesywne kroki w czynnikowaniu b i c sa¾ nastepuj
¾ ace:
¾
(b ) = 58; 27; 17; 30 (c ) = 1; 23; 46; 2; 30
...
:::
b4 = 12 b3 = 56; 7 c4 = 12 c3 = 1; 20; 25
c5 = 13 c4 = 16; 5
c6 = 12 c5 = 3; 13
Teraz jasno widać, z·e ostatnie dwa kroki w wyliczeniu c powinny być uniewaz·nione,
zaniechane z uwagi na stopień b . Dodatkowa¾ komplikacja¾ jest fakt, z·e wartość 3; 13
zosta÷
a omy÷
kowo zinterpretowana jako 3; 12; 1, co prawdopodobnie nastapi÷
¾ o w wyniku
pomnoz·enia 16; 5 przez czynnik 12 w nastepuj
¾ acy
¾ sposób :
12 16; 5 = 3; 12 + 1 = 3; 13:
Wynika÷
o to zapewne z braku wystarczajacej
¾ przerwy miedzy
¾
12 a 1. Ten sam b÷
ad
¾
t÷
umaczy R. J. Gillings [[13], str. 56] zak÷
adajac,
¾ z·e liczby pitagorejskie by÷
y obliczane
wed÷
ug wzorów (7). Mamy wtedy
c = p2 + q 2 = 1; 42 + 272 :
Otóz·staroz·ytny autor być moz·e dla u÷
atwienia rachunków skorzysta÷ze znanej toz·samości
p2 + q 2 = (p + q)2
2pq;
lecz omy÷
kowo zamiast odjać
¾ doda÷2pq; pope÷
niajac
¾ przy tym drugi b÷
ad
¾ - w podwojonym iloczynie zamiast czynnika p = 1; 4 wstawi÷p = 1; 0, otrzymujac
¾
(1; 4 + 27)2 + 2 1; 0 27
= 28; 42 + 54; 0 = 3; 12; 1
liczbe¾ …gurujac
¾ a¾ w oryginale.
50
3
LICZBY BABILOŃSKIE
Matematyce babilońskiej znane by÷
o uogólnienie problemu pitagorejskiego w postaci
rozwiazania
¾
w liczbach naturalnych równania x2 + z 2 = 2y 2 : Liczby naturalne spe÷
niajace
¾ powyz·szy warunek nazywać bedziemy
¾
babilońskimi. Zagadnienie to wyros÷
o
zapewne z geometrycznego zadania podzia÷
u trapezu prostokatnego
¾
prosta¾ prostopad÷
a¾
do podstawy, tak, aby otrzymane z podzia÷
u trapezy mia÷
y równe pola. Aby przybliz·yć
znaczenie liczb babilońskich oraz pitagorejskich przedstawie¾ jedno z zadań z teorii liczb,
w których chodzi÷
o o podzielenie trójkatów
¾
prostokatnych
¾
na pasy jednakowej wielkości
za pomoca¾ prostych równoleg÷
ych do podstawy. Przy tym zak÷
ada sie,
¾ z·e bok …gury
prostopad÷
y do podstawy dzieli sie¾ na odcinki wymierne, a to oznacza, z·e wymiernymi
musza¾ być równiez· odcinki równoleg÷
e do podstawy.
3.1
Zadanie z teorii liczb.
Przypuśćmy, z·e trójkat
¾ prostokatny
¾
( Rys.4) podzielono liniami x; y równoleg÷
ymi do
podstawy z, na cześci,
¾
których pola sa¾ Sx ; Sy ; Sz ; tak, by dwie cześci
¾ mia÷
y równe
pola.
Rys.4
Z twierdzenia Talesa otrzymujemy nastepuj
¾ ace
¾ zalez·ności:
x
y
=
;
hx
h hz
51
(29)
x
z
= ;
hx
h
y
z
= :
h hz
h
Rozwaz·ano trzy przypadki, dopatrujac
¾ sie nastepuj
¾ acych
¾
prawid÷
owości:
(30)
(31)
Twierdzenie 25 Je·zeli Sx = Sy ; to 2x2 = y 2 :
Dowód. Z (29) mamy,
x
y
=
hx
hx + hy
a poniewaz·
Sx = 12 hx x;
Sx + Sy = 12 (hx + hy ) y;
to
hx =
2Sx
;
x
hx + hy =
zatem po podstawieniu otrzymujemy
x
2Sx
x
=
2(Sx +Sy )
;
y
y
2(Sx +Sy )
y
Stad
¾ oraz z faktu, iz· Sx = Sy mamy, z·e
2x2 = y 2 ;
i wartości x i y nie moga¾ być jednocześnie wymierne.
Z punktu widzenia Babilończyka zadanie to nie ma rozwiazania
¾
i dlatego nim sie¾ nie
zajmowa÷
. Natomiast w pozosta÷
ych dwu przypadkach znaleziono piekne
¾
prawid÷
owości
teorio liczbowe.
Twierdzenie 26 Je·zeli Sx = Sz ; to zachodzi równo´sć x2 + y 2 = z 2 :
Dowód. Z za÷
oz·enia mamy, z·e
(32)
xhx = (y + z) hz
oraz z (30)
hx =
hx
;
z
i po podstawieniu do (32)
hz =
hx2
:
z (z + y)
Stad
¾ i z (31)
y
h hz
y
h
hx2
z(z+y)
z
;
h
z
=
;
h
=
hyz (y + z) = z 2 h (z + y)
52
hzx2 :
Wtedy
x2 + y 2 = z 2 :
I rozwiazaniami
¾
bed
¾ a¾znane nam trójki pitagorejskie, dok÷
adnie - odcinki proporcjonalne
do nich.
Twierdzenie 27 Je·zeli Sy = Sz ; mamy równo´sć 2y 2 = x2 + z 2 :
Dowód. Zatem
hy (x + y) = hz (y + z)
(33)
Stad
¾ oraz z (31) otrzymujemy
hz =
h (z
y)
z
i podstawiajac
¾ do (33) mamy
hy
hy
hz (y + z)
=
=
(x + y)
h (z 2 y 2 )
=
z (x + y)
h(z y)
z
(y + z)
(x + y)
A poniewaz·
hx + hy + hz = h
to
hx h (z 2 y 2 ) h (z y)
+
+
=h
z
z (x + y)
z
i otrzymujemy
2y 2 = x2 + z 2 :
Rozwiazaniami
¾
w tym przypadku sa¾ liczby babilońskie, co nalez·a÷
o pokazać.
Uczeni babilońscy próbowali uogólnić to zadanie i rozwiazać
¾ je w przypadku podzia÷
u trapezu na p pasów równoleg÷
ych o jednakowych polach. Przyk÷
ad takiego zadania
podam w dalszej cześci
¾ pracy.
3.2
De…nicje i twierdzenia
De…nicja 28 Liczby naturalne spe÷niajace
¾ warunek
x2 + z 2 = 2y 2
(34)
nazywamy liczbami babilońskimi.
De…nicja 29 Podobnie jak w przypadku liczb pitagorejskich liczby babilońskie wzglednie
¾
pierwsze nazywać bedziemy
¾
pierwotnymi.
Twierdzenie 30 Je·zeli x; y; z- pierwotne liczby babilońskie, to x; y; z- nieparzyste.
53
Dowód. Za÷
óz·my, z·e x; y; z sa¾ wzglednie
¾
pierwsze oraz zachodzi (34). Istotnie x i
z nie moga¾ być równocześnie parzyste, gdyz· wtedy liczba x2 + z 2 by÷
aby parzysta i
podzielna przez 4, zaś y - parzyste i liczby x; y; z mia÷
yby wspólny czynnik 2, wbrew
za÷
oz·eniu. Nie moz·e być równiez· tak, z·e x i z sa¾ róz·nej parzystości, gdyz· wtedy x2 +
z 2 by÷
oby nieparzyste i (34) nie by÷
aby spe÷
niona. Zatem x i z sa¾liczbami nieparzystymi.
Zauwaz·my, z·e kwadrat liczby nieparzystej przy dzieleniu przez 4 daje reszte¾ 1, bowiem
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4k (k + 1) + 1:
Mamy wiec
¾ z (34)
4m + 1 + 4n + 1 = 2y 2
2m + 2n + 1 = y 2 ;
czyli y jest równiez· nieparzyste.
3.2.1
Zwiazek
¾
miedzy
¾
liczbami pitagorejskimi a babilońskimi.
Wzór (34) moz·emy zapisać w postaci
x2 + z 2
= y2
2
(z + x)2 + (z x)2
= y2
4
Sprowadźmy go do postaci wzoru (1)
2
z+x
2
z
+
x
2
2
= y2
(35)
Podstawiajac
¾ teraz
z+x
2
= a;
z x
2
= b;
y = c;
(36)
z+x
2
= b;
z x
2
= a;
y = c;
(37)
lub
gdzie a; b; c sa¾liczbami pitagorejskimi, otrzymamy zwiazek
¾ miedzy
¾
liczbami pitagorejskimi i babilońskimi. Mamy zatem,
x=a
b;
x = b + a;
z = a + b;
y = c;
(38)
z=b
y = c;
(39)
a;
zalez·nie od tego, czy a jest wieksz
¾ a,
¾ czy mniejsza¾ przyprostokatn
¾ a.
¾ W dalszym ciagu
¾
zauwaz·my, z·e z danych pierwotnych liczb pitagorejskich otrzymane wed÷
ug wzorów (38)
i (39) liczby babilońskie sa¾ równiez· pierwotne.
Twierdzenie 31 Niech a; b; c - pierwotne liczby pitagorejskie. Wtedy liczby x; y; z
okre´slone wzorami
x =j a b j; z = a + b; y = c;
utworza¾pierwotne liczby babilońskie.
54
Dowód. Za÷
óz·my, z·e tak nie jest i x; y; z; maja¾ wspólny dzielnik d > 1, oznacza to,
z·e
x = dx1 ; z = dz1 ; y = dy1 ;
(40)
gdzie (x1 ; y1 ; z1 ) = 1; oraz x1 ; y1 ; z1
nieparzyste. Na mocy (36) i (40) otrzymujemy
z1 + x1
);
2
z1 x1
b = d(
);
2
c = dy1 :
(41)
a = d(
Liczby z1 + x1 i z1 x1 jako suma i róz·nica liczb nieparzystych sa¾ parzyste, stad
¾ iz
(41) a; b i c mia÷
yby wspólny czynnik d > 1, wbrew za÷
oz·eniu. Sprawdźmy teraz, czy
spe÷
niony jest warunek (34)
z2
a2 + b 2
2
2
z x
z+x
+
2
2
2
2
2zx + x + z + 2zx + x2
x2 + z 2
= c2
= y2
= 4y 2
= 2y 2 :
Majac
¾ wiec
¾ pierwotne liczby pitagorejskie, moz·na wed÷
ug wzorów (38) i (39) otrzymać
odpowiadajace
¾ im liczby babilońskie.
Liczby babilońskie pierwotne moz·na równiez· otrzymać poprzez wzory (38) i (39)
oraz znane nam juz· twierdzenie 6 o liczbach pitagorejskich, mianowicie:
Twierdzenie 32 Je·zeli p i q przyjmuja¾wszystkie takie warto´sci ca÷kowite, ·ze spe÷nione
bed
¾ ace
¾ warunki:
1: p > q > 0
2. p i q sa¾wzglednie
¾
pierwsze
3. p i q sa¾ró·znej parzysto´sci.
x = j p2 q 2 2pq j
y = p2 + q 2
z = p2 q 2 + 2pq
utworza¾wszystkie pierwotne trójki babilońskie, przy czym ka·zda¾tylko jeden raz.
Dowód. Korzystajac
¾ z wzorów (38) i (39) oraz
a = p2
q2;
b = 2pq;
c = p2 + q 2 ;
otrzymujemy
x =j a
b j=j p2
q2
2pq j;
z = a + b = p2
55
q 2 + 2pq
y = c = p2 + q 2 ;
(42)
p2 + q 2 j;
x =j 2pq
z = p2
q 2 + 2pq;
y = c = p2 + q 2 :
(43)
Z twierdzenia 31 wynika, tak zde…niowane liczby sa¾pierwotnymi liczbami babilońskimi.
Podobnie , przy uz·yciu twierdzenia 7, otrzymujemy:
Twierdzenie 33 Je·zeli k i l przyjmuja¾wszystkie takie warto´sci ca÷kowite, ·ze spe÷nione
bed
¾ ace
¾ warunki:
1. k > l > 0
2. k i l sa¾wzglednie
¾
pierwsze
3. k i l sa¾obie nieparzyste.
1
2
x =j kl
(k 2
l2 ) j;
y=
(k2 +l2 )
;
2
z = kl + 12 (k 2
l2 )
utworza¾wszystkie pierwotne trójki babilońskie, przy czym ka·zda¾tylko jeden raz.
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 7 oraz twierdzenia 31.
Moz·na wreszcie otrzymać pierwotne liczby babilońskie z danej pary liczb wzajemnie
odwrotnych t0 i t (t0 > t) i wzorów (38) i (39) oraz (28)
b = 21 (t0
a = 1;
c = 12 (t0 + t) :
t) ;
Mamy wówczas
x =1
1
2
(t0
t) ;
z = 1 + 12 (t0
t) ;
y = 12 (t0 + t) ;
(44)
gdzie x; y; z sa¾ liczbami wymiernymi, których najmniejsze wielokrotności bed
¾ ace
¾
liczbami ca÷
kowitymi sa¾ pierwotnymi liczbami babilońskimi. Z pierwszego ze wzorów
(44) widać jednocześnie, z·e z tego iz· x > 0 i t0 > 1 , jako wieksza
¾
z liczb wzajemnie
odwrotnych t0 musi spe÷
niać równanie
p
1 < t0 < 1 + 2
Zatem mamy,
Twierdzenie 34 Je·zeli t i t0 spe÷niaja¾nastepuj
¾ ace
¾ warunki:
1. t0 t = 1
2. t0 > t
x =j k 1
1 0
(t
2
t)
j;
z =k 1+
1 0
(t
2
t) ;
y=k
1 0
(t + t)
2
utworza¾ wszystkie pierwotne trójki babilońskie, gdzie k 2 N jest najmniejsza¾ wspólna¾
wielokrotno´scia¾liczb x; y; z:
56
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 22 i twierdzenia 7.
I tak np. dla t = 12 ; mamy t0 = 2: Korzystajac
¾ z naszych wzorów otrzymujemy
1
2
x = jk 1
x = k
1
4
;
2
1
2
z=k
j;
7
4
;
z =k 1+
y=k
1
2
2
1
2
;
y=k
1
1
(2 + )
2
2
5
4
W naszym przypadku k = 4 jest najmniejsza¾ wspólna¾ wielokrotnościa¾ liczb x; y; z
zatem,
x = 1;
y = 5;
z = 7:
Aby wszystkie trójki pitagorejskie pierwotne (x; y; z), ustawić w określony ciag
¾
nieskończony, moz·emy brać za p kolejne liczby nieparzyste 2; 3; 4; ::: i dla kaz·dej z nich
wziać
¾ za q kolejno wszystkie liczby odmiennej parzystości co p, pierwsze wzgledem
¾
pi
mniejsze od p, a nastepnie
¾
wyznaczamy liczby x; y i z ze wzorów (42) W tabeli (Tabela
nr.9) podane sa¾równiez· dla danych babilońskich liczb odpowiadajace
¾ im wed÷
ug wzorów
(38) i (39) liczby pitagorejskie a; b; c; oraz wed÷
ug wzorów (44) liczby t0 i t: :
Oto tablica dwudziestu siedem pierwszych trójek babilońskich pierwotnych u÷
oz·onych
w ten sposób:
57
p q
2 1
3 2
4 1
4 3
5 2
5 4
6 1
6 5
7 2
7 4
7 6
8 1
8 3
8 5
8 7
9 2
9 4
9 8
10 1
10 3
10 7
10 9
11 2
11 4
11 6
11 8
11 10
t0
2
1
3
2
4
1
4
3
5
2
5
4
6
1
6
5
7
2
7
4
7
6
8
1
8
3
8
5
8
7
9
2
9
4
9
8
10
1
10
3
10
7
10
9
11
2
11
4
11
6
11
8
11
10
t
1
2
2
3
1
4
3
4
2
5
4
5
1
6
5
6
2
7
4
7
6
7
1
8
3
8
5
8
7
8
2
9
4
9
8
9
1
10
3
10
7
10
9
10
2
11
4
11
6
11
8
11
10
11
a
3
5
15
7
21
9
35
11
45
33
13
63
55
39
15
77
65
17
99
91
51
19
117
105
85
57
21
b
c
x
y
z
4
12
8
24
20
40
12
60
28
56
84
16
48
80
112
36
72
144
20
60
140
180
44
88
132
176
220
5
13
17
25
29
41
37
61
53
65
85
65
73
89
113
85
97
145
101
109
149
181
125
137
157
185
221
1
7
7
17
1
31
23
49
17
23
71
47
7
41
97
41
7
127
79
31
89
161
73
17
47
119
199
5
13
17
25
29
41
37
61
53
65
85
65
73
89
113
85
97
145
101
109
149
181
125
137
157
185
221
7
17
23
31
41
49
47
71
73
89
97
79
103
119
127
113
137
161
119
151
191
199
161
193
217
233
241
Tabela nr.9
58
Natomiast gdyby tak u÷
oz·yć tablice¾ z liczbami babilońskimi analogiczna¾ do Plimpton,
gdzie p; q odpowiadaja¾ tablicy Plimpton 322, to wyglada÷
¾ aby ona nastepuj
¾ aco:
¾
Rzad
¾ x = 2pq p2 + q 2
1
1
2
89
3
199
4
791
5
7
6
41
7
409
8
161
9
119
10
1519
11
1
12
721
13
79
14
929
15
34 (17)
y = p2 + q 2
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
5
2929
289
3229
106 (106)
z = p2
q 2 + 2pq
239
6823
9401
26209
137
679
4991
1759
1081
11441
7
4079
401
4471
146 (73)
p
12
64
75
125
9
20
54
32
25
81
2
48
15
50
9 (7)
q
5
27
32
54
4
9
25
15
12
40
1
25
8
27
5 (2)
Tabela nr.10
Przedstawie¾ teraz wszystkie zauwaz·one [[13], str 60] w opracowanych tabliczkach
liczby babilońskie. Podamy równiez· odpowiadajace
¾ im weg÷
ug wzorów (38) i (39) liczby
0
pitagorejskie a; b; c oraz liczby p; q i t; t wyznaczone z wzorów odpowiednio (42) i
(44).
x
y
z
a b
c
p q t0
t
1 5
7
3 4
5
2 1 2
0; 30
7 17 23
8 15 17 4 1 1; 40 0; 36
7 12 17
5 12 13 3 2 1; 30 0; 40
17 25 31
7 24 25 4 3 1; 20 0; 45
31 41 49
9 40 41 5 4 1; 15 0; 48
49 1; 1 1; 11 11 1; 0 1; 1 6 5 1; 12 0; 50
Weksler [13] zauwaz·a, z·e dla dwóch trójek liczb babilońskich 31; 41; 49 oraz
49; 1; 0; 1; 1 odpowiadajace
¾ im wed÷
ug wzorów (38) liczby pitagorejskie 9; 40; 41,
oraz 11; 1; 0; 1; 1 nie zosta÷
y zauwaz·one w źród÷
ach. W zwiazku
¾
z powyz·szym,
ma÷
o prawdopodobnym staje sie¾ fakt, iz· staroz·ytni wyliczali liczby babilońskie z liczb
pitagorejskich wed÷
ug (38) . Chociaz· - jak twierdzi Sz. Weksler - być moz·e w opracowanych tabliczkach nie wystepuj
¾ a¾ wszystkie liczby pitagorejskie, które znane by÷
y
staroz·ytnym matematykom Babilońskim.
Widać równiez·, z·e dla wyliczenia liczb babilońskiech ze wzorów (42) i (43) wystarczy÷
o rozwaz·yć takie pary p; q -wzglednie
¾
pierwsze, róz·nej parzystości, oraz nie wieksze
¾
od 6. Zauwaz·my, z·e nie wszystkie takie pary zosta÷
y wykorzystane, brak takich par jak
5; 2 i 6; 1, z których otrzymamy nastepuj
¾ ace
¾ liczby babilońskie: 1; 29; 41 i 23; 37; 47:
59
Równiez· w tym przypadku, nalez·y przypomnieć, z·e nie ma przekonujacych
¾
dowodów
na to, z·e Babilończycy wyliczali liczby pitagorejskie ze wzorów (7).
Najbardziej godnym uwagi wed÷
ug wspomnianego autora jest fakt, z·e aby znaleźć
liczby babilońskie wed÷
ug wzorów (44) wystarczy rozwaz·yć kolejne pary liczb „normalej tablicy odwrotności” ( patrz str. 11) od t0 = 2 i t = 0; 30 do t0 = 1; 12 do
t = 0; 50. Z tego przedzia÷
u liczb t0 i t nie wystepuj
¾ a¾ w tekstach liczby babilońskie
15
8
otrzymane z pary 1; 52; 30 8 i 0; 32 15 , być moz·e dlatego, z·e jedna z liczb jest
„trzycyfrowa” i prowadzi do za „duz·ych” liczb babilońskiech: 1; 19; 4; 49; 6; 41 czyli
(79; 289; 401) : Zatem moz·naby wysnuć wniosek, z·e podobnie jak w przypadku liczb
pitagorejskich, tak i w babilońskich podstaw¾
e ich wyznaczania stanowi÷
y tablice odrotności, choć tak samo prawdopodobne jest, z·e znali oni wzory (38) i z nich wyliczane
by÷
y liczby babilońskie.
3.3
Zadania.
Z liczbami babilońskimi wia¾z·e sie¾ zagadnienie , jak przy danych liczbach x; y; z spe÷
niajacych
¾
równanie (34) i ustalonym y otrzymać inne liczby x1 i z1 ; aby x1 ; y; z1
równiez· spe÷
nia÷
y (34). Treść takiego zadania oraz rozwiazanie
¾
podaje Weksler [[3],
str.62] na podstawie analizy tablicy T z Suzy. W trapezie o danych podstawach x < z,
którego prosta y równoleg÷
a do podstawy dzieli pole na po÷
owy. Nalez·y znaleźć dwie
inne proste równoleg÷
e do podstaw x1 i z1 tak, aby pola trapezów o podstawach x1 i y
oraz y i z1 by÷
y równe. Chodzi wiec
¾ o znalezienie takiego rozwiazania
¾
x1 ; z1 równania
(34), aby
x < x1 i z1 < z
(45)
Mamy dwa zadania nastepuj
¾ acej
¾ treści:
Ćwiczenie 35 Przy danych
x = 15 z = 1; 45 y = 1; 15
znale´zć inne rozwiazanie
¾
x1 ; y; z1 równania (34), aby zachodzi÷y powy·zsze nierówno´sci
(45).
Rozwiazanie
¾
36 W cytowanym tek´scie x1 i z1 w tym przypadku obliczone zosta÷y
wed÷ug wzorów
x1 = 0; 36z 0; 48x; z1 = 0; 48z + 0; 36x;
z których po podstawieniu otrzymujemy
x1
x1
z1
z1
=
=
=
=
0; 36 1; 45 0; 48 15
1; 3 12 = 51;
0; 48 1; 25 + 0; 36 35
1; 24 + 9 = 1; 33
Liczby te ÷¾
acznie z y = 1; 15 sprawdzaja¾ równanie (34) i spe÷niaja¾ nierówno´sci. Dla
ustalenia skad
¾ mog÷a sie¾ wywodzić znajomo´sć tych wzorów oznaczmy wspó÷czynniki
0; 36 =
3
5
=
i 0; 48 =
60
4
5
= ;
wobec równo´sci
2
+
( z
2
= 1 zachodzi to·zsamo´sć
x)2 + ( z + x)2 =
2
2
+
z 2 + x2 = 2y 2
stad
¾ wynika natychmiast, ·ze
x1 = z
x;
z1 = z + x;
y;
sa¾liczbami babilońskimi.
Ćwiczenie 37 Niech teraz
x = 35;
z = 1; 25;
y = 1; 05:
Rozwiazanie
¾
38 Rozwiazanie
¾
tego zadania x1 = 47; z1 = 1; 19 ; y = 1; 05; równie·z
mo·zna otrzymać z powy·zszych wzorów, przyjmujac
¾
= 0; 48 i
= 0; 36: Istotnie,
bowiem
x1
x1
z1
z1
=
=
=
=
0; 48 1; 25 0; 36 35
1; 8 21 = 47
0; 36 1; 25 + 0; 48 35
51 + 28 = 1; 19
Okazuje sie¾ jednak, ·ze w tek´scie przebiega ono inaczej.
Rozwiazanie
¾
39 Wzorujac
¾ sie¾ na nim przyjmijmy najpierw dowolne liczby wymierne
< : wtedy liczby
a = 0; 30
2
2
;
b=
;
c = 0; 30
2
+
2
spe÷niaja¾równanie a2 + b2 = c2 oraz oczywi´scie
2
a=c
2
=
c:
Podstawmy teraz do pierwszego ze wzorów
=
za´s do drugiego ze wzorów
b
c
=
c
;
=
a
c
=
2
c
c
2
=
1;
c
jak wy·zej, natomiast
=
2
a
c
=
c
c
2
=1
c
:
Wtedy otrzymamy
2
x1 =
z
= ( z
x=
x)
c
c
z
c
+x=x+
61
1 x
0; 30(
2
+
2)
( z
x) ;
oraz
2
z1 =
z+ x=
= z
c
( z
1
z+
c
x) = z
c
0; 30(
z
2
+
2)
( z
x) :
Zgodnie z tekstem przyjmujac
¾ teraz
= 1;
= 2;
x = 35;
z = 1; 25
otrzymujemy
2
(1 1; 25 2 35) ;
0; 30(12 + 22 )
1
(1 1; 25 2 35) :
= 1; 25
0; 30(12 + 22 )
x1 = 35 +
z1
Kolejnym naszym krokiem sa¾wyliczenia
22 = 4;
1 + 4 = 5;
0; 30 5 = 2; 30;
1
2;30
= 0; 24
(liczbe¾ te¾ jak g÷osi tekst „zatrzymasz w pamieci”
¾ ) jest wiec
¾
1
= 0; 24:
0; 30(12 + 22 )
Dalej oblicza sie¾ warto´sci wyra·zenia z
1 1; 25 = 1; 25; 2 35 = 1; 10;
x:
1; 25
1; 10 = 15;
i na koniec
z1 = 1; 25 6 = 1; 19
x1 = 35 + 12 = 47:
62
0; 24 15 = 6;
6 2 = 12;
Literatura
[1] Asger Aaboe, Matematyka w Staro·zytno´sci, PWN, Warszawa 1968
[2] J. H. Conway, R. K. Guy, Ksiega
¾ Liczb, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1999
[3] J. Friberg, Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322,
Pythagorean Triples, and Babylonian Triangle Parameter Equations, Chalmers
Tekniska Högskola-Göteborgs Universitet S-412 96 Göteborg, Sweden
[4] G. Ifrah, Dzieje Liczby, Czyli Historia Wielkiego Wynalazku, Ossolineum, Wroc÷
aw
1990
[5] A. P. Juszkiewicz, Historia Matematyki, Tom I, PWN, Warszawa 1975
[6] M. Kordos, Wyk÷ady z Historii Matematyki, Script, Warszawa 2005
[7] O. Neugebauer, Vorlesungen Uber Geschichte der Antiken Mathematishen Wissenschaften, Berlin 1934
[8] O. Neugebauer and A. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental
Society, New Haven, 1945
[9] Oxford Educational Encyclopedia Ltd 2005, Wielka Historia ´Swiata, Tom I
[10] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Biblioteka Wirtualna Nauki, Monogra…e Matematyczne, Tom XIX (Rozdzia÷X), Warszawa-Wroc÷
aw 1950
[11] W. Sierpiński, Trójkaty
¾ Pitagorejskie, PWN, Warszawa 1954
[12] James Taylor, http://„dovepresent.com/pages/articles/plimpton.html”, 2002
[13] Sz. Weksler, Arytmetyka i Algebra Babilońska, Uniwesytet ×ódzki, ×ódź 1968
63

Praca - Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej

Transkrypt

Podobne dokumenty