1 Uwaga 1. 0-formy róťniczkowe to po prostu funkcje. Wtedy okre

Piotr Suwara
Uwaga
Analiza matematyczna II.1*: 18 listopada 2011
1. 0-formy ró»niczkowe to po prostu funkcje. Wtedy okre±lamy f ∗ ϕ
∗
∗
f (dϕ) = d(f ϕ),
to dostajemy
1
= ϕ◦f , i poniewa»
funktorialno±¢ ró»niczki:
f ∗ d = df ∗ .
Stwierdzenie 1 (wªasno±ci ró»niczki). d(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 ) = c1 dϕ1 + c2 dϕ2
d(ϕψ) = ϕdψ + ψdϕ
!
Je±li
yi = fi (x),
to
d(ϕ ◦ f ) =
X ∂ϕ
∂ϕ
◦ f dfi =
◦f
∂yi
∂yj
i,j
X
i
Denicja 1
(rozmaito±¢)
. M ⊂ Rn
x0 ∈ M istnieje jego otoczenie U ⊂ Rn , »e M ∩ U jest
= ϕd+1 (xi1 , . . . , xid ), . . . , xin = ϕn (xi1 , . . . , xid ) dla ϕj ∈ C 1 .
Przykªad
1. Wykres
C1 3 ϕ : Rn → Rm
Przykªad
2. Sfera
i
Przykªad
3. Produkty rozmaito±ci s¡ podrozmaito±ciami.
Przykªad
4.
P
x2i = 1
jest podrozmaito±ci¡
C : x2 + y 2 = z 2 ,
Medytacje 1
jest podrozmaito±ci¡
wtedy
C \ {0}
Rn
wymiaru
d,
je±li dla
opisane ukªadem równa«
Rn+m
wymiaru
∂fj
dxi .
∂xi
C1
jest podrozmaito±ci¡ klasy
ka»dego
xid+1
!
wymiaru
n.
n − 1.
jest rozmaito±ci¡.
. M : F = 0,
C 1 , je±li na M mamy
rkF 0 = c, to M jest podrozmaito±ci¡ kowymiaru c = codimM , wymiaru n − c.
W szczególno±ci, je±li F idzie w R, F (x0 ) = c0 , we¹my Vc0 : F (x) = c0 , wtedy Vc0 jest
podrozmaito±ci¡ klasy C 1 .
Ba, wiemy ju», »e maj¡c rozmaito±¢ M : F = (F1 , . . . , Fc ) = 0, mamy te» ∇Fi (x0 ) ⊥
Tx0 M .
Uwaga
(podrozmaito±ci z TFU)
2. Je±li
normalnych
M : Fi = 0 z zaªo»eniami TFU, to M
do M (Tx⊥0 M ).
Stwierdzenie 2
(parametryzacja)
F
jest
jest wyposa»one w ci¡gªe pole c-reperów
. d ¬ n, Rd ⊃ U −F−∈C
−→ Rn
(wªa±ciwa, czyli nie pami¦tam co), dla ka»dego
podrozmaito±ci¡.
gdzie
1
x∈U
mamy
ró»nowarto±ciowa i wªa±ciwa
rkF 0 (x) = d,
wtedy
F (U )
jest