Zadanie 10. 1. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu

D:\_AND\001\PR_NAUK\2003\80_ZADANIA\013.DOC
2003-sie-10, 9:58
Zadanie 10.
1. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszym obwodzie.
2. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszej przekątnej.
3. Wśród wszystkich prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu R znajdź ten o
największym polu.
x2
4. Na hiperboli o równaniu
− y 2 = 1 znajdź punkt najbliższy punktowi P(3;0) .
2
x2
1
5. Na hiperboli o równaniu
− y 2 = 1 znajdź punkt najbliższy punktowi P( 2; ) .
2
2
6. Znajdź największe pole prostokąta, którego dwa wierzchołki leżą na osiach OX i OY ,
trzeci w środku układu współrzędnych, a czwarty na paraboli o równaniu y = 3 − x 2 .
7. Znajdź współczynnik kątowy prostej przechodzącej przez punkt A(1;2) i wycinającej w
pierwszej ćwiartce układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu.
8. Znajdź długości boków trapezu mającego najmniejszy obwód wśród wszystkich trapezów
równoramiennych z zadanym polem S i kątem A między bokiem a dolną podstawą.
9. Znajdź kąty ostre trójkąta prostokątnego mającego największe pole wśród wszystkich
trójkątów o ustalonej sumie długości jednej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej.
10. Znajdź długości boków prostokąta o największej powierzchni wpisanego w elipsę o
x2 y2
równaniu 2 + 2 = 1 tak, że jego boki są równoległe do osi elipsy.
a
b
11.Policzyć największe pole trapezu wpisanego w półokrąg o promieniu R tak, że dolna
podstawa trapezu leży na średnicy półokręgu.
12.Znajdź wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o największej objętości, wpisanego
w kulę o promieniu R .
13.Znajdź największą objętość walca, którego obwód przekroju osiowego jest równy a .
14.Policzyć największą objętość walca, którego całkowita powierzchnia jest równa S .
15. Puszka ma kształt walca. Znajdź najkorzystniejsze rozmiary puszki, tj. takie aby przy
ustalonym całkowitym polu powierzchni bocznej S objętość była największa.
16.Jakich rozmiarów powinien być kocioł o kształcie walca zamkniętego półsferami o
ściankach zadanej grubości, aby przy wymaganej objętości V zużyć na jego wykonanie
najmniejszą ilość materiału.
17. Określić stosunek długości promienia podstawy do wysokości walca mającego przy danej
objętości najmniejsze pole powierzchni całkowitej.
18. Znajdź największe pole powierzchni całkowitej walca wpisanego w sferę o promieniu R .
19.Znajdź wysokość stożka o największej objętości wpisanego w sferę o promieniu R .
20.Znajdź wysokość stożka o najmniejszej objętości opisanego na sferze o promieniu R .
21. W stożek, którego promień podstawy wynosi R , a wysokość H , wpisać walec o
największej objętości. Znajdź promień podstawy i wysokość tego walca.
22.Z blaszanego koła wycięto wycinek o kącie α i zwinięto z niego powierzchnię boczną
stożka. Po zlutowaniu spoiny otrzymano naczynie. Dla jakiego kąta α pojemność
naczynia będzie największa?
23. Znajdź najmniejszą powierzchnię boczną stożka mającego objętość V .
24. Znajdź największą objętość stożka o zadanej tworzącej l .
25. Znajdź najmniejszą objętość stożka opisanego na półsferze o promieniu r , w taki sposób,
że podstawy stożka i półsfery leżą w jednej płaszczyźnie i są koncentryczne.