σR = F s σRs = GM(m/2) R2 M = masa Ziemi = 6

Asteroida (Rozerwanie asteroidy przez Ziemię)
Żelazna asteroida (zakładając, że jest jednorodną kulą) ma przelecieć w odległości 100 km od Ziemi.
Jaki musi mieć promień aby było prawdopodobieństwo grawitacyjnego rozerwania tej planetoidy
przez Ziemię na dwie połówki. Dopuszczalne naprężenie na rozerwanie σR dla stali niskowęglowej
wynosi 320 MPa (MN/m2) a gęstość ρ stali wynosi prawie 8 Mg/m3 (8000 kg/m3). Przedyskutować
zależność tego promienia od innych odległości asteroidy i innych jej danych materiałowych.
Brakujące dane wziąć z tablic mat. - fiz. (– astronom.).
Rozwiązanie
Musimy doprowadzić do jednego wzoru (wzoru ostatecznego) i założyć, że mamy dane dla żelaza a
nie stali (stal to żelazo o zawartości węgla < 2% )
Wzór na naprężenie (jak widać z jego jednostki):
F
σR = s
Stąd F = σRs
F = siła rozrywająca
S = pole największego przekroju asteroidy czyli zawierające jej środek (prostopadłe do F)
σRs =
GM(m/2)
R2
M = masa Ziemi = 6*1024 kg
m = masa asteroidy
R = odległość asteroidy od Ziemi
S = πr2
r = maksymalny promień asteroidy o założonym kształcie regularnym (kulistym)
m = ρVmin
4
V = 3 πr3
Mamy więc:
GM
4
σR πr2 = R2 *(ρ*3 πr3)/2
czyli σR =
GM
2
R2 *ρ* 3 r
I ostatecznie:
3R2σR
3 σR
r = 2ρGM = 2GM ρ R2
G = stała grawitacji = 6,67*10-11 ≈ 6*10-11
320*106
1
r = 2*6*10-11*6*1024 8000 ((6400+100)*103)2 = 24*1013 * 40*103 * (652*1010 ) ≈
3
= 2*10-10 (652 *1010 )= 2* 4225 m = 8 km
A więc planetoida żelazna przelatująca w odległości 100 km od Ziemi musiałaby mieć
promień max 8 km aby mogła się rozerwać na połowy.
W odległości 8 tys km : r = 2* 10-10 *((8000+6400)*103)2 =
=2* 10-10 144002*106 =2* 10-10 1442*1010 =2* 20736 = 40 km
Gdyby przelatywała w odległości 16000 km to r = 2* 10-10 *((16000+6400)*103)2 =
= 2* 10-10 224002*106 = 2* 10-10 2242*1010 = 2* 50176 = 100 km
W odległości 400 tys km : r = 2* 10-10 *((40000+6400)*103)2 =
=2* 10-10 464002*106 =2* 10-10 4642*1010 =2* 215296 = 430 km < 1737
σR 150*106
Dla platyny: σR = 150 MPa, ρ=21,4 tony/m3 więc ρ = 21,4*103 ≈ 7*103 = 40/7 razy mniej niż
dla żelaza a więc (to też w liczniku) też aż 6 razy mniejszy promień minimalny czyli np. dla
8000 km r= 40/7 = 6 km a dla 16000 km r= 100/7 = 14 km
Jest to jednak model uproszczony; Dla dużych odległości asteroidy od Ziemi, większych od 8
– 16 tys km, czyli dla większych od tzw. granicy Roche’a, zaniedbywalna tu siła przyciągania
grawitacyjnego między połówkami asteroidy zaczyna „brać górę” nad przyciąganiem przez
Ziemię „dolnej” połówki więc asteroida nie rozpadnie się nigdy.
Oprac. Mirosław Kwiatek
2013-04-9