Zapisz jako PDF

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry
Spis treści
1 Wprowadzenie
2 Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu
2.1 Działanie filtra w dziedzinie czasu
2.2 Nazewnictwo
2.3 Przejście do dziedziny częstości
2.3.1 Działanie filtra w dziedzinie częstości
2.3.2 Opóźnienie grupowe
2.3.3 Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym
2.3.4 Pytanie
3 Klasyczne filtry IIR
3.1 Specyfikacja filtra
3.2 Projektowanie filtrów w programie Svarog
3.2.1 Przykład
3.2.2 Zadanie
Wprowadzenie
W analizie sygnałów filtowanie rozumiane jest najczęściej jako operacja mająca na celu
usunięcie z sygnału pewnych składowych. Często operacja ta dotyczy składowych
charakteryzowanych przez częstości np.:
w sygnale EEG wiemy, że znaczącym artefaktem jest sygnał pochodzący od sieci
energetycznej, zatem stosujemy filtr usuwający składową około 50Hz (w Europie).
inny przykład z tej samej dziedziny: interesuje nas czynność alfa (8 -12 Hz), chcemy
zatem usunąć z sygnału składowe o niższych i o wyższych częstościach.
Filtry często są realizowane w postaci systemów LTI (linear time invariant):
dla takich systemów funkcjami własnymi są zespolone eksponensy (czyli na mocy
wzorów Eulera: sinusy i cosinusy)
w przestrzeni częstości filtrowanie odpowiada przemnożeniu każdej składowej
częstościowej przez pewną liczbę (zespoloną)-> zatem zmienić się może amplituda i faza
każdej częstości
w dziedzinie czasu to mnożenie odpowiada splotowi sygnału z pewną funkcją tzw.funkcją
odpowiedzi impulsowej
Filtry cyfrowe: powtórka z wykładu
Działanie filtra w dziedzinie czasu
Najczęściej, wyjście filtra jest kombinacją liniową:
gdzie:
liczba przeszłych próbek wejściowych
liczba przeszłych próbek wyjściowych
użytych do obliczenia aktualnego wyjścia
Większa z liczb
i
.
określa rząd filtra.
Zauważmy, że matematycznie operacje te odpowiadają splataniiu próbek wejściowych z wektorem
próbek wyjściowych z wektorem .
Nazewnictwo
Jeśli
i
filtr nazywany jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR),
czasem jest on nazywany średnią ruchomą (MA).
Jeśli
i
filtr ma nieskończoną odpowiedź impulsową (IIR). Bywa też nazywany
filtrem autoregresyjnym (AR).
Jeśli
i
także jest filtrem o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Czasem mówi
się o nim filtr ARMA - autoregressive moving average.
Zwykle filtry IIR mają niższy rząd niż filtry FIR o tym samym poziomie tłumienia.
Przejście do dziedziny częstości
i
zastosowanie transformaty Z do bu stron daje:
Przekształcamy:
Funkcja w tym równaniu nazywana jest funkcją przenoszenia filtra. Ma ona formę ilorazu dwóch
wielomianów:
Działanie filtra w dziedzinie częstości
Funkcję przenoszenia zależną od częstości,
, można uzyskać podstawiając
Ta funkcja przypisuje każdej częstości pewną liczbę zespoloną, która ma moduł
i fazę :
Zatem działanie filtra to mnożenie każdej składowej Fourierowskiej sygnału przez liczbę
zespoloną
;
Widać więc, że filtr może takiej składowej zmienić amplitudę i fazę, ale nie może jej zmienić
częstości.
Jest to przejaw tego, że sinusoidy są funkcjami własnymi układów LTI
Opóźnienie grupowe
Pokazaliśmy, że filtr mnoży każdą składową przez liczbę
, przez co zmienia jej fazę o
. W konsekwencji składowa o częstości pojawia się na wyjściu filtra z opóźnieniem:
Jeśli zależność fazy od częstości jest liniowa (tak jest dla filtrów FIR) to
wszystkie składowe pojawiają się z tym samym opóźnieniem.
Dla nieliniowej zależności
zniekształcenia sygnału.
, czyli
każda składowa jest opóźniona inaczej. Powoduje to dodatkowe
Opóźnienie grupowe i fazowe filtru - interpretacja
Interpretacja własności fazowych filtru łatwiejsza jest jeśli zamiast fazy wykreślimy opóźnienie
fazowe lub grupowe.
Opóźnienie fazowe zdefiniowane jest jako:
Sens tej definicji widać jeśli zastosujemy ją do sinusa o częstości
opóźnienie grupowe zdefiniowane jest jako:
i fazie
.
Sens tej definicji widać jeśli rozważymy co stanie się z sygnałem składającym się z dwóch cosinusiod
o bliskich sobie częstościach
i . Załóżmy, że filtr przenosi każdą z nich z niezmienioną
amplitudą i jedynie faza ulega przesunięciu odpowiednio o
i . Na wejściu nasz sygnał można
przedstawić tak:
Widać, że takie dwa cosinusy powodują efekt dudnienia. Innymi słowy można je postrzegać jako
oscylację z częstością średnią obu cosinusów modulowaną wolno zmienną (
) obwiednią. Sygnał
wyjściowy z naszego filtru modyfikującego tylko fazy można zapisać tak:
Oznaczmy
Wprowadzając
.
mamy:
Zatem widzimy, że obwiednia przesunięta jest w czasie o
. W granicznym przypadku ciągłym
Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym
Można temu zaradzić następującą procedurą:
filtrujemy sygnał
wprowadzamy przesunięcie fazy o
odwracamy kolejność próbek i ponownie filtrujemy
wprowadzamy przesunięcie fazy o
odwracamy kolejność próbek:
Efektywnie wygląda to tak jakbyśmy przefiltrowali sygnał filtrem o funkcji przenoszenia z zerowym
przesunięciem fazowym:
Pytanie
co to jest odpowiedź impulsowa filtra?
jak filtr działa w dziedzinie czasu?
co to jest funkcja przenoszenia filtra?
jak filtr działa w dziedzinie częstości?
Klasyczne filtry IIR
Mamy cztery klasyczne typy filtrów IIR:
Butterwortha
daje monotoniczną funkcję przenoszenia
Czebyszewa typu I
- dopuszczalne tętnienia w paśmie przenoszenia, monotoniczne w paśmie zaporowym
Czebyszewa typu II
-monotoniczne w paśmie przenoszenia, dopuszczalne tętnienia w paśmie zaporowym, nieco
mniej strome zbocze opadające funkcji przenoszenia niż dla typu I
Filtr eliptyczny
mają dopuszczalne tętnienia zarówno w paśmie przenoszenia jak i tłumienia. Dają najbardziej
strome zbocza przy tym samym rzędzie co powyższe wersje.
Specyfikacja filtra
W określaniu parametrów filtrów używa się często pojęcia decybel [dB]. Dwa poziomy sygnału
oraz
różnią się o decybeli, jeżeli
Ilustracja pojęć używanych przy specyfikacji filtra:
Rp- tętnienia w paśmie przenoszenia
Rs - tłumienie w paśmie tłumienia
Przykładowe parametry specyfikujące filter
można też podać częstość odcięcia i zbocze filtru zgodnie z oznaczeniami na poniższym
rysunku:
Przykład projektu fltra i jego działanie na sygnały testowe:
a) Moduł funkcji przenoszenia. Projekt (szara linia), realizacja dla filtra eliptycznego 5 rzędu (czarna
linia), b) Opóźnienie grupowe. c) Zastosowanie filtra do sygnału złożonego z sinusoidy 10Hz i 50Hz:
szare - wejście, czarne- wyjście. d) Przesunięcia i efekty brzegowe: wejście (szare) to sinusoida 3Hz
ze strukturą 25Hz w okolicach 0.6s; wyjście (czarna linia) (i) w pierwszych 0.1s zniekształcenia
brzegowe (ii)opóźnienia: sinusoida 3Hz jest opóźniona wzg wejścia, struktura 25Hz ma większe
opóźnienie i rozciągłość, co wynika z funkcji opóźnienia grupowego b)} }
Projektowanie filtrów w programie Svarog
Program SVAROG ma wygodne narzędzie do projektowania filtrów IIR. Zanim przejdziemy do
implementowania tych filtrów w pythonie, spróbujemy nabrać wyczucia w SVAROGU.
W celu zaprojektowania filtru w Svarogu należy sprecyzować następujące parametry:
Typ filtru - dolnoprzepustowy, górnoprzepustowy, pasmowoprzepustowy, pasmowozaporowy.
Rodzaj filtru - Butterwortha, Czebyszewa I i II, eliptyczny.
Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 1 - górna częstotliwość pasma
przenoszenia oddzielająca pasmo przenoszenia od obszaru przejściowego.
Częstotliwość graniczna pasma przepustowego 2 - w przypadku filtru
pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego istnieją dwa obszary przejściowego; w
związku z tym częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo przenoszenia od pierwszego obszaru
przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna 2 separuje pasmo przenoszenia
od drugiego obszaru przejściowego.
Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 1 - dolna częstotliwość pasma zaporowego
oddzielająca pasmo zaporowe od obszaru przejściowego.
Częstotliwość graniczna pasma zaporowego 2 - w przypadku filtru
pasmowoprzepustowego lub pasmowozaporowego częstotliwość graniczna 1 oddziela pasmo
zaporowe od pierwszego obszaru przejściowego (ma niższą wartość), a częstotliwość graniczna
2 separuje pasmo zaporowe od drugiego obszaru przejściowego.
Zafalowania w paśmie przenoszenia - maksymalna wartość tłumienia w paśmie
przenoszenia.
Tłumienie w paśmie zaporowym - minimalna wartość tłumienia w paśmie zaporowym.
Przykład
Rysunek poniżej przedstawia charakterystykę amplitudową górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I.
Filtr został zaprojektowany przy użyciu następujących parametrów:
Filter type = high-pass
Filter family = Chebyshev I
Passband edge frequency 1 = 20 Hz
Stopband edge frequency 1 = 16 Hz
Passband ripple = 3 dB
Stopband attenuation = 40 dB
Rząd filtru zostaje dostosowany do wymagań projektowych.
Charakterystyka amplitudowa górnoprzepustowego filtru Czebyszewa I.
Okienko projektowania flirtrów w programie SVAROG
Zadanie
Przydadzą nam się pliki: Plik z sygnałem EKG Plik z metadanymi do tego sygnału
Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Filtry