Zastosowanie Matematyki w Technice

Zastosowanie Matematyki w Technice
Numeryczne całkowanie równań różniczkowych
zwyczajnych
cz. 3
0
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Równanie rzędu m

dmy
dy d 2 y
d m 1 y 
 g  x, y, , 2 , , m 1 
m
dx
dx dx
dx 

Warunki początkowe
y (0)   0 , y(0)  1 , y(0)   2 ,  , y ( m1) (0)   m 1
Podstawienie
1 ( x) 
2 
dy
d2y
d3y
d m1 y
,  2 ( x)  2 , 3 ( x)  3 , ,  m1 ( x)  m1
dx
dx
dx
dx
3
2
d 2 y d  dy  d1   d y  d  d y   d 2 , 
, 3
  
3
2 

2
dx
dx
dx
dx  dx  dx
dx

 dx
d m y d  d m1 y  dm1

 
dx m dx  dx m1 
dx
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Układ równań I rzędu
dy
 1 ( x),
dx
d1
  2 ( x),
dx
d 2
 3 ( x),
dx

d m  2
 m1 ( x),
dx
d m1
 g  x, y, 1 ,  2 , , m1 
dx
Warunki początkowe
y (0)   0 , 1 (0)  1 , 2 (0)   2 ,  , m 1 (0)   m 1
1
Równanie II rzędu
Przykład 13
L
uz(t)
t=0
i
C
R
di
u  0
dt
u
du
i  C
R
dt
R=60
L=6mH
C=200F
uz  L
LC
u
uz(t)=Umsin(t+)
Um=100V
=314s‐1
=
d 2u L du

 u  U m sin  t   
dt 2 R dt
du 
1 du u
d 2u U m

 g  t , u, 


sin  t    
dt 
RC dt LC
dt 2 LC

i (0) u (0) i (0)



u (0)  0 u (0) 
C
RC
C
Przykład 13
Warunek początkowy dla prądu
t<0
L
uz(t)
i
Im 
U e j
Um
 m

R
 j L
Z
R
i (t ) 
i (0) 
Um
R 2  (L) 2
Um
R 2  (L) 2
Um
R 2   L 
2
e
L 

j   arctg

R 

L 

sin  t    arctg

R 

L 

sin    arctg
  0,878 A
R 

u(0)  4389
V
s
Przykład 13
di
u  0
dt
u
du
i  C
R
dt
uz  L
metoda Eulera
di u z  u

dt
L
du i
u
 
dt C RC
u (0)  0
i (0)  0,878 A
ik 1  ik  h f1 (tk , ik , uk )
uk 1  uk  h f 2 (tk , ik , uk )
f1 (tk , ik , uk ) 
u z (tk )  uk 100sin  314tk   6   uk

L
0,06
f 2 (tk , ik , uk ) 
ik
uk
ik uk



C RC 2  104 1, 2  102
2
Przykład 13
metoda Adamsa‐Bashfortha
i1  i0  h f1 (0, i0 , u0 )
u1  u0  h f 2 (0, i0 , u0 )
h
3 f1 (tk , ik , uk )  f1 (tk 1 , ik 1 , uk 1 )
2
h
uk 1  uk  3 f 2 (tk , ik , uk )  f 2 (tk 1 , ik 1 , uk 1 )
2
ik 1  ik 
30
k  1, 2,
h  0,0002 s
250
200
20
150
10
100
50
0
0
i [A]
0,005
0,01
0,015
‐10
0,02
u [V]
0
‐50
0
0,005
0,01
0,015
0,02
‐100
‐20
‐150
‐30
‐200
‐40
‐250
m. Eulera
m. Adamsa‐Bashfortha
m. Eulera
m. Adamsa‐Bashfortha
3