Stabilnosc, Sterowalnosc, Obserwowalnosc

Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Jezyki
˛
Modelowania i Symulacji
Stabilność, Sterowalność, Obserwowalność
Marcin Ciołek
Katedra Systemów Automatyki
WETI, Politechnika Gdańska
17 listopada 2011
Upraszczanie
modeli
O czym bedziemy
˛
mówili?
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
1
Modelowanie ’zdarzeń’: piłka
2 KRYTRIA STEROWALNOŚCI i OBSERWOWALNOŚCI
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
• Co sie˛ stanie z piłka?
˛
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Pogladowy
˛
rysunek
• Założenie: ruch kończy sie,
˛ gdy piłka spada na trawe.
˛
xl=-2.75; xr=2; yd=-4; yu=5;
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Podstawowe równania ruchu piłki (model liniowy):
x1 := x
mẍ = −αẋ
mÿ = −αẏ − mg
x2 := ẋ,
x3 := y ,

ẋ1 = x2



α
x2
ẋ2 = − m
.
ẋ
=
x
 3
4


α
x4 − g
ẋ4 = − m
x4 := ẏ
• Model odbicia piłki w chwili t od powierzni blatu stołu
(y=0) o długości (|xr-xl|):
x1 (t + ) = x1 (t − ),
x2 (t + ) = βx2 (t − ),
x3 (t + ) = x3 (t − ),
x4 (t + ) = −βx4 (t − )
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Modelowanie ’zdarzeń’:
• Warunkiem koniecznym wystapienia
˛
danego zdarzenia
jest zerowania sie˛ odpowiednej funkcji opisujacej
˛ to
zdarzenie.
• Kryteria detekcji zdarzeń (zachowanie sie˛ funkcji
opisujacej
˛ w otoczeniu jej zera):
-1 w otoczeniu zera mamy funkcje˛ rosnaca,
˛
0 każde przejście przez zero,
1 w otoczeniu zera funkcja opisujaca
˛ jest malejaca.
˛
• Co robić po detekcji zdarzenia?
0 Pomimo wystapienia
˛
danego zdarzenia całkowanie
równania różniczkowego nie jest zatrzymywane.
1 Całkowanie równania różniczkowego jest zatrzymywane
(koniec danego etapu całkowania).
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Przyjecie
˛
aktywnej (’on’) opcji ’Events’ oznacza, że:
• funkcja użytkownika (w omawianym przypadku jest to
myball) powinna reagować na parametr ’flag = events’
zwracajac
˛ trzy wielkości:
[value,isterm,direct];
• funkcja całkowania równania różniczkowego (w
omawianym przypadku jest to ode23) zwraca pieć
˛
wielkości:
[T,Y,TE,YE,IE] = solver(odefun,tspan,y0,options)
T
Y
TE
YE
– wektor kolejnych chwil czasu t,
– tablica rozwiaza
˛ ń (wiersz odpowiada chwili czasu t),
– wektor chwil czasu, w których miały miejsce zdarzenia,
– tablica rozwiaza
˛ ń (wiersz odpowiada chwili danego
zdarzenia),
IE – wektor indeksów wskazujacych
˛
zdarzenie zaistniałe w
chwili podanej w TE,
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Modelowanie ’zdarzeń’:
Funkcje opisujace
˛
(identyfikujace)
˛
zdarzenia
value=[x(3); x(1)-xl; xr-x(1); x(3)-yd];
Akcje po detekcji zdarzeń:
isterminal=[xterm; 1; 1; 1];
Kryteria detekcji zdarzeń:
direction=[-1; 0; 0; 0];
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Przykład
function varargout=myball(t,x,flag,m,a,xl,xr,yd,xterm)
g=9.81;
if strcmp(flag,'')
Out=zeros(4,1);
Out(1)=x(2);
Out(2)=-a*x(2)/m;
Out(3)=x(4);
Out(4)=-g-a*x(4)/m;
varargout{1}=Out;
elseif strcmp(flag,'events')
[varargout{1:3}]=feval(@event,x,xl,xr,yd,xterm);
end
function [value,isterm,direct]=event(x,xl,xr,yd,xterm)
value=[x(3); x(1)-xl; xr-x(1); x(3)-yd];
isterm=[xterm; 1; 1; 1];
direct=[-1; 0; 0; 0];
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Przykład
function [T,X,TE,XE,IE]=ball
m=10;
x00=0.0;
xl=-2.75;
xr=2.0;
yu=5;
yd=-4;
tp=0.0;
tf=30.0;
vx0=-0.5;
%vx0=0.6;
alpha=0.25;
%alpha=0.20;
beta=0.92;
%beta=0.8;
TE=[]; XE=[]; IE=[];
xterm=1;
x0=[x00 vx0 yu 0.0];
T(1)=tp; X(1,:)=x0;
opt=odeset('Events','on','RelTol',1e-6,'Refine',6);
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
while 1
[tt,xt,te,xe,ie]=
ode23('myball',[T(end) tf],x0,opt,m,
alpha,xl,xr,yd,xterm);
T=[T;tt];
X=[X;xt];
TE=[TE;te]; XE=[XE;xe]; IE=[IE;ie];
if ie==1
x0=[xe(1) xe(2)*beta xe(3) -xe(4)*beta];
elseif (ie==2) | (ie==3)
x0=xe; xterm=0;
else return;
end
end
[T,X]=ball;
plot(X(:,1),X(:,3));
Upraszczanie
modeli
Przykład
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
• Ilustracja ruchu piłki:
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
vx0=-0.5; alpha=0.25; beta=0.92;
vx0=0.6; alpha=0.20; beta=0.8;
• Czy (w ogólnym przypadku) zadanie ’detekcji zdarzeń’
może być źle uwarunkowane?
Upraszczanie
modeli
Model obiektu
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Model obiektu dynamicznego z czasem ciagłym:
˛
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0),
A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×p
C ∈ Rq×n .
y (t) = Cx(t),
• Macierz sterowalności Mc = Mc (A, B)
Mc :=
B AB · · ·
An−1 B
,
Mc ∈ Rn×n·p .
• Macierz obserwowalności Mo = Mo (A, C)


C
 CA 

Mo := 
 ··· ,
CAn−1
Mo ∈ Rn·q×n .
Upraszczanie
modeli
ctrb, obsv
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Wyznaczanie macierzy sterowalności
• Mc = ctrb(A,B);
– A - nxn, B - nxp,
System jest sterowalny jeżeli jego macierz
sterowalności posiada pełen rzad.
˛
Wyznaczanie macierzy obserwowalności
• Mo = obsv(A,C);
– A - nxn, C - qxn,
System jest obserwowalny jeżeli jego macierz
obserwowalności posiada pełen rzad.
˛
Upraszczanie
modeli
ctrb, obsv
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Wyznacz macierze sterowalności i obserwowalności dla
systemu opisanego macierzami modelu stanowego
−2 1
1
1
B=
C=
A=
0
0
−1 61
>> Mc=ctrb(A,B)
Mc =
1
-2
0
-1
>>Mo = obsv(A,C)
Mo =
1
0
-2
1
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
ctrb, obsv
Sprawdź sterowalność i obserwowalność systemu
1 −2
1 0
Mc =
Mo =
0 −1
−2 1
>> rank(Mc)
ans =
2
% Liczba niesterowalnych zmiennych stanu
>> unco = length(A)-rank(Mc)
unco =
0
>> rank(Mo)
ans =
2
% Liczba nieobserwowalnych zmiennych stanu
>> unob = length(A)-rank(Mo)
unob =
0
Upraszczanie
modeli
ctrb, obsv
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Wyznacz macierze sterowalności i obserwowalności dla
systemu opisanego macierzami modelu stanowego
1 1
1 −1
1
A=
B=
C=
4 −2
1 −1
0
>> Mc=ctrb(A,B)
Mc =
1
-1
1
-1
>> rank(Mc) = 1
>> Mo=obsv(A,C)
Mo =
1
0
1
1
>> rank(Mo) = 2
2
2
-2
-2
Upraszczanie
modeli
ctrb, obsv
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Szacowanie rz˛edu źle uwarunkowanej macierzy
sterowalności
1 δ
1
1
A=
B=
C=
0 1
δ
0
√
δ 6= 0
δ < eps
>> Mc=ctrb(A,B)
Mc =
1.0000
1.0000
0.0000
0.0000
>> rank(Mc) = 1
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Stabilność asymptotyczna
• Obiekt ẋ(t) = Ax(t) jest asymptotycznie stabilny, gdy
lim x(t) = 0n ,
t→∞
∀x(0).
• x(t) = eAt x(0) ⇒ obiekt jest asymptotycznie stabilny
m
lim keAt k = 0.
t→∞
• Obiekt (macierz A) jest asymptotycznie stabilny
m
Re λ < 0,
∀λ ∈ spectr A.
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Stabilność asymptotyczna
Model liniowego obiektu dynamicznego:
0 −1
1
0
x = Ax,
A=
, x(0) =
−1 −1
−0.5
lim x(t) = 0n ,
t→∞
∀x(0).
Rozwiazanie
˛
wzgledem
˛
czasu
Upraszczanie
modeli
MC
Stabilność asymptotyczna
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
lim keAt k = 0.
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
t→∞
A=[0 1;-1 -1];
tk = 1000;
x0=[1; -0.5];[T,x]=ode45('Ax',[0 tk],x0,[],A);
xx=zeros(2,size(T,1));
for k=1:size(T,1)
xx(:,k)=expm(A*T(k))*x0;
end
norm(xx(:,tk),2)
ans =
1.9393e-175
Upraszczanie
modeli
Stabilność asymptotyczna
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Re λ < 0,
A=[0 1;-1 -1];
>> eig(A)
ans =
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
∀λ ∈ spectr A.
Upraszczanie
modeli
Kryteria stabilności
asymptotycznej
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Nastepuj
˛ ace
˛ zdania sa˛ równoważne:
a) A jest macierza˛ stabilna.
˛
b) ∃ M oraz α, takie że
keAt k ≤ Me−αt , ∀t.
c) ∀ Q > 0, Q ∈ Rn×n równania Lapunowa
XAT + AX = −Q
maja˛ dodatnio określone rozwiazania:
˛
X ∈ Rn×n > 0
Upraszczanie
modeli
Kryteria stabilności
asymptotycznej
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
keAt k ≤ Me−αt , ∀t.
1
0.8
0.6
0.4
x(t)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
Rozwiazanie
˛
wzgledem
˛
czasu
90
100
Upraszczanie
modeli
Kryteria stabilności
asymptotycznej
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
A=[0 1;-1 -1];
tk = 100;
x0=[1; -0.5];[T,x]=ode45('Ax',[0 tk],x0,[],A);
xx=zeros(2,size(T,1));
for k=1:size(T,1)
alpha = 0.1;
xx2=zeros(2,size(T,1));
xx(:,k)=expm(A*T(k))*x0; end
M = [1 ;1];
for k=1:size(T,1)
xx2(k)=exp(-alpha*T(k))*M; end
plot(T,xx(1,:),T,xx(2,:)) hold on
plot(T,xx2(1,:),'r',T,xx2(2,:),'r')
ylabel('x(t)') xlabel('t')
Upraszczanie
modeli
lyap
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Rozwiazywanie
˛
równań Lapunowa
• X = lyap(A, Q);
A, Q oraz X – macierze kwadratowe nxn:
AX+XA’+Q=0
dla symetrycznego Q mamy symetryczne X.
Upraszczanie
modeli
lyap
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
AX + XA0 + Q = 0
A=[0 1;-1 -1];
Q = [3 1; 1 1];
d = eig(Q)
d =
0.5858
3.4142
X = lyap(A,Q)
X =
4.5000
-1.5000
-1.5000
2.0000
>> eig(X)
ans =
1.2974
5.2026
Upraszczanie
modeli
Gramian sterowalności
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p ze stabilna˛ macierza˛ A
równanie Lapunowa
Wc AT + AWc = −BB T
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
Wc = Wc (A, B)
zwane gramianem sterowalności tej pary (obiektu)
Z ∞
T
Wc :=
eAt BB T eA t dt,
Wc ∈ Rn×n .
0
Gramian sterowalności jest dodatnio określony wtedy i
tylko wtedy, gdy para (A,B) jest sterowalna
Upraszczanie
modeli
MC
Gramian obserwowalności
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n ze stabilna˛ macierza˛ A
równanie Lapunowa
Wo A + AT Wo = −C T C
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
Wo = Wo (A, B)
zwane gramianem obserwowalności tej pary (obiektu)
Z ∞
T
Wo :=
eA t C T CeAt dt,
Wo ∈ Rn×n .
0
Gramian obserwowalności jest dodatnio określony
wtedy i tylko wtedy, gdy para (A,C) jest obserwowalna
Upraszczanie
modeli
gram
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Wyznaczanie gramianów
• Wc = gram(sys1, ’c’);
– sterowalności,
• Wo = gram(sys1, ’o’);
– obserwowalności
dla obiektu dynamicznego opisanego przez strukture˛
sys (realizacje˛ (A,B,C,D) w przestrzeni stanu).
sys1 = ss(A, B, C, D)
D=0
Upraszczanie
modeli
gram
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
sys1 = ss(A, B, C, D)
A=[0 1;-1 -1];
B = [3 1; 1 1]; C=[1 0];
>> rank(ctrb(A,B))
>> sys1 = ss(A,B,C,0);
>> gc = gram(sys1,'c')
gc =
1.2500
-0.1250
-0.1250
0.6250
>> eig(gc)
ans =
0.6009
1.2741
D=0
ans = 2
Upraszczanie
modeli
gram
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
sys1 = ss(A, B, C, D)
A=[0 1;-1 -1];
B = [3 1; 1 1]; C=[1 0];
>> rank(obsv(A,C))
>> sys1 = ss(A,B,C,0);
>> go = gram(sys1,'o')
go =
1.0000
0.5000
0.5000
0.5000
>> eig(go)
ans =
0.1910
1.3090
D=0
ans = 2
Upraszczanie
modeli
Gramiany a stabilność
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p (– para sterowalna):
równanie
XAT + AX = −BB T
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
Z ∞
T
X = Wc (A, B) =
eAt BB T eA t dt > 0
0
m
A jest stabilna.
Upraszczanie
modeli
Gramiany a stabilność
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n (– para obserwowalna):
równanie
XA + AT X = −C T C
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
Z ∞
T
X = Wo (A, C) =
eA t C T CeAt dt
0
m
A jest stabilna.
Upraszczanie
modeli
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Kryteria sterowalności i
obserwowalności
• ∀ (A, B) ∈ Rn×n × Rn×p ze stabilna˛ macierza˛ A:
(A, B) sterowalna
m
gramian sterowalności Wc (A, B) > 0.
• ∀ (A, C) ∈ Rn×n × Rq×n ze stabilna˛ macierza˛ A:
(A, C) obserwowalna
m
gramian obserwowalności Wo (A, Y ) > 0.
Upraszczanie
modeli
MC
Jednoznaczność rozwiazania
˛
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• spectr A ∈ Cn×n = {λi }ni=1 oraz
spectr B ∈ Cm×m = {µi }m
i=1 :
• ∀ A, B oraz C ∈ Cn×m równanie Sylvestera
AX + XB = C
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
X ∈ Cn×n
m
λi + µj 6= 0,
∀i ∈ {1, . . . , n},
∀j ∈ {1, . . . , m}.
Upraszczanie
modeli
MC
Jednoznaczność rozwiazania
˛
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• spectr A ∈ Cn×n = {λi }ni=1 :
• ∀ A oraz C ∈ Cn×n równanie Lapunowa
AX + XAT = C
posiada jednoznaczne rozwiazanie
˛
X ∈ Cn×n
m
λi + λ̄j 6= 0,
∀i, j ∈ {1, . . . , n}.
Upraszczanie
modeli
lyap
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
• Rozwiazywanie
˛
równań Sylvestera
• X = lyap(A, B, C);
A, X – nxn, B – mxm oraz C – nxm:
AX+XB+C=0
Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
Przyjać
˛ zmienne stanu f1 i f2 oraz warunki poczatkowe:
˛
f1 (0) = 1, f2 (0) = 2
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Układ mechaniczny
Upraszczanie
modeli
MC
Przykład 1
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Równania różniczkowe:

 B1 ż1 (t) + B2 ż1 (t) + k1 (z1 (t) − z2 (t)) = 0
k (z (t) − z1 (t)) + k2 (z2 (t) − z3 (t)) = 0
 1 2
k2 (z3 (t) − z2 (t)) + B3 ż3 (t) = 0
f1 (t) = k1 (z1 (t) − z2 (t))
f2 (t) = k2 (z2 (t) − z3 (t))
Upraszczanie
modeli
MC
Przykład 1
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Równania różniczkowe:




f2 (t)
f1 (t)

+k2 B
k1 − B +B



1
2
2 

 ḟ1 = k1 − f1 (t) −


B
+B
k
+k



1
2
1
2



 

f1 (t)
f2 (t)



 k1 − B1 +B2 +k2 B3

f2 (t) 




−
ḟ
=
k
2
2

k
+k
B3 
1
2



Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI

k12
− B +B
1
2

1
 − B k+B
− k1 +k2
1 2
A=

k1 k2

− B +B
1

k1 k2
B2
− k1 +k2
k22
B3
k1 +k2
2
k1 +k2
−
Dla k1 = k2 = k3 = 1, B1 = B3 = 1, B2 = 4
f (0) =
A=
1
2
−0.1000 −0.1250
−0.1000 −0.5000
Czy macierz A jest stabilna?
k2
B3





Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
ode45
2
1.5
f(t)
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
t
60
70
80
90
100
60
70
80
90
100
ode23s
2
1.5
1
f(t)
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
t
Rozwiazanie
˛
wzgledem
˛
czasu
ode45 -> size(T) = 109
ode23s -> size(T) = 58
Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Czy macierz A jest stabilna?
%wartości własne
>> d = eig(A)
-0.0709
-0.5291
% równanie Lapunowa
A=[-0.1000 -0.1250; -0.1000 -0.5000];
d = eig(Q)
0.5858
3.4142
X = lyap(A,Q)
16.7361
-1.3889
-1.3889
1.2778
>> eig(X)
1.1540
16.8599
Q = [3 1; 1 1];
Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Czy system jest obserwowalny dla podanej macierzy
wyjścia C?
C= 1 1
% macierz obserwowalności
>> Mo = obsv(A,C)
1.0000
1.0000
-0.2000
-0.6250
>> rank(Mo)
2
% gramian obserwowalności
sys1=ss(A,[],C,0);
go = gram(sys1,'o')
4.3889
0.6111
0.6111
0.8472
eig(go)
0.7447
4.4914
Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
Wyznaczanie funkcji f(t)
f (t) =
n
X
WiT f (0)eλi t Vi
i=1
W = (V −1 )T
V - macierz modalna
[V,D]=eig(A);
d = diag(D);
W = inv(V)';
a = W(:,1)*f0*V(:,1)
b = W(:,2)*f0*V(:,2)
%T1 - wektor chwil czasu dla których zostało wykonane
%całkowanie równania rózniczkowego np.: ode23s
xx3=zeros(2,size(T1,1));
for k=1:size(T1,1)
xx3(:,k)= a*exp(d(1)*T1(k)) +b*exp(d(2)*T1(k));
end
Upraszczanie
modeli
Przykład 1
MC
Modelowanie
’zdarzeń’:
piłka
ode23s i funkcja analityczna
2
KRYTRIA
STEROWALNOŚCI i
OBSERWOWALNOŚCI
1.5
f(t)
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
t
60
70
Rozwiazanie
˛
wzgledem
˛
czasu
80
90
100