materiały nr 2

Bibliografia:
Aczel A.D., Statystyka w zarządzaniu, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005
Bracha, Cz. (1996), Teoretyczne podstawy metody reprezentacyjnej, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa.
Särndal, C.E., Swensson, B. i Wretman J. (1992), Model Assisted Survey Sampling, SpringerVerlag.
Losowanie warstwowe
Podział populacji przed losowaniem na warstwy przeprowadzany jest w następujących
przypadkach:
•
jeŜeli wyniki badania naleŜy uogólnić najpierw na podpopulacje (np. województwa,
regiony gospodarcze, grupy społeczne), a dopiero potem na całą populację.
•
gdy nie do wszystkich jednostek populacji moŜna zastosować takie same metody
zbierania informacji lub nie moŜna zastosować takiego samego schematu losowania.
•
pewne praktyczne aspekty związane np. z brakiem odpowiedzi, są róŜne w róŜnych
podpopulacjach. Wiadomo ogólnie, iŜ w grupie emerytów odsetek braków odpowiedzi
w większości badaniach ankietowych jest mniejszy niŜ w grupie aktywnie
pracujących. Podobnie, w róŜnych podpopulacjach spotykamy róŜne moŜliwości
posiadania informacji o tak zwanych cechach dodatkowych, które mogą być
wykorzystane do estymacji.
•
jeŜeli będziemy losowali z N-elementowej populacji n-elementową próbę za pomocą
klasycznego losowania prostego bez zwracania (bez podziału na warstwy), to kaŜda z
N
  prób ma takie same szanse wylosowania. MoŜe się zatem zdarzyć, Ŝe próba
n
będzie niereprezentatywna, tzn. taka, w której pewne jednostki nie występują, mimo
Ŝe udział takich jednostek w populacji jest znaczny.
•
warstwowanie populacji przeprowadza się równieŜ, ze względu na precyzję szacunku,
w przypadku, gdy populacja jest niejednorodna ze względu na badaną cechę.
Idea losowania warstwowego. Dzielimy N-elementową populację U = {u1 , u 2 ,..., u N } na H
H
rozłącznych podpopulacji, zwanych warstwami. Mamy więc U = U U h . Liczebność całej
h =1
H
populacji populacji N moŜe być przedstawiona jako N = ∑ N h , gdzie Nh określa liczebność
h =1
h-tej warstwy. Z kaŜdej warstwy Uh losujemy próbę Sh zgodnie z pewnym planem losowania
w taki sposób, Ŝe losowanie w jednej warstwie jest niezaleŜne od losowań w pozostałych
warstwach.
Cała
próba
S
jest
więc
sumą
prób
w
poszczególnych
warstwach
S = S1 ∪ S 2 ∪ ... ∪ S H . Liczebność całej próby n moŜe być zatem przedstawiona jako
H
n = ∑ n h , gdzie nh -liczebność próby w h-tej warstwie.
h =1
Twierdzenie 1
Dla losowania warstwowego, gdzie w warstwach losujemy nh elementowe próby, h=1,2,...,H
zgodnie ze schematem losowania prostego bez zwracania estymator postaci
H
yW = ∑ Wh y Sh ,
h =1
gdzie
y S h - średnia badanej cechy Y z próby Sh pobranej z h-tej warstwy
jest nieobciąŜonym estymatorem średniej badanej cechy w populacji yU , a jego wariancja
wyraŜa się wzorem
2

n h  SU h


D ( yW ) = ∑ W 1 −
,

h =1
 N h  nh
H
2
2
h
gdzie
SU2 h =
1
( y k − yU h ) 2 jest wariancją badanej cechy w h-tej warstwie
∑
N h − 1 k∈U h
Wh =
Nh
- wagi dla h-tej warstwy; iloraz liczebności h-tej warstwy przez liczebność
N
całej populacji
Twierdzenie 2
JeŜeli próba losowana jest w sposób proporcjonalny, tzn. liczebności próby w h-tej warstwie
wynoszą
nh =
Nh
⋅ n = Wh ⋅ n ,
N
gdzie
n- liczebność całej próby,
wówczas estymator warstwowy wartości średniej w całej populacji badanej cechy Y jest
równowaŜny zwykłej średniej z całej próby, tzn. waŜenie jest niepotrzebne, a wariancja tej
średniej wyraŜa się wzorem:
D 2 ( yW
-
n 1 H

2
)
=
1
−

 ∑ Wh SU h .
prop
 N  n h =1
•
Próba reprezentatywna
•
Kiedy i po co zaburza się proporcjonalność?
Brak formalnej definicji w statystyce matematycznej (Neyman: alokacja optymalna
nie jest zazwyczaj alokacją proporcjonalną)
-
Zasępa (1972) próbę reprezentatywną opisywał w sposób następujący: „ Szacując
jakiś parametr populacji na podstawie badania częściowego (wyrywkowego)
uzyskujemy z reguły inny wynik niŜ ten, jaki prawdopodobnie dostalibyśmy z
badania pełnego. JeŜeli róŜnica pomiędzy tymi wynikami mieści się w
dopuszczalnych granicach, mówimy, Ŝe precyzja szacunku (oszacowania) jest
wystarczająca. JeŜeli ponadto moŜemy to samo powiedzieć o szacunkach
wszystkich badanych parametrów populacji, skłonni jesteśmy twierdzić, Ŝe
precyzja próby jest wystarczająca, a samą próbę nazywać reprezentatywną Tego
rodzaju pojęcie reprezentatywności próby jest, rzecz jasna, pojęciem względnym i
zaleŜy od Ŝądań stawianych dopuszczalnej precyzji szacunku.”
-
Często pod pojęciem próby reprezentatywnej mamy na myśli próbę:
o
której struktura ze względu na najwaŜniejsze (wybrane, podstawowe,
badane) cechy statystyczne odpowiada strukturze populacji - próba
„reprezentatywna ze względu na”.
o dobraną w sposób nie prowadzący do powstania błędu systematycznego.
o Dobraną w sposób losowy i o odpowiedniej liczebności.
Przykład (zaczerpnięty z Aczel 2005)
Sondaż opinii publicznej przez Literary Digest w 1936 przed wyborami prezydenckimi. Kandydaci:
o
republikański gubernator stanu Kansas, Alfred M. Landon
o
urzędujący prezydent Franklin Delano Roosvelt.
Próba projektowana: 10 mln osób. Nazwiska wyborców włączone do próby: wzięte z książek
telefonicznych, rejestrów samochodów i spisu prenumeratorów Digest. Próba zbadana: 2,3 mln
osób uprawnionych do głosowania (pomniejszona wskutek braków odpowiedzi).
Według sondażu Digest:
o
gubernator Landon zwycięża w wyborach stosunkiem głosów elektorskich 370 do 161,
o
wygrywa w 32 na 48 stanów
o
licząc głosy wyborców pokonuje Roosvelta w stosunku 4 do 3.
Faktyczne rezultaty wyborów:
Franklin Delano Roosvelt ponownie zostaje wybrany na prezydenta najznaczniejszą większością
głosów, zarówno wyborców, jak i elektorów, od chwili gdy Stany Zjednoczone stały się
niezależnym państwem.
o
Roosvelt wygrywa stosunkiem głosów elektorskich 523 do 8 głosów
o
Landon wygrywa tylko w 2 stanach, Roosvelt w 46.
Alokacja próby między warstwy
Alokacja proporcjonalna
nh =
Nh
⋅ n = Wh ⋅ n
N
Alokacja optymalna
n hopt = n ⋅
Wh S yU h
H
∑Wh S yU h
= n⋅
h =1
N h S yU h
H
∑N
h =1
h
S yU h
Alokacja „optymalna” przy zastosowaniu cechy dodatkowej
ZałóŜmy, Ŝe X jest cechą dodatkową, silnie skorelowaną z Y i odchylenia standardowe S xU h są znane
n hopt X = n ⋅
Wh S xU h
H
∑W S
h =1
h
xU h
= n⋅
N h S xU h
H
∑N
h =1
h
S xU h
Alokacja proporcjonalna do wartości globalnej badanej cechy
Alokacja proporcjonalna do wartości globalnej cechy dodatkowej