Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 9 (2-7.12.2009)
Cechy podzielności liczb
1. Wykazać, że liczba ABCD jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy
suma AB + CD jest podzielna przez 99.
Rozwiązanie. Zauważmy, że
ABCD = AB · 100 + CD = 99 · AB + (AB + CD).
Liczba 99 · AB jest oczywiście podzielna przez 99, stąd liczba ABCD jest podzielna przez 99 wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD dzieli się przez 99.
2. Udowodnić, że liczba trzycyfrowa ABC jest podzielna przez 7, jeżeli
3A + B = 2C.
Rozwiązanie. Jeżeli 3A + B = 2C, to B = 2C − 3A, więc
ABC = 100A + 10B + C = 100A + 10(2C − 3A) + C = 70A + 21C = 7(10A + 3C).
Wówczas liczba ABC dzieli się przez 7.
3. Cecha podzielności liczb naturalnych przez 4.
(a) Liczba naturalna jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy dwucyfrowa końcówka jej zapisu dziesiętnego jest podzielna przez 4.
(b) Liczba dwucyfrowa AB jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba 2A + B dzieli się przez 4.
1
Rozwiązanie.
(a) Liczbę naturalną n możemy przedstawić w postaci 100m + AB, gdzie AB
jest dwucyfrową końcówką, a m – pozostałą częścią zapisu dziesiętnego
liczby n. Oczywiście 100m dzieli się przez 4, więc liczba n jest podzielna
przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba AB jest podzielna przez 4.
(b) Liczbę dwucyfrową AB możemy przedstawić w postaci
AB = 10A + B = 8A + (2A + B).
Widzimy, że liczba 8A jest podzielna przez 4. Zatem AB dzieli się przez 4
wtedy i tylko wtedy, gdy 2A + B dzieli się przez 4.
4. Dana jest liczba naturalna w zapisie dziesiętnym. Odrzucamy ostatnią cyfrę
i od otrzymanej liczby odejmujemy dwukrotność odrzuconej cyfry. Z liczbą
otrzymaną w ten sposób postępujemy analogicznie, i tak dalej, aż uzyskamy
liczbę nie większą od 10. Udowodnić, że liczba dana na początku jest podzielna
przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba otrzymana na końcu jest podzielna
przez 7.
Przykład. n = 5439:
543 − 2 · 9 = 525
52 − 2 · 5 = 42
4−2·2= 0
7 | 0 ⇒ 7 | 5439
Rozwiązanie. Wystarczy wykazać, że jeśli n = 10m + a, gdzie a jest ostatnią
cyfrą, a m – pozostałą częścią zapisu dziesiętnego liczby n, to n dzieli się przez
7 wtedy i tylko wtedy, gdy m − 2a dzieli się przez 7.
Sposób I Jeśli n = 7k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to a = n − 10m = 7k − 10m
i wówczas
m − 2a = m − 2(7k − 10m) = m − 14k + 20m = 21m − 14k = 7(3m − 2k),
co jest podzielne przez 7.
Jeśli m − 2a = 7l, gdzie l jest liczbą całkowitą, to m = 7l + 2a i wówczas
n = 10m + a = 10(7l + 2a) + a = 14l + 21a = 7(2l + 3a),
co też jest podzielne przez 7.
Sposób II Zauważmy, że
2n = 20m + 2a = 21m − (m − 2a).
Skoro 21m dzieli się przez 7, to z powyższej równości wynika, że 2n dzieli się
przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy m − 2a dzieli się przez 7. Wystarczy jeszcze
uwzględnić, że
7 | 2n ⇔ 7 | n.
2
5. Cechy podzielności liczb naturalnych przez 3 i 9.
Liczba naturalna dzieli się przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma cyfr jej zapisu dziesiętnego dzieli się przez 9. Co więcej, suma cyfr zapisu dziesiętnego
daje tę samą resztę przy dzieleniu przez 9 co dana liczba naturalna. Dowód
wykorzystujący kongruencje znajduje się na liście rozwiązań zadań grupy zaawansowanej. Analogiczna własność zachodzi dla liczby 3.
6. Niech A = 44444444 , zaś B jest sumą cyfr liczby A, C jest sumą cyfr liczby B
i D jest sumą cyfr liczby C. Ile wynosi D?
Rozwiązanie tego zadania znajduje się na liście rozwiązań zadań grupy zaawansowanej.
7. Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne
przez 7?
Odpowiedź. Istnieją, np. 69999 o sumie cyfr równej 42 i 70000 o sumie cyfr
równej 7.
8. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby
12 + 22 + 32 + . . . + 20092.
Rozwiązanie. Obliczmy najpierw
12 + 22 + . . . + 92 = (1 + 9) + (4 + 16) + (36 + 64) + (49 + 81) + 25 = 285.
Zatem
12 + 22 + . . . + 92 + 102 ≡ 85 (mod 100)
112 + 122 + . . . + 192 + 202 ≡ 85 (mod 100)
..
.
912 + 922 + . . . + 992 + 1002 ≡ 85 (mod 100),
co po dodaniu daje
12 + 22 + . . . + 992 + 1002 ≡ 850 ≡ 50
(mod 100).
Wówczas
12 + 22 + . . . + 992 + 1002 ≡ 85
(mod 100)
1012 + 1022 + . . . + 1992 + 2002 ≡ 85 (mod 100)
2012 + 2022 + . . . + 2992 + 3002 ≡ 85 (mod 100)
..
.
19012 + 19022 + . . . + 19992 + 20002 ≡ 85 (mod 100),
co po dodaniu daje
12 + 22 + . . . + 19992 + 20002 ≡ 20 · 85 ≡ 0
(mod 100).
Ostatecznie
12 +22 +. . .+20092 ≡ 20012 +20022 +. . .+20092 ≡ 12 +22 +. . .+92 ≡ 85 (mod 100).
3