Zapisz jako PDF

W dotychczasowych naszych rozważaniach ośrodek w którym rozchodzą się fale traktowaliśmy jako
ośrodek ciągły, tzn. rozpatrywaliśmy przypadek gdy długość fali jest dużo większa niż nieciągłość
ośrodka wynikająca z jego „ziarnistej” — atomowej budowy. Jeśli np. rozpatrujemy rozchodzenie się
fal elastycznych o dużej częstotliwości w kryształach, to nieciągłości ośrodka nie można zaniedbać.
Kryształy są zbudowane z atomów, które są rozmieszczone w przestrzeni w regularny, periodyczny
sposób. Wiele własności drgań atomów w kryształach dobrze można opisać w sposób klasyczny
traktując kryształ jako zbiór mas połączonych sprężynkami. Na początek poszukajmy związku
dyspersyjnego dla jednowymiarowego nieskończonego łańcucha jednakowych mas m, odległych w
stanie równowagi o a i połączonych jednakowymi sprężynkami o stałej sprężystości α (patrz rysunek
Figure 1).
Schemat układu
jednakowych mas.
Wychylenie n-tej masy z położenia równowagi oznaczamy
. Dla n-tej masy możemy napisać
równanie ruchu uwzględniające siły harmoniczne działające na tę masę a pochodzące od mas
sąsiednich:
.
Oczywiście analogiczne równania możemy wypisać dla każdej masy i otrzymamy nieskończony układ
równań. Rozwiązań równań poszukujemy w postaci fal biegnących (w zapisie zespolonym):
. Po podstawieniu postulowanego rozwiązania do równania łatwo znajdujemy
związek dyspersyjny:
.
Otrzymaliśmy nieliniową zależność częstości kołowej od wartości wektora falowego (patrz rysunek
II.6.2) oraz prędkość fazową zależną od długości fali:
.
Zwróćmy uwagę, że dla małych wartości k, a więc dla dużych wartości długości fali, sinus możemy
rozwinąć w szereg i wówczas otrzymamy liniowy związek dyspersyjny, tak jak dla fal dźwiękowych.
Prędkość rozchodzenia się fali o dużych długościach (a więc gdy
) jest wówczas taka sama jak
dla struny:
.
Ze względu na to, ze rozpatrywany nieskończony układ mas jest periodyczny, wartości wektora
falowego ograniczyliśmy do wartości
. Wartości tej odpowiada najmniejsza możliwa długość
fali biegnącej w układzie:
. Ta najmniejsza wartość jest zrozumiała, bo odpowiada
sytuacji drgań, że najbliżsi sąsiedzi zbliżają się i oddalają od siebie.
Zależność dyspersyjna dla
nieskończonego łańcucha
identycznych mas.
Prędkość fazowa dla fali
rozchodzącej się w
nieskończonym łańcuchu
mas.
W fizyce ciała stałego drgania elastyczne atomów sieci nazywane są fononami. Rodzaj drgań
otrzymanych dla rozpatrywanego przypadku nazywany jest fononami akustycznymi.
Układ dwóch rodzajów
mas.
Przejdźmy teraz do układu pokazanego na rysunku Figure 4, tj. układu dwóch rodzajów mas: m i M
połączonych takimi samymi sprężynkami o stałej sprężystości α. W tym przypadku otrzymujemy
układ równań:
,
.
Ponieważ mamy dwa rodzaje mas, to postulujemy następujące rozwiązania w postaci fal biegnących:
,
.
Po podstawieniu do równań łatwo otrzymujemy dwa rozwiązania (patrz rysunek: Figure 5)
Zależność dyspersyjna dla
nieskończonego łańcucha
dwóch rodzajów mas.
Fakt, że układ składa się z dwóch rodzajów mas spowodował, ze otrzymaliśmy dwie gałęzie
zależności częstości od wartości wektora falowego. Dolna gałąź odpowiada drganiom, które w fizyce
ciała stałego są nazywane fononami akustycznymi a górna gałąź fononami optycznymi. Dla
„prawdziwego” kryształu tj. kryształu w trzech wymiarach oprócz rozważanych drgań podłużnych
należy uwzględnić również drgania poprzeczne, które są nazywane fononami poprzecznymi. W
przypadku kryształów zbudowanych z co najmniej dwóch różnych rodzajów atomów (tzw. baza jest
co najmniej dwu atomowa) podczas drgań poprzecznych (fonony poprzeczne) opisanych górną
gałęzią indukowany jest moment dipolowy, dzięki czemu ten rodzaj drgań może oddziaływać z falą
elektromagnetyczną. Dlatego gałąź ta jest nazywana fononami optycznymi.