Lagrange 199

ELEKTRYKA
Zeszyt 3 (211)
2009
Rok LV
Marcin POŁOMSKI
Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach
METODA NON-INTERIOR-POINT W OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU
MOCY W SYSTEMIE ELEKTROENERGETYCZNYM
Streszczenie. W artykule zaproponowany został wariant metody optymalizacji noninterior-point w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy (OPF)
w systemie elektroenergetycznym. Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla
wybranych testowych systemów elektroenergetycznych, w tym dla modelu polskiego
systemu elektroenergetycznego. Uzyskane eksperymentalnie wyniki potwierdzają
zasadność wprowadzonych modyfikacji, szczególnie dla dużych systemów.
Słowa kluczowe: system elektroenergetyczny, optymalizacja rozpływu mocy, metoda non-interiorpoint, metody komplementarne
OPTIMAL POWER FLOW BY NON-INTERIOR-POINT METHOD
Summary. In the paper a variant of non-interior point method algorithm for solving
the nonlinear optimal power flow problem (OPF) is proposed. The OPF problem
optimality conditions
can be regarded as a particular case of the nonlinear
complementarity problem (NCP), in which the complementarity conditions are handled
by Chen-Harker-Kanzow-Smale smoothing functions (NCP-functions). The presented
method was experimentally verified by applying it to various test power systems
including the Polish power system. The obtained results confirm that the new variant
is appropriate for optimising large power systems.
Keywords: power system, optimal power flow, non-interior-point method, complementarity methods
1. WPROWADZENIE
Zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym (ang. Optimal
Power Flow) polega na poszukiwaniu takiego punktu pracy systemu (doborze mocy generowanych w węzłach wytwórczych), który jest optymalny z punktu widzenia kosztów wytwarzania i strat wynikających z przesyłu energii. Historycznie, pierwszą metodą pozwalającą
na wyznaczenie optymalnego rozpływu mocy w rzeczywistym systemie elektroenergetycz-
120
M. Połomski
nym była metoda gradientowa zaproponowana przez Dommela i Tinneya w pracy [1].
Opisana metoda stała się pierwowzorem udoskonalanym przez innych autorów.
Nie istnieje jedna prosta metoda prowadząca do rozwiązania zadania OPF, szczególnie
w zastosowaniu do rzeczywistego systemu elektroenergetycznego, w którym ze względu
na dużą liczbę elementów (węzłów i linii) układ równań, stanowiący podstawę procesu
obliczeniowego, może osiągać bardzo duże rozmiary. Zostało opracowanych wiele metod
wykorzystujących najróżnorodniejsze techniki optymalizacji, z których można wymienić:
techniki programowania nieliniowego, programowania liniowego, programowania kwadratowego, techniki bazujące na metodzie Newtona. W publikacjach [2], [3], [4] zostały zebrane
i sklasyfikowane metody wykorzystywane na przestrzeni lat do rozwiązania zadania OPF.
Dla systemu, którego rozmiary porównywalne są z rozmiarami rzeczywistego systemu
elektroenergetycznego, uzasadnione jest poszukiwanie metody wydajnej, prowadzącej
do osiągnięcia poprawnego rozwiązania w możliwie krótkim czasie. Wśród szerokiej gamy
technik optymalizacji, w ostatnich latach, szczególne zainteresowanie skupia się wokół metod
klasy interior-point [5], [6], [7] oraz non-interior-point [19], [20].
Warunki optymalności zadania optymalnego rozpływu mocy, sformułowane jako
warunki Karusha-Kuhna-Tuckera (KKT) [8], mogą zostać potraktowane jako pewien
szczególny przypadek nieliniowego problemu komplementarnego [19] (ang. nonlinear
complementarity problem). Zastosowanie funkcji wygładzających [15], [16] dla warunków
komplementarnych zadania wpływa na brak konieczności spełnienia warunku
komplementarnego dla warunków optymalności zadania w sensie KKT, co w znacznym
stopniu wpływa na dowolność wyboru punktu startowego algorytmu optymalizacji rozpływu
mocy, a w procesie iteracyjnym prowadzi do poprawnego rozwiązania [20].
W artykule zaproponowany został wariant metody optymalizacji non-interior-point
w zastosowaniu do zadania optymalizacji rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym.
Opisana metoda została sprawdzona numerycznie dla wybranych testowych systemów
elektroenergetycznych. Eksperyment numeryczny przeprowadzono w celu określenia przydatności algorytmu non-interior-point do optymalizacji rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym. Wyniki uzyskano przy użyciu autorskiego programu stworzonego w języku C++.
2. ZADANIE OPTYMALIZACJI ROZPŁYWU MOCY W SYSTEMIE
ELEKTROENERGETYCZNYM
Poszukiwanie optymalnego rozpływu mocy w systemie elektroenergetycznym polega
na poszukiwaniu minimum funkcji celu f(x) (np. minimalne straty, minimalne koszty wytwarzania, minimalne koszty przesyłowe).
Jeżeli funkcję celu w zadaniu optymalizacji rozpływu mocy sformułuje się jako zadanie
minimalizacji kosztów wytwarzania energii, to biorąc pod uwagę założenie [9], że każde
Metoda non-interior-point…
121
źródło ma charakterystykę kosztów wytwarzania, którą z pewnym przybliżeniem można
aproksymować krzywą drugiego stopnia, to funkcja celu, sformułowana jako całkowity koszt
wytwarzania energii w systemie, przyjmie postać:
Ng

 
f  x    ai Pi  g 
i 1
gdzie:
Pi(g)
Ng
ai, bi, ci
2

 bi Pi  g   ci ,
(1)
- moc czynna generowana przez jednostkę wytwórczą i,
- liczba węzłów wytwórczych,
- współczynniki charakterystyki kosztów wytwarzania i-tego węzła
wytwórczego.
W obliczeniach optymalizacyjnych wektor zmiennych sterujących x stanowią wszystkie
napięcia skuteczne węzłowe
U  x U   [U1 ,U 2 ,...,U N w ]T  [U1 ,U 2 ,...,U No ,U No 1 ,U No  2 ,...,U No  N g ]T ,
(2)
ich kąty fazowe
φ  x    [1 , 2 ,...,  Nw ]T  [1 , 2 ,...,  No ,  No 1 ,  No  2 ,...,  No  N g ]T ,
(3)
oraz moce czynne generowane w węzłach wytwórczych systemu
Pg  x
 Pg 
 [ PN(og)1 , PN(og) 2 ,..., PN(og) N g ]T ,
(4)
gdzie:
Nw
- liczba węzłów w systemie Nw = No + Ng,
No
- liczba węzłów odbiorczych,
Ng
- liczba węzłów wytwórczych (generatorów).
Stąd pełny wektor x przyjmuje postać:
 x   


x   x U    [1 , 2 ,...,  Nw ,U1 ,U 2 ,..., U Nw , PN( og)1 , PN( og) 2 ,..., PN( og) N g ]T ,
  Pg  
 x 
(5)
gdzie:
Nw
No
Ng
- liczba węzłów w systemie Nw = No + Ng,
- liczba węzłów odbiorczych,
- liczba węzłów wytwórczych (generatorów).
W zadaniu optymalizacji rozpływu mocy minimum funkcji celu poszukuje się w obszarze
ograniczeń równościowych. Jako ograniczenia równościowe przyjmuje się bilanse mocy
czynnej i biernej w węzłach odbiorczych oraz bilanse mocy czynnej w węzłach wytwór-
M. Połomski
122
czych [9]. Stąd, dla sformułowanego zadania minimalizacji funkcji f(x), ograniczenia równościowe można zapisać w postaci wektorowej:
 h Po  ( x ) 


P 
h  x    h g ( x)   0 .
 Q  
h o ( x)


(6)
Składowe wektora h(x) przyjmują postać:
i  No


Nw
 Po 
2

h  x    Poi  U i Re{Y i ,i }  U i U j  cos(i   j ) Re{Y i , j }  sin(i   j ) Im{Y i , j }
, (7)


j 1
j i

 i 1

P 
h g  x    PN(og) i  Po , No i  U N2 o i Re{Y No i , No i } 

i Ng
(8)

U No i  U j cos( No i   j ) Re{Y No i , j }  sin( No i   j ) Im{Y No i , j } 
,

j 1
 i 1
j  No  i
Nw


i  No


Nw
 Qo 
2

h  x   Qoi  U i Im{Y i ,i }  U i U j  sin(i   j ) Re{Y i , j }  cos(i   j ) Im{Y i , j }
, (9)


j 1
j i

 i 1
gdzie:
h(Po)(x)
- wektor ograniczeń równościowych o składowych w postaci bilansu mocy
czynnej w węzłach odbiorczych,
- wektor ograniczeń równościowych o składowych w postaci bilansu mocy
czynnej w węzłach wytwórczych,
(Qo)
h (x) - wektor ograniczeń równościowych o składowych w postaci bilansu mocy
biernej w węzłach odbiorczych,
Yi,j
- elementy macierzy admitancyjnej systemu elektroenergetycznego.
h(Pg)(x)
Punkt pracy systemu wyznaczony w procesie optymalizacji nie powinien również naruszać ograniczeń technicznych systemu elektroenergetycznego. Ograniczenia techniczne obejmują dopuszczalne wartości:
 skutecznych napięć węzłowych: U k(min)  U k  U k(max) dla k = 1, 2, ..., Nw,
(10)
 mocy czynnej jednostek wytwórczych: Pk(min)  Pk( g )  Pk(max) dla k = 1, 2,..., Ng,
(11)
 mocy biernej jednostek wytwórczych: Qk(min)  Qk( g )  Qk(max) dla k = 1, 2,..., Ng,
(12)
Qi( g ) ( x )  Qo, No i  U N2 o i Im{Y No i , No i } 
 U No  i
Nw

j 1
j  i  No


U j sin( No i   j ) Re{Y No i , j }  cos( No i   j ) Im{Y No i , j } , (13)
Metoda non-interior-point…

123
prądów skutecznych w liniach przesyłowych: Ii  x   Ii(max) dla i = 1, 2,..., Nl,
Ii  x   U K21 (i )  U K2 2 (i )  2U K1 (i )U K2 (i ) cos(K1 (i )   K2 (i ) )YK1 (i ), K2 (i ) ,
(14)
(15)
gdzie:
Nl
- liczba linii w systemie,
K1(i)
- numer węzła początkowego linii i,
K2(i)
- numer węzła końcowego linii i,
Yi,j
- moduł admitancji zespolonej podłużnej linii między węzłami i i j.
Dla sformułowanego zadania minimalizacji funkcji f(x) ograniczenia nierównościowe,
wynikające z ograniczeń technicznych systemu, można zapisać w następującej postaci
g(min)  g( x)  g(max) ,
(16)
tj. jako ograniczenia dolne
 g  Pg  ( x )   g (min) Pg  ( x ) 

 

 g Qg  ( x )   g (min)Qg  ( x ) 


 0
 g U  ( x )   g (min)U  ( x ) 
 (I )
 

0
 g ( x)  

(17)
 g (max) Pg  ( x )   g  Pg  ( x ) 

 

 g (max)Qg  ( x )   g Qg  ( x ) 
(g)
(max)
g  x  g
 g  x  

  0,
 g (max)U  ( x )   g U  ( x ) 
 (max) I 
 

( x )   g  I  ( x ) 
 g
(18)
g ( d )  x   g  x   g (min)
oraz jako ograniczenia górne
przy czym
g U  ( x )  [ xNw  k ]kk 1Nw  [U k ]kk 1Nw
k N
k N
P 
g g ( x)  [ x2 Nw k ]k 1 g  [ Pk ]k 1 g
k N
Q 
g g ( x)  [Qk ( x)]k 1 g
(19)
g  I  ( x )  [ I k ]kk 1Nl
oraz
g (min)U   [U k(min) ]kk 1Nw
g
g
 
(min) Pg
 
(min) Qg
(min) k  N g
k
k 1
 [P
]
k N
 [Qk(min) ]k 1 g
g (max)U   [U k(max) ]kk 1Nw
g
g
 
 [ Pk(max) ]k 1 g
 
 [Qk(max) ]k 1 g
(max) Pg
(max) Qg
k N
k N
g (max) I   [ I k(max) ]kk 1Nl
(20)
M. Połomski
124
Przy tak przyjętych założeniach co do postaci funkcji celu oraz wektorów ograniczeń
równościowych i nierównościowych, zadanie optymalizacji rozpływu mocy w systemie
elektroenergetycznym można zapisać w postaci standardowej:
min f ( x ) ,
x
hk ( x)  0 k = 1, 2,..., Nh ,
gk ( x)  gk(min)  0 k = 1, 2,..., Ng(d),
gk(max)  gk ( x)  0 k = 1, 2,..., Ng(g),
gdzie:
Nh
- liczba ograniczeń równościowych,
(d)
Ng
- liczba ograniczeń nierównościowych dolnych,
(g)
Ng
- liczba ograniczeń nierównościowych górnych,
lub w zapisie wektorowym:
min f ( x ) ,
x
h( x )  0 ,
g( d ) ( x)  g( x)  g(min)  0 ,
(21)
g( g ) ( x)  g(max)  g( x)  0 .
Powyższe zadanie optymalizacji należy do grupy zadań programowania nieliniowego,
gdyż zarówno funkcja celu, jak i funkcje ograniczeń równościowych i nierównościowych są
funkcjami nieliniowymi.
3. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE’A Z WARUNKAMI
KARUSHA-KUHNA-TUCKERA
Zgodnie z warunkami optymalności Karush-Kuhna-Tuckera (KKT) [8] dla zagadnienia
(21) z wektorem ograniczeń równościowych (6), wektorem ograniczeń nierównościowych
dolnych (17) i górnych (18) istnieją wektory mnożników Lagrange’a:
λ  [i ]ii 1Nh
dla k = 1, 2, ..., Nh,
π  d   [ i( d ) ]i 1 g
dla k = 1, 2, ..., Ng(d),
π  g   [ i( g ) ]i 1 g
dla k = 1, 2, ..., Ng(g),
iN (d )
iN ( g )
(22)
Metoda non-interior-point…
125
gdzie:

- wektor mnożników Lagrange’a dla ograniczeń równościowych,
(d)
- wektor mnożników Lagrange’a dla ograniczeń nierównościowych dolnych,
(g)
- wektor mnożników Lagrange’a dla ograniczeń nierównościowych górnych,
Nh
- liczba ograniczeń równościowych,
(d)
Ng
Ng(g)
- liczba ograniczeń nierównościowych dolnych,
- ograniczeń nierównościowych górnych
oraz zachodzą następujące zależności:

 
d  T (d )
g T (g)

  λT h( x )   (π ) g ( x )  (π ) g ( x )

f
(
x
)




 x
x
x
x
d   g 

r (π , π , x, λ) 
h( x )

(d ) (d )
Π g ( x)


Π ( g ) g ( g ) ( x)

 

  0,




(23)
gdzie: Π ( d )  diag(π( d ) ) , Π ( g )  diag(π( g ) ) .
Rozwiązanie
układu
równań
nieliniowych
(23)
ze
względu
na
zmienne
y = [(d), (g), x, ]T pozwoliłoby na otrzymanie rozwiązania zadania optymalizacji (21) za pomocą warunków KKT. Istnieją w układzie równań nieliniowych (23) równania o postaciach:
k N(d )
Π ( d ) g ( d ) ( x )  [ k( d ) ( g k ( x )  g k(min) )]k 1 g  0
(24)
oraz
k N(d )
Π ( d ) g ( d ) ( x )  [ k( d ) ( g k ( x )  g k(min) )]k 1 g  0 ,
(25)
które mogą spowodować pewne problemy w procesie iteracyjnym Newtona. Mianowicie, biorąc pod uwagę równanie (25), zgodnie z metodą Newtona, zmiany k(d), xk zmiennych
odpowiednio k(d) oraz xk spełniają równanie
gk ( x)
x j [ gk ( x)  gk(min) ] k( d )   k( d ) [ gk ( x)  gk(min) ] .

x
j 1
j
Nx
 k( d ) 
(26)
Jeżeli zatem zmienna k(d) stanie się zerem, wówczas na mocy równania (26)
[gk(x) - gk(min)]k(d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie
ulega zmianie.
Mając na uwadze konstrukcję efektywnych algorytmów obliczeniowych, wprowadza się
na wstępie dodatkowe zmienne uzupełniające z(d) i z(g).
k  N ( dg)
z ( d )  [ zk( d ) ]k 1
k  N ( gg)
z ( g )  [ zk( g ) ]k 1
,
(27)
.
(28)
M. Połomski
126
Po wstawieniu dodatkowych zmiennych uzupełniających ograniczenia nierównościowe
sprowadza się do postaci ograniczeń równościowych.
z ( d )  g( x)  g(min) ,
(29)
z( g )  g(max)  g( x) .
(30)
Po wprowadzeniu zmiennych dodatkowych zadanie obliczenia minimum funkcji f(x) (1),
z ograniczeniami (6), (17), (18) sprowadza się do postaci zadania programowania nieliniowego z ograniczeniami równościowymi:
min f ( x ) ,
x
h( x )  0 ,
g( d ) ( x, z ( d ) )  g( x)  g(min)  z (d )  0 ,
(31)
g( g ) ( x, z ( g ) )  g(max)  g( x)  z ( g )  0 ,
z(d ) , z( g )  0 .
Dla tak zdefiniowanego problemu (31) zadanie optymalizacji sprowadza się do rozwiązania następującego układu równań nieliniowych:
r ( z ( d ) , z ( g ) , π d  , π g  , x, λ) =

Π (d ) z(d )

Π (g) z(g )


 g ( d ) ( x, z ( d ) )

 g ( g ) ( x, z ( g ) )


d  T (d )
g T (g)
(d )
(g)
T
 f ( x )   λ h( x )   (π ) g ( x, z )  (π ) g ( x, z )



 x
x
x
x

h( x )


 






,
 0





(32)
gdzie:
k N(d )
Π ( d ) z ( d )  [ k( d ) zk( d ) ]k 1 g  0 ,
(33)
k N( g )
Π ( g ) z ( g )  [ k( g ) zk( g ) ]k 1 g  0 ,
(34)
k N(d )
g ( d ) ( x, z ( d ) )  [ g k( d ) ( x )  zk( d )  g k(min) ]k 1 g ,
(35)
k N( g )
g ( g ) ( x, z ( g ) )  [ g k( g ) ( x )  zk( g )  g k(max) ]k 1 g ,

(36)
 

d  T (d )
g T (g)
(d )
(g)
T
f ( x )   λ h( x )   (π ) g ( x, z )  (π ) g ( x, z )




x
x
x
x
k Nx
(d )
(g)
 f ( x ) Nh h N g ( d ) g ( d ) ( x, z ( d ) ) N g ( g ) g ( g ) ( x, z ( g ) ) 
i
i

  i i    i
  i
 0,


x

x

x
xk
i 1
i 1
i 1
k
k
 k

k 1
(37)
Metoda non-interior-point…
127
h( x)  [hk ]kk 1Nh  0 .
(38)
Rozwiązanie układu równań nieliniowych (32) w procesie iteracyjnym Newtona może
spowodować problemy ze zbieżnością, wynikające z równań (33) oraz (34), które noszą
nazwę warunków komplementarnych (ang. complementarity conditions):
 k( d ) zk( d )  0
dla k = 1, 2,..., Ng(d),
(39)
 k( g ) zk( g )  0
dla k = 1, 2,..., Ng(d).
(40)
Istotnie, biorąc pod uwagę równanie (39), zgodnie z metodą Newtona, zmiany k(d),
zk(d) zmiennych odpowiednio k(d), zk(d) spełniają równanie:
 k( d ) zk(d )  zk(d )  k( d )   k( d ) zk( d ) dla k = 1, 2,..., Ng(d).
(41)
Jeśli więc np. zmienna k(d) przyjmie wartość zero, wówczas na mocy równania (41)
zk(d)k(d) = 0, co powoduje, że w procesie iteracyjnym Newtona zmienna ta nie ulega
zmianie.
4. METODY KOMPLEMENTARNE
Warunki optymalności zadania optymalnego rozpływu mocy mogą zostać potraktowane
jako pewien szczególny przypadek nieliniowego problemu komplementarnego (ang. nonlinear complementarity problem, NCP).
Nieliniowy problem komplementarny NCP [10], [11], [13], [14] polega na rozwiązaniu
układu równań nieliniowych względem zmiennej , RN:
Π z 0,
F (π )  z  0 ,
(42)
π  0, z  0 ,
gdzie:
Π  diag(π) , π  [ k ]kk 1N , z  [ zk ]kk 1N , k  0, zk  0, dla k = 1, 2,...,N. F: RN RN, jest
wektorem funkcji różniczkowalnych, których pochodne są funkcjami ciągłymi.
Liniowy problem komplementarny LCP (ang. linear complementarity problem) [15],
[16], [17], zdefiniowany jest w sposób następujący. Dla zadanego MRNxN i qRN, znaleźć
RN, zRN, dla których spełnione są warunki:
Π z 0,
Mπ  q  z ,
π  0, z  0 ,
(43)
M. Połomski
128
gdzie:
Π  diag (π ) , π  [ k ]kk 1N , z  [ zk ]kk 1N , k  0, zk  0, dla k = 1, 2,...,N.
Układ równań (32) wynikający z warunków KKT nie przyjmuje bezpośredniej postaci
problemu NCP. Funkcja wektorowa F() występująca w układzie równań (42) dla przypadku
opisanego równaniem (32) nie ma postaci jawnej, więc nie można w sposób bezpośredni
interpretować problemu zdefiniowanego równaniami (32), jako problemu NCP lub LCP.
Można jednak zastosować koncepcję wprowadzoną przez Kanzowa [15].
Modyfikacja problemu komplementarnego zaproponowana m.in. przez Kanzowa w pracy
[15] oraz innych autorów [18], [16] polega na wprowadzeniu w miejsce warunków komplementarnych, na które składają się równania
Π z0
oraz
π  0, z  0 ,
w układach równań (42) oraz (43), pewnej funkcji : R2  R o następujących własnościach:
 ( x, y)  0  x  0, y  0, xy  0 .
(44)
Funkcja typu : R2  R, dla której spełnione są warunki (44), nazywana jest NCP-funkcją
[11], [18].
Koncepcja Kanzowa zaprezentowana w pracy [12] polega na zastosowaniu funkcji
wygładzającej Chena-Harkera-Kanzowa-Smalea z parametrem   0,
 ( , z)    z  (  z)2  4 2 ,
(45)
 ( , z)  0    0, z  0,  z   .
(46)
o własności
Metoda punktu zewnętrznego (ang. non-interior point) [12] dla problemu NCP według
Kanzowa sprowadza problem rozwiązania układu (42) do rozwiązania równoważnego układu
równań nieliniowych:
 Φ (π, z ) 
FΦ (π, z )   
  0,
 F (π )  z 
(47)
  (1 , z1 ) 


Φ (π, z )  
.
 ( N , zN ) 


(48)
gdzie
Zostało wykazane [21], że nieliniowy układ równań (47) rozwiązywany jest sekwencyjnie dla   0, co zgodnie z (46) implikuje, że układ równań (47) zmierza do rozwiązania
układu (42).
Metoda non-interior-point…
129
Koncepcję zaproponowaną dla problemu komplementarnego, według Kanzowa, można
zastosować do warunków komplementarnych w układzie równań (32) [19], [20], otrzymując:
r ( z ( d ) , z ( g ) , π d  , π g  , x, λ,  )  r ( y,  ) 

Φ (π ( d ) , z ( d ) )

Φ (π ( g ) , z ( g ) )


 g ( d ) ( x, z ( d ) )

 g ( g ) ( x, z ( g ) )


d  T (d )
g T (g)
(d )
(g)
T
 f ( x )   λ h( x )   (π ) g ( x, z )  (π ) g ( x, z )


 x 
x
x
x

h( x )


 






  0.





(49)
Zgodnie z algorytmem metody Newtona, w każdym kroku iteracyjnym poprawkę rozwiązania równań nieliniowych (49) wyznacza się rozwiązując następujący układ równań
algebraicznych
 y r  y,    y  r  y,   ,
(50)
gdzie:
y – poprawka wektora y,
co odpowiada rozwiązaniu układu równań:
  z d  
D

 0
 1

 0

 0
 0

   
d
0
D
 z  
0
g
D
0
   
g
0
1
0
0
0
D
0
0
 x g  x 
0
0
 x g  x 
x g  x
0
0
x g  x
0
T
T
 2x L
 x h  x 


d 
  z 

0
 z  g  
  π  d  
0
,
   g     r ( y,  )

π


0

 x 
T
 x h  x    λ 

0

0
(51)
w którym
 z    diag  2   d  , z d   k  N ,
   k k 
(52)
 z    diag   2   g  , z g   k  N ,
   k k 
(53)
     diag  1   d  , zd   k  N ,
D
   k k 
(54)
     diag  1   g  , z g   k  N ,
D
   k k 
(55)
d 
g
d
D
k 1
g
g
g
D
k 1
d 
g
d
k 1
g
g
g
k 1
M. Połomski
130
k N( g )
g
l Nx
 g  x  
x g  x    k

 xl lk11
,
(56)
k  Nh
 hk  x   l  N x
xh x  
,

 xl  lk11
  L  x  
 f  x    λ h  x 
 L  




x 2
x 2
 xk xl  k ,l 1
k ,l  N x
2
2
2
T

(57)
 πd 
2
x

T
x 2
g  x
    π
g

T
x 2
g  x
 , (58)
gdzie:
r ( z ( d ) , z ( g ) , π d  , π g  , x, λ,  )  r ( y,  ) , y  [ z ( d ) , z ( g ) , π d  , π g  , x, λ]T ,
xg(x)
- jakobian ograniczeń nierównościowych,
xh(x)
- jakobian ograniczeń nierównościowych,
 2x L ( x ) - hesjan zmodyfikowanej funkcji Lagrange’a,
1  , z  
 2  , z  
  , z 

  , z 
z
,
.
Rozwiązanie układu równań (51) prowadzi do wyznaczenia poprawki y wektora y,
którego nową wartość wyznacza się zgodnie z równaniem:
y( k 1)  y( k )   ( k ) y( k ) ,
gdzie:
k
(59)
– numer iteracji,
(k) – długość kroku w kierunku wektora y(k).
Ponieważ układ równań (49) nie ma bezpośredniej postaci problemu NCP (42), autorzy
publikacji [20] Torres i Quintana zaadaptowali algorytm zaproponowany przez J. Burke,
S. Xu [18], dla liniowych problemów komplementarnych, w którym długość kroku (k) można
określić stosując liniowe przeszukiwanie w kierunku wektora y(k), badając normę wektora
r(y, ) w następujący sposób:
 ( k )  max 1s : 1  (0,1); s  1, 2,...; 1  (0,1);
r ( y ( k )  1s y ( k ) ,  )  (1  11s ) r ( y ( k ) ,  ) ,

gdzie:
s – indeks elementu ciągu ,
 – parametr wyszukiwania.
(60)
Metoda non-interior-point…
131
Dobór parametru barierowego (k) dla k-tej iteracji przyjęli następująco:
 ( k 1)  max  (1   2 2s )  ( k ) :  2  (0,1); s  0,1, 2...;  2  (0,1);
 2s

r ( y (0) ,  (0) )
;  (0)  0;
(61)

( k 1)
s
r ( y , (1   2 2 )  ( k ) )   (1   2 2s )  ( k ) .
(0)

Dla tak heurystycznie określonego algorytmu autorzy Torres i Quintana nie podają dowodu zbieżności takiego procesu iteracyjnego, lecz potwierdzają eksperymentalnie jego zbieżność dla testowych systemów elektroenergetycznych.
5. ALGORYTM METODY NON-INTERIOR POINT
W celu wykazania poprawności działania metody zaproponowanej przez Torresa
i Quintanę [20] przeprowadzono testy numeryczne tej koncepcji, w wyniku których zaobserwowano problemy ze zbieżnością dla dużych systemów testowych (o liczbie węzłów powyżej
2700). W związku z tym faktem dokonano modyfikacji metody polegającej na wyznaczaniu
długości kroku (k) oraz parametru (k) w k-tej iteracji, tak jak w metodzie punktu zewnętrznego dla liniowego problemu komplementarnego (praca Burke J., Xu S. [17]), tj. zamiast
uwzględniać normę
r ( y(k ) ,  )
wektora (49) we wzorach (60), (61), zaproponowano
uwzględnić tylko normę części komplementarnej wektora r(y, ), tj.:
Φ (π ( d ) , z ( d ) ) 
Φ ( y,  )    ( g ) ( g )  .
Φ (π , z ) 
(62)
Do badania zbieżności procesu iteracyjnego dla warunków komplementarnych przyjmuje się
normę kwadratową wektora (62).
Długość kroku (k) wyznaczona została poprzez liniowe przeszukiwanie w kierunku wektora
y(k), badając jedynie normę warunków komplementarnych wektora r(y, ), tj. w następujący
sposób:



 ( k )  max 1s : Φ y k   1s y ( k ) ,   1  1s  Φ y k  , 

(63)
Wartość parametru barierowego (k) w k-tej iteracji została wyznaczona zgodnie ze wzorem:
 ( k 1)  0  ( k ) ,
gdzie:
0 – współczynnik indeks elementu ciągu .
(64)
M. Połomski
132
Poszczególne kroki algorytmu zaproponowanego wariantu metody non-interior point zostały
przedstawione poniżej.
Algorytm 1
Zaproponowany wariant metody non-interior point dla zadania OPF
Krok 0:
Inicjalizacja algorytmu. Ustalenie wartości początkowych: y(0) = [z(0), (0), x(0), (0)]T,
wybór 0(0,1), (0), 1(0,1),  > 0. Ustalenie licznika iteracji k = 0.
Krok 1:
Obliczenie y(k) = [z(k), (k), x(k), (k)]T z układu równań (50).
Krok 2:
Jeżeli Φ ( y ( k ) ,  ( k ) )   , koniec obliczeń.
Krok 3:
Obliczenie długości kroku  (k) poprzez liniowe przeszukiwanie w kierunku wektora y(k).
Wyznaczenie nowej wartości wektora y( k 1)  y( k )   ( k ) y( k ) .
Krok 4:
Modyfikacja parametru (k) (64). Zwiększenie licznika iteracji k = k + 1.
Przejście do Kroku 1.
6. EKSPERYMENT NUMERYCZNY
W celu wykazania poprawności działania zaproponowanego w artykule wariantu metody
non-interior point oraz wyznaczenia czasów obliczeń przeprowadzono testy numeryczne
dla zbioru siedmiu systemów testowych, których lista została przedstawiona w tabeli 1.
Tabela 1
Statystyki systemów testowych używanych w eksperymentach numerycznych
Lp.
Liczba węzłów
Nw
Liczba węzłów
odbiorczych
No
Liczba węzłów
wytwórczych
Ng
Liczba linii
Nl
1
9
6
3
9
2
13
8
5
18
3
30
24
6
41
4
57
50
7
80
5
118
64
54
186
6
300
231
69
411
7
2 746
2 471
275
3 279
W tabeli 2 zebrano wyniki optymalizacji wybranych systemów testowych. W przeprowadzonych eksperymentach jako punkt startowy obliczeń przyjęto modyfikację stanu optymalnego rozpływu mocy, polegającą na wyzerowaniu modułów napięć w węzłach odbiorczych
oraz kątów fazowych napięć we wszystkich węzłach i ustawieniu mocy generowanych w poszczególnych węzłach wytwórczych na poziomie ich maksymalnych zdolności wytwórczych.
Metoda non-interior-point…
133
Tabela 2
Wyniki optymalizacji wybranych systemów testowych
Liczba węzłów
Liczba
iteracji
Niter
Czas jednej
iteracji
titer [ms]
Czas
wczytywania
danych
tl [ms]
Czas obliczeń
to [ms]
Koszty
wytwarzania
energii
fcost
9
7
49,0
5
343
53,00
13
25
47,5
5
1 188
153,20
30
8
44,9
31
359
5,70
57
13
48,1
31
625
31,80
118
47
47,2
32
2 219
14,10
300
60
49,2
45
2 953
44,60
60
290,4
163
17 423
16 417,90
2 746
Obliczenia zostały przeprowadzone na komputerze z procesorem Intel Core 2 Quad 2,4GHz pod
kontrolą 32-bitowego systemu operacyjnego Windows XP.
Dla systemów testowych o liczbie węzłów przekraczającej 118 lepsze rezultaty
(tzn. mniejszą liczbę iteracji oraz krótszy czas obliczeń) uzyskano przerywając proces iteracyjny po zadanej liczbie iteracji i wznawiając go dla przywróconych do wartości początkowych parametrów metody optymalizacyjnej. Punktem startowym kolejnej serii iteracji było
rozwiązanie uzyskane w poprzedniej serii. W przypadku systemu składającego się z 300 węzłów wyniki uzyskano wykonując cztery przebiegi po 15 iteracji każdy, natomiast w przypadku systemu składającego się z 2746 węzłów wyniki uzyskano wykonując cztery przebiegi odpowiednio po 20, 20, 10 i 10 iteracji.
W celu uzyskania możliwie najwyższej szybkości obliczeń elementy wektorów i macierzy układu równań generowane były w sposób analityczny. Ponadto, został uwzględniony
rzadki charakter macierzy (wypełnienie rzędu 0,1%) oraz zastosowano biblioteki numeryczNe, ułatwiające rozwiązywanie dużych, rzadkich układów równań liniowych [22], [24].
7. PODSUMOWANIE
Podstawową zaletą konstrukcji metody rozwiązania problemu optymalnego rozpływu
mocy w systemie elektroenergetycznym przy użyciu metody non-interior point, w sensie
adaptacji zmodyfikowanego problemu komplementarnego do warunków komplementarnych
układu równań KKT (32), jest fakt, iż w punkcie startowym algorytmu optymalizacji nie muszą być ściśle spełnione warunki komplementarne. Cecha ta jest zapewniona dzięki użyciu
funkcji wygładzających. W artykule nie wykazano matematycznego dowodu zbieżności
zaprezentowanego algorytmu, jednak przeprowadzone badania testowe potwierdziły zbieżność przyjętej koncepcji.
M. Połomski
134
Badania eksperymentalne zostały przeprowadzone dla wybranych systemów testowych,
których przykłady można zaleźć w pakiecie obliczeniowym MATPOWER [23]. Bardzo dobre
efekty otrzymano również dla polskiego systemu elektroenergetycznego. W wyniku przeprowadzonych eksperymentów numerycznych zostało stwierdzone, że zaproponowany wariant
metody non-interior-point funkcjonuje poprawnie dla testowanych systemów elektroenergetycznych. W zaprezentowanym wariancie metody non-interior wprowadzono następujące
modyfikacje:

długość kroku (k) wyznaczana jest na podstawie normy części komplementarnej wektora wyrazów wolnych,

wartość współczynnika (k+1) oblicza się bez użycia metody przeszukiwania.
Wprowadzone modyfikacje umożliwiły przeprowadzenie optymalizacji systemu składającego
się z 2746 węzłów. W ten sposób uzyskano eksperymentalne potwierdzenie przydatności
metody non-interior-point do optymalizacji dużych systemów elektroenergetycznych.
Wszystkie testowane przypadki wykazywały bardzo wysoką wrażliwość na wartości parametrów procesu iteracyjnego.
***
Praca naukowa sfinansowana w ramach projektu „Optymalizacja rozpływu mocy
w krajowym systemie elektroenergetycznym” (projekt badawczy nr N511 001 32/0852
realizowany w latach 2007 ÷ 2010).
BIBLIOGRAFIA
1.
2.
3.
4.
5.
Dommel H., Tinney W.: Optimal Power Flow Solutions. “IEEE Transactions on Power
Apparatus and Systems” 1968, Vol. PAS-87, No. 10, p. 1866-1876.
Momoh J., El-Hawary M., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow
Literature to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Programming Approaches. “IEEE
Transactions on Power Systems” 1999, Vol. 14, No.1, p. 96-104.
Momoh J., El-Hawary., Adapa R.: A Review of Selected Optimal Power Flow Literature
to 199. Part I: NonLinear and Quadratic Programming Approaches. Part II: Newton,
Linear Programming and Interior Point Methods. “IEEE Transactions on Power Systems”
1999, Vol. 14, No.1, p. 105-111.
Bansal R. C.: Optimization Methods for Electric Power Systems: An Overview.
“International Journal of Emerging Electric Power Systems” 2005, Vol. 2, Issue 1,
Article No. 1021.
Granville S.: Optimal reactive dispatch through interior point methods. “IEEE
Transactions on Power Systems” 1994, Vol. 9, p. 136-146.
Metoda non-interior-point…
135
6.
Torres G. L., Quintana V. H.: An interior point method for nonlinear optimal power flow
using voltage rectangular coordinates. “IEEE Transactions on Power Systems” 1998,
Vol. 13, p. 1211-1218.
7. Wu Y., Debs A. S., Marsten R. E.: A direct nonlinear predictor-corrector primal-dual
interior point algorithm for opimal power flow. “IEEE Transactions on Power Systems”
1994, Vol. 9, p. 876-883.
8. Nocedal J., Wright S.: Numerical Optimization. Springer-Verlag, New York 1999.
9. Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. Wydawnictwa
Naukowo-Techniczne. Warszawa 1996.
10. De Luca T., Facchinei F., Kanzow C.: A semismooth equation approach to the solution of
nonlinear complementarity problems. “Mathematical Programming” 1996, No 75, p. 407439.
11. Kanzow C.: Nonlinear Complementarity as Unconstrained Optimization. “Journal of
Optimization Theory and Applications” 1996, Vol. 88, No. 1, p. 139-155.
12. Kanzow C.: A new approach to continuation methods for complementarity problems with
uniform P-functions. “Oper. Res. Lett.” 1997, No. 20, p. 85-92.
13. Hotta K., Yoshise A.: Global convergence of a class of non-interior-point algorithms
using Chen-Harker-Kanzow functions for nolinear complementarity problems.
“Mathematical Programming, Series A” 1999, Vol. 86, No. 1, p. 105-133.
14. Kanzow C.: Some equation-based methods for the nonlinear complementarity problem.
“Optimization Methods and Software” 1994, No. 3, p. 327-340.
15. Kanzow C.: Some noninterior continuation method for linear complementarity problems.
“SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications” 1996, No. 17, p. 851-868.
16. Chen B., Harker P. T.: A non-interior-point continuation method for linear
complementarity problems. “SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications” 1996,
No. 14, p. 1168-1190.
17. Burke J., Xu S.: A non-interior predictor-corrector path following algorithm for the
monotone linear complementarity problem. “Mathematical Programming, Ser. A” 2000,
No. 87, p. 113-130.
18. Burke J., Xu S.: The Global Linear Convergence of a Non-Interior Path-Following
Algorithm for Linear Complementarity Problems. Technical Report. Department of
Mathematics, University of Washington, Seattle. 1996.
19. Torres G. L., Quintana V. H.: Optimal power flow by a non-linear complementarity
method. “IEEE Trans. on Power Sys.” 2000, Vol. 15, No. 3, p. 1028-1033.
20. Torres G. L., Quintana V. H.: Nonlinear Optimal Power Flow by a Non-Interior-Point
Method Based on Chen-Harker-Kanzow NCP-functions. “IEEE Canadian Conference on
Electrical and Computer Engineering” 1998, Vol. 2, p. 770-773.
136
M. Połomski
21. Xu. S.: The global linear convergence of an infeasible non-interior path-following
algorithm for complementarity problems with uniform P-functions. “Math. Program., Ser.
A” 2000, No. 87, p 501-517.
22. Davis T. A.: Algorithm 832: UMFPACK, an unsymmetric-pattern multifrontal method.
“ACM Transactions on Mathematical Software” 2004, Vol. 30, Vo. 2, p. 196-199.
23. Zimmerman R., Murillo-Sanchez Z.E., Gan D.: MATPOWER – a MATLAB Power
System Simulation Package. Version 3.0.0, Cornell University, February 2005.
www.pserc.cornell.edu.
24. http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
Recenzent: Dr hab. inż. Konrad Skowronek, prof. Politechniki Poznańskiej
Wpłynęło do Redakcji dnia 2 grudnia 2009 r.
Abstract
In the paper, a variant of non-interior point method algorithm, for solving nonlinear optimal power flow problem (OPF) has been proposed. Presented formulation of the OPF problem is based on the standard form of the nonlinear programming problem (NLP).
The optimality conditions of the optimal power flow problem may be regarded as a particular case of the nonlinear complementarity problem (NCP), in which the complementarity
conditions are handled by NCP smoothing functions. Particularly, in presented case of the
non-interior point method the Chen-Harker-Kanzow-Smale smoothing function has been
used.
The presented method has been implemented and verified experimentally by applying it
to various test power systems including the test case of the Polish power system. Performed
tests have shown that the formulated variant of the non-interior point algorithm can efficiently
solve large-scale optimal power flow problem.