Zadania z algebry liniowej
Transkrypt
Zadania z algebry liniowej
Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Definicja 1. Parę uporządkowaną liczb rzeczywistych x, y nazywamy liczbą zespoloną i oznaczamy z = (x, y). Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C = {z = (x, y) | x, y ∈ R}. Definicja 2. Niech z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) będą liczbami rzeczywistymi. Wtedy: 1. mówimy, że liczby te równe tzn. z1 = z2 ⇐⇒ (x1 = x2 ∧ y1 = y2 ), 2. sumę liczb zespolonych określamy wzorem z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ), 3. iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ). Twierdzenie 1 (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych). Niech z = (x, y), z1 , z2 , z3 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy: 1. z1 + z2 = z2 + z1 , 6. (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ), 2. (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), 7. ∃1=(1,0)∈C z · 1 = z, 3. ∃0=(0,0)∈C z + 0 = z, 8. ∀z6=0 ∃ 1 ∈C z · z1 , z 4. ∃−z∈C z + (−z) = 0, gdzie −z = (−x, −y), gdzie 5. z1 · z2 = z2 · z1 , 1 z = x x2 +y 2 , x2−y , +y 2 9. z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 . 1 Zadanie 1. Wykonać podane działania: a) (1, −1) + (1, 3), c) (2, −3)(1, 0), e) (1, −1)(2, 3), g) (2, 0)(4, 0), b) (3, 0) + (−1, 2), d) (0, 2)(−2, 1), f) (−1, 1)(3, −2), h) (0, 2)(0, 3). Definicja 3. Liczbę (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy i = (0, 1). Każdą liczbę zespoloną z = (x, y) można zapisać w postaci z = x + iy, x, y ∈ R, którą nazywamy postacią algebraiczną (kanoniczną). Wtedy liczbę 1. x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z, co oznaczamy Re(z) = x, 2. y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co oznaczamy Im(z) = y. Fakt 1. Liczby zespolone z1 , z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy Re(z1 ) = Re(z2 ) oraz Im(z1 ) = Im(z2 ). Zadanie 2. Wykonać podane działania: a) (2i − 3) + (2 + i), d) (2i − 3)(2 + i), √ √ g) ( 2 + i) + (− 2 + i), b) (7 − 4i) + (2 − i), e) (2 − 3i)(1 − i), h) (1 + 3i + c) (1 − 2i) − (2 − 4i), f) 2−2i −3−2i , i) 3 2 − 2i)(2 + 3i), 2i−3 2+i . Zadanie 3. Znaleźć x, y ∈ R spełniające podane równania: a) x(2 − i) + y(3 + i) = 2i − 5, e) (2x − 2i) · (1 − 2yi) = 8 − 26i, b) (x − i) · (2 − yi) = 11 − 23i, f) c) x 2+3i + y 3−2i 2x 1−i + y 1−i = 1, g) x(2 + 3i) + y(5 − 2i) = −8 + 7i, = 2, d) x(1 + 2i) + y(4 − 3i) = i, h) 1+yi x−2i = 3i − 1. Definicja 4. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem z = x − iy. 2 Twierdzenie 2 (Własności sprzężenia liczb zespolonych). Niech z, z1 , z2 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy: 1. z1 + z2 = z1 + z2 , 5. z + z = 2 · Re(z), 2. z1 − z2 = z1 − z2 , 6. z − z = 2i · Im(z), 3. z1 · z2 = z1 · z2 , 7. (z) = z, 4. z1 z2 = z1 z2 , o ile z2 6= 0, 8. Im(z) = −Im(z). Definicja 5. Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą |z| określoną wzorem |z| = q x2 + y 2 . Twierdzenie 3 (Własności modułu liczb zespolonych). Niech z, z1 , z2 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy: 1. |z| = |z| = | − z|, 5. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, 2. z · z = |z|2 , 6. ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 − z2 |, 3. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |, 7. |Re(z)| ≤ |z| oraz |Im(z)| ≤ |z| , |z1 | 4. zz21 = |z , o ile z2 6= 0, 2| 8. |Re(z1 z2 )| ≤ |z1 ||z2 |. Definicja 6. Argumentem liczby zespolonej z = x + iy 6= 0, gdzie x, y ∈ R, nazywamy y x i sin(α) = |z| . każdą liczbę rzeczywistą α spełniającą cos(α) = |z| Spośród argumentów liczby z można wyróżnić ten, który spełnia 0 ≤ α < 2π. Nazywamy go argumentem głównym liczby z i oznaczamy arg(z) ∈ [0, 2π). Twierdzenie 4 (Własności argumentu liczb zespolonych). Niech z, z1 , z2 ∈ C. Wtedy dla pewnego k ∈ Z, dla którego wynik należy do [0, 2π): 1. arg (z) = 2π − arg(z), 4. arg (z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z1 ) + 2kπ, 2. arg (−z) = arg(z) + π + 2kπ, 5. arg (z n ) = n · arg(z) + 2kπ, 3. arg 1 z = 2π − arg(z), 6. arg 3 z1 z2 = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, Zadanie 4. Wyznaczyć: √ |, f) | 2+−1+i 3i−3 a) Re(2 + 3i), b) Re (2 + 3i) · (1 − i)2 , 15 X c) Re i 15 Y d) Re √ i) Im(−5 + n=1 ! i , m) |(−1 + 2i) · (2 − 3i)|, h) arg(−5), , ! n n=0 g) arg(1 + i), ! n l) Im 29 Y 3i), |, n) | (2+i)(2−3i) 3−2i 2 j) Im (1 + 2) · (3i − i) , in , n=1 k) Im e) |5 − 3i|, 29 X o) arg(2 − 2i), ! n i , p) arg(−1 − n=0 √ 3i). Zadanie 5. Rozwiązać podane równania w zbiorze liczb zespolonych (wykorzystując postać algebraiczną liczby zespolonej): a) z 2 + 2z = 0, d) |z| + (1 + i)z = 2 + i, b) 2z + (1 = i)z = 1 + i, e) z 2 − 2z + 3 = 0, c) z+3 z−1 g) (z + z) + (z − z)i = 2, f) (z + 1)2 = (z + 1)2 , = −1, h) |(2 + i)z| = √ 10. Zadanie 6. Niech z = a + bi, a, b ∈ R. Obliczyć: 2z z , a) z 2 , c) b) z · z, d) Re z z + z z , 2z+iz , 2z+i e) z + z, g) f) 2z − 3z, h) Im z z + z z Zadanie 7. Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór wszystkich z ∈ C spełniających warunek: a) |z − 2 + 3i| = 4, g) |z + 2 + i| > 2, b) 1 ≤ |z − i| < 5, h) 0 < |z − 3| ≤ 3, c) arg(z) = d) arg e) π 3 1 z 3π 4 , i) arg(z + 2 − i) = π2 , = π, ≤ arg(z) < j) arg(z) = 10π 6 , k) √ √ f) arg ( 2 − 2i)z = π, π 4 7π 10 , ≤ arg(z − 2i) ≤ l) arg 1 z+i 3π 2 , < π. Definicja 7. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci: z = r(cos(α) + i · sin(α)), gdzie r ≥ 0, α ∈ R. Wówczas r jest modułem liczby z, a α jednym z jej argumentów. Taką postać liczby z nazywamy postacią trygonometryczną. 4 . Twierdzenie 5. Niech z1 = r1 (cos(α1 ) + i · sin(α1 )) , z2 = r2 (cos(α2 ) + i · sin(α2 )) , gdzie r1 , r2 ≥ 0, α1 , α2 ∈ R będą liczbami zespolonymi. Wtedy: z1 · z2 = r1 · r2 (cos(α1 + α2 ) + i · sin(α1 + α2 )) , r1 z1 = (cos(α1 − α2 ) + i · sin(α1 − α2 )) , z2 r2 o ile z2 6= 0. Twierdzenie 6. wzór de Moivre’a Niech z = r (cos(α) + i · sin(α)) , gdzie r ≥ 0, α ∈ R oraz n ∈ N. Wtedy: z n = rn (cos(nα) + i · sin(nα)) . Definicja 8. Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci: z = rei·α , gdzie r ≥ 0, α ∈ R. Wówczas r jest modułem liczby z, a α jednym z jej argumentów. Taką postać liczby z nazywamy postacią wykładniczą. Uwaga 1. Zachodzą analogiczne wzory jak w poprzednich twierdzeniach (przy odpowiednich założeniach): z1 · z2 = r1 ei·α1 · r2 ei·α2 = r1 · r2 ei·(α1 +α2 ) , z1 r1 ei·α1 r1 = = ei·(α1 −α2 ) , i·α 2 z2 r2 e r2 z n = rei·α n o ile z2 6= 0, = rn ei·nα . Zadanie 8. Zapisać poniższe liczby w postaci trygonomerycznej i wykładniczej: d) −1 + i, √ √ e) 2i − 6, a) 1, b) π, c) −4 − 4i, f) i, π g) e 6 , j) −3 − h) 1 + i, √ i) 1 + 3i, k) −3i, l) ieπ , Zadanie 9. Zapisać poniższe liczby w postaci kanonicznej: a) 3(cos π 4 + i sin π 4 ), f) b) cos (π) + i sin (π), √ 7π c) 2(cos 7π + i sin 6 6 ), g) √ 5π 2 d) [ 3(cos 5π + i sin 6 6 )] , h) e) 1+i 2 12 , i) 5 √ 10 10 3+i 1−i 2−2i 4+4i , , (i−1)50 (−i−1)50 , (i+1)100 √ √ 6 2+i√ 2 , 1−i 3 √ 3i, m) n) o) √ √ √ 3− √ 3i, 3 − i, √ 12 + 4i. j) √ √ 15 2+i 6 , 3 l) 4(cos m) 3(cos n) 2(cos o) √ 7π 6 π 6 + i sin 11π 12 + i sin (cos(1◦ )+i sin(1◦ ))68 , (cos(3◦ )+i sin(3◦ ))2 (cos(2◦ )+i sin(2◦ )) k) π 6 + i sin 7π 6 ) · (cos ) · (cos 11π 12 4π 6 1π 3 + i sin + i sin ) : (4(cos 5π 12 4π 6 1π 3 ), ), + i sin 5π 12 )), 3(cos (123◦ ) + i sin (123◦ )) : (cos (33◦ ) + i sin (33◦ )). Definicja 9. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość: wn = z. Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z oznaczamy przez √ n z = {w ∈ C | wn = z}. Fakt 2. Każda liczba zespolona z = r(cos(α) + i · sin(α)), gdzie r ≥ 0, α ∈ R, ma n pierwiastków stopnia n. Wtedy: √ n z = {z0 , z1 , ..., zn−1 }, √ gdzie zk = n r cos α+2kπ + i sin α+2kπ dla k = 0, 1, ..., n − 1. n n Uwaga 2. Oznaczmy przez εk pierwiastki stopnia n z 1, k = 0, 1, ..., n − 1. Wtedy mając jeden z pierwiastków stopnia n z liczby z (np. zi ) resztę możemy obliczyć ze wzoru zk = zi ∗ εk , k = 0, 1, ..., n − 1. Wystarczy wykonać n − 1 iloczynów. Zadanie 10. Obliczyć podane pierwiastki i zaznaczyć je na okręgu: a) √ 1, √ b) 3 1, √ c) 4 1, √ d) 6 1, e) f) g) h) √ 12 √ 3 √ 3 √ 1, i) −4i2 , j) √ 4 √ 3 4, m) i21 , −8, k) p 3 4, l) p 4 n) (−3i)6 , (2i + 2)4 , o) p (3 + 4i)12 , 12 q 6 √ 6 (i − √ 3)6 , i6 . Bibliografia: 1. K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG, Gdańsk 2006. 2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2001. 3. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 2001. 4. A. Romanowski, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2007. 5. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa 2008. 6. J. Topp, Algebra liniowa, PG, Gdańsk 2005. 6