Wypełnianie prostokąta hakiem

Wypełnianie prostokąta hakiem
Utwórzmy z sześciu kwadratów jednostkowych figurę taką jak na rysunku i nazwijmy ją
hakiem. Hakiem będzie także każda figura utworzona z niej przez obroty i odbicia
symetryczne.
Zadanie polega na wyznaczeniu wszystkich prostokątów m x n, które można pokryć
hakami w ten sposób, że prostokąt zostaje całkowicie pokryty, a żadne dwa haki nie
zachodzą na siebie oraz żadna część haka nie wystaje poza prostokąt.
1. Haki mają zatoczki – końcówki muszą na siebie zachodzić. Więc należy połączyć
płytki w pary, w ten sposób powstaje 12-polowa płytka. Łatwo zauważyć, że
można ją zbudować na dwa sposoby. Otrzymamy wtedy albo prostokąt 3x4, albo
ośmiokąt. Oczywiście bierzemy także pod uwagę obroty i odbicia.
2. Parkietaż jest wykonalny wtedy i tylko wtedy, gdy wykonywalny jest tymi
3.
płytkami. Wtedy mn dzieli się przez 12. Z tego wynika, że co najmniej jedna z
liczb m,n jest podzielna przez 3 (12 = 2*2*3).
Wykażemy, ze co najmniej jedna z liczb m,n jest podzielna przez 4 (co będzie
warunkiem dla znalezienia rozwiązania). Przypuśćmy, że prostokąt złożony z m
rzędów pionowych i n poziomych ma parkietaż z użyciem 1/12 mn.
Oczywiste, ze żaden jego bok nie może mieć długości 1, 2 i 5.
Dzielimy go na pola jednostkowe i gwiazdkujemy co czwarty rząd i co czwartą
kolumnę, gwiazdek nie stawiamy na przecięciach. Nie ma znaczenia, gdzie
zaczynamy. Fragment:
Wyróżniono k rzędów pionowych i l poziomych. Łączna liczba gwiazdek:
kn+lm-2kl, liczba tej samej parzystości co kn+lm. Każda płytka nakrywa 3 lub 5
gwiazdek. Więc liczba gwiazdek jest tej samej parzystości, co liczba płytek (1/12*
mn). Skoro zakryte jest wszystko, to jeśli liczba płytek jest nieparzysta, to i
nieparzysta jest liczba gwiazdek; jeśli liczba płytek jest parzysta, to parzysta jest
także liczba gwiazdek.
Różnica d=1/12*mn – (kn+lm) jest parzysta (bo obie liczby są tej samej
parzystości). Wobec tego 12d dzieli się przez 24. Mamy więc 12d=mn–12kn–
12lm. Po przekształceniu: 12d=(m-12k)(n-12l)-144 kl
Wówczas iloczyn (m-12k)(n-12l) dzieli się przez 24, więc jeden z czynników musi
dzielić się przez 4 (z rozkładu liczby 24). Wtedy co najmniej jedna z liczb dzieli się
przez 4.
Wniosek: Jeśli parkietaż jest wykonalny to zachodzą 3 warunki:
1) co najmniej jedna z liczb m,n jest podzielna przez 4,
2) co najmniej jedna z liczb m,n jest podzielna przez 3,
3) żadna z liczb nie jest równa 1, 2 lub 5.
Warunki te są już wystarczające. Dlaczego?
1. Jeśli jedna liczba jest podzielna przez 3 a druga 4, to nie ma problemu –
zapełniamy prostokątnymi płytkami.
2. Jeśli jedna dzieli się przez 12 – drugą rozkładamy na trójki i czwórki. Robimy pasy
12x3 oraz 12x4 i je zapełniamy.
A więc wymagane pokrycie prostokąta jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy m,n
spełniają warunki 1, 2 i 3.
Uzyskana charakteryzacja interesujących nas prostokątów (przez warunki 1, 2 i 3) może
być wyrażona tak: są to te prostokąty, które dopuszczają parkietaż samymi tylko
płytkami 3 x 4. Jest możliwy także oboma rodzajami. Na przykład – 16 x 15 – 18 płytek
prostokątnych i 2 ośmiokątne.
Na podstawie zadania z czasopisma Matematyka (nr 1/2005) opracował Radosław Juszczuk.