Część teoretyczna.

Wprowadzenie do logiki formalnej, cz. II
Egzamin, cz¦±¢ teoretyczna
16 czerwca 2011
Które z poni»szych formuª s¡ twierdzeniami w logice intuicjonistycznej (p, q, r s¡
zmiennymi zdaniowymi)? Zapisz ich dowody normalne jako termy w postaci normalnej. Dla pozostaªych formuª uzasadnij, »e nie s¡ twierdzeniami intuicjonistycznymi korzystaj¡c z odpowiednich
wªasno±ci rachunku lambda z typami prostymi.
Zadanie 1 (4p).
1. ((p → q) → r) → q → r
2. ((p → q) → r) → (p → r) → r
3. ((¬¬p → p) → ¬p) → ¬p
4. (p ∨ q → r) → (p → r) ∧ (q → r)
Zadanie 2 (4p).
jej sygnatur¦.
[Autor: Lewis Carroll] Zapisz nast¦puj¡ce zdania w j¦zyku logiki 1. rz¦du. Opisz
1. Wszystkie lwy s¡ dzikie.
2. Niektóre lwy nie pij¡ kawy.
3. Niektóre dzikie stworzenia nie pij¡ kawy.
Nast¦pnie poka» formalne wyprowadzenie faktu nr 3 z faktów nr 1 i 2.
Poni»ej zdeniowano indukcyjnie cztery typy danych. Scharakteryzuj (opisz) mo»liwie dokªadnie ka»dy z nich oraz podaj po jednym przykªadowym termie typu list(S(S(S(0)))),
list2(S(S(S(0)))), tree(S(S(S(0)))) oraz tree2(S(S(S(0)))). Typ nat jest zdeniowany standardowo: indukcyjnie z u»yciem konstruktorów 0 i S; relacja ≤ i operacje max i + s¡ równie» standardowe, okre±lone na typie nat.
Zadanie 3 (4p).
Denicja typu list:
nil : list(0)
x : nat l : list(n)
cons(x, l) : list(S n)
Denicja typu list2:
n : nat
nil : list2(n)
x : nat l : list2(n) x ≤ n
cons(x, l) : list2(x)
Denicja typu tree:
leaf : tree(0)
x : nat l1 : tree(k) l2 : tree(l)
node(x, l1 , l2 ) : tree(k + l + 1)
Denicja typu tree2:
leaf : tree2(0)
x : nat l1 : tree2(k) l2 : tree2(l) m = max(k, l) + 1
node(x, l1 , l2 ) : tree2(m)