Kartografia innych wiatów

GKF # 260
Kartografia innych
39
wiatów
Wiele jest wiatów p!yn"cych jak p#cherzyki piany po Rzece Czasu...
(Arthur C. Clarke, ciana mroku)
(8)
Rzeczywi!cie jest ich chyba sporo, ale wszystkie jak spod jednej sztancy: sfera, sfera,
sfera… jeszcze raz sfera… Co! jak kosmiczna czkawka, co zauwa"y# ju" Lem w Cyberiadzie.
Do chlubnych wyj$tków nale"y !wiat z opowiadania ACC, ale o tym za chwil%.
Jak wiadomo – ka"da mapa zawsze co! zniekszta#ca: a to odleg#o!ci, a to k$ty.
Przesta&my si% tym przejmowa' i wyobra(my sobie !wiaty z gumy, które mo"na
poddawa' dowolnym deformacjom. Klasyczn$ planet% mo"na by wtedy przekszta#ci'
w sze!cian Eneferców (znów ta Cyberiada), natomiast "adn$ miar$ nie da#oby si% z niej
zrobi' torusa b$d( precla (wypieku z zasadniczo dowoln$ ilo!ci$ otworów). Wkraczamy tu
na teren topologii, okre!lanej czasem jako geometria przedmiotów gumowych. Z jej
punktu widzenia sfera i sze!cian to to samo, ale sfera i torus ju" nie. Przyj%cie tak
abstrakcyjnego spojrzenia pozwala na dokonanie pe#nej klasyfikacji wszystkich !wiatów,
b%d$cych powierzchniami zamkni%tymi bez brzegu, czyli bez urwiska z Kosmosem u spodu
( wiat Dysku wi%c odrzucamy). Okazuje si%, "e s$ tylko dwie serie takich !wiatów.
Pierwsz$ tworzy sfera i wszelkie mo"liwe precle, które mo"na te" opisa' jako sfery
z doklejonymi uchwytami, za! najprostszym przedstawicielem tej drugiej jest !wiat ze
$ciany mroku. Tworzy si% go tak, "e w zwyk#ej sferze wycina si% otwór, a potem skleja si%
ze sob$ wszystkie pary przeciwleg#ych punktów tego otworu. Trzeba by' Amberyt$, "eby
to sobie wyobrazi', gdy" operacja jest niewykonalna w 3D (4D ju" wystarczy). Je!li to
samo zrobimy z wi%ksz$ ilo!ci$ otworów, otrzymamy pozosta#e powierzchnie drugiej serii.
W $cianie mroku feralny otwór jest otoczony wysokim murem, za którym panuje
ciemno!'. Kto si% w ni$ zapu!ci i pójdzie przed siebie, wróci do punktu wyj!cia, tyle "e jako
lustrzane odbicie. Poniewa" mo"na od tego oszale', wi%c mur wydaje si% ca#kiem
sensowny. Z drugiej strony zupe#nie zwariowane s$ konsekwencje doklejania uchwytów do
tego !wiata: nie uwierzycie, ale ka"dy z nich jest wymienialny na takie dwie dziury, jak
tamta za murem.
No, ale mia#o by' o kartografii. Chodzi tu o rzecz z pozoru banaln$, czyli o kolorowanie map. Je!li dwa pa&stwa s$siaduj$ ze sob$, powinny by' oznaczone ró"nymi
kolorami; pytanie brzmi, ile barw wystarczy do prawid#owego pokolorowania ka"dej
mo"liwej mapy danego !wiata. Rzecz jasna zacz%to od naszej Ziemi, czyli sfery. Oko#o
roku 1880 opublikowano dowód, "e cztery barwy wystarcz$, po 10 latach odkryto jednak
nie!cis#o!', wysz#o wi%c na to, "e na pewno wystarczy pi%' kolorów, a je!li chodzi o cztery,
to nie wiadomo. Tak narodzi# si% problem czterech barw, który rozwi$zany zosta#
(pozytywnie) dopiero w 1976 r. Ciekawe jest to, "e dowód twierdzenia o czterech barwach
nie by# zwyk#ym dowodem, gdy" wymaga# zaprz%gni%cia do pracy komputera, któremu
weryfikacja sporej ilo!ci przypadków zaj%#a ok. 1000 godzin. Dzi! zapewne znacznie mniej,
lecz nie zmienia to faktu, "e nie da si% tego zrobi' „r%cznie”. I to by# szok dla ca#ej
matematycznej spo#eczno!ci.
Co interesuj$ce: w przypadku innych !wiatów sprawa okaza#a si% znacznie prostsza.
Ju" w 1890 r. znany by# wzór okre!laj$cy minimaln$ ilo!' barw dla powierzchni pierwszej
serii (poza sfer$) – np. dla torusa (czyli sfery z jednym uchwytem) liczb$ t$ jest siedem.
Dla map !wiata $ciany mroku minimalna ilo!' barw to sze!' (co jest wiadome od 1910 r.),
za! wzór okre!laj$cy t% liczb% dla innych powierzchni drugiej serii znany jest od 1954 r.
Wida' wi%c, "e sfera opiera#a si% najd#u"ej, by' mo"e wi%c istotnie "yjemy na najlepszym
z mo"liwych !wiatów – a je!li jednak nie, to przynajmniej na najciekawszym.
Andrzej Prószy%ski