1. Statyczne właściwości przetworników Przetwornikiem

1. Statyczne właściwości przetworników Przetwornikiem

1. Statyczne właściwości przetworników
Przetwornikiem pomiarowym nazywamy obiekt fizyczny, który na podstawie
pewnej zasady fizycznej i z określoną dokładnością odwzorowuje wartość wielkości
mierzonej x z zakresu (xmin ÷ xmax) na wartość innej wielkości y z zakresu (ymin ÷ ymax).
Zależność wielkości wyjściowej y od wielkości wejściowej x, nazywana modelem
przetwornika, określana jest przez nominalne równanie przetwarzania:
y = f(x).
(1)
Wykres zależności (1) dla wielkości x i y niezmiennych w czasie nazywany jest
statyczną charakterystyką przetwarzania.
W zależności od postaci charakterystyki przetwarzania przetworniki dzieli się na
nominalnie liniowe i nieliniowe. Ze względu na dogodność dalszego przetwarzania
wielkości wyjściowej najbardziej pożądaną charakterystyką statyczną jest zależność
liniowa. Równanie przetwarzania można wówczas zapisać w postaci:
y= S·x,
gdzie
S  lim
x 0
(2)
y
x
(3)
jest czułością przetwornika i określa nachylenie charakterystyki statycznej. W
przypadku przetworników liniowych czułość jest stała dla całego zakresu zmian
wielkości
wejściowej.
Odwrotność
czułości
C = 1/S
nazywana
jest
stałą
przetwornika.
Charakterystyki rzeczywiste przetworników zwykle odbiegają od ich charakterystyk
nominalnych (wynika to np. z ograniczonej wiedzy o zachodzących zjawiskach
fizycznych, zastosowanych uproszczeń modelu, niedokładnej znajomości wielkości
wpływających lub nieuwzględnienia niektórych z nich), co powoduje konieczność
linearyzacji. W przypadku przetworników nominalnie liniowych polega to na
aproksymacji charakterystyki przetwornika w zakresie pomiarowym linią prostą. Dla
przetworników nieliniowych linearyzacja polega na zastosowaniu układów lub
środków obliczeniowych zmieniających charakterystykę całego układu na nominalnie
liniową. Odchylenia rzeczywistej charakterystyki od przybliżającej ją prostej w
zakresie pomiarowym (xmin ÷ xmax) nazywane są błędami nieliniowości ΔNL (rys. 1).
Często używa się miary względnej błędu nieliniowości:
 NL 
 NL
.
y max  y min
(4)
Rys. 9.1. Ilustracja definicji błędu nieliniowości.
Linearyzację charakterystyki statycznej można przeprowadzić stosując metody
graficzne (np. stycznej, siecznej) lub analityczne. W przypadku przetworników o
nominalnie liniowej charakterystyce statycznej najczęściej stosuje się metodę analizy
regresji liniowej.
2. Właściwości dynamiczne przetworników
a. Sposoby opisu właściwości dynamicznych
Znajomość dynamicznych właściwości przetworników jest istotna zarówno w
przypadku pomiarów dynamicznych (wielkość mierzona zmienia się w czasie
pomiaru) jak i w pomiarach statycznych. Określenie właściwości dynamicznych może
być dokonywane przez analizę modeli matematycznych, opisujących zjawiska
fizyczne zachodzące w przetworniku, lub eksperymentalnie. Modele matematyczne
ujmują przemiany energetyczne zachodzące przy przetwarzaniu sygnałów w
przetworniku najczęściej w postaci równań różniczkowych. W zależności od postaci
tych równań (typ i rząd równania, zależność współczynników równania od czasu)
klasyfikuje się przetworniki stosując różne kryteria. Szczególne znaczenie mają
modele stacjonarne i liniowe, gdyż opisują wystarczająco wiernie szeroką klasę
praktycznie realizowanych przetworników.
Stosuje się dwa sposoby analitycznego opisu takich przetworników:
 w dziedzinie czasu (równanie różniczkowe wiążące sygnały x i y),
 w dziedzinie częstotliwości (równania wiążące transformaty sygnałów x i y).
Równanie różniczkowe opisujące przetwornik w dziedzinie czasu ma postać ogólną:
am
dmy
dy
dn x
dx

...

a

a
y

b
 ...  b1
 b0 x ,
1
0
n
m
n
dt
dt
dt
dt
(5)
gdzie m, n – liczby naturalne określające rząd równania (m ≥ n). Rząd m równania
nazywany jest rzędem przetwornika. W układach pomiarowych stosuje się zwykle
przetworniki zerowego, pierwszego lub drugiego rzędu.
W dziedzinie częstotliwości właściwości dynamiczne mogą być przedstawione za
pomocą transmitancji operatorowej, definiowanej jako iloraz transformat Laplace’a
sygnału wyjściowego i wejściowego przy zerowych warunkach początkowych:
Y(s) b n s n  b n 1s n 1  ...  b1s  b 0
K(s) 

X(s) a m s m  a m1s m1  ...  a 1s  a 0
(6)
Przyjęcie zerowych warunków początkowych oznacza, że przed działaniem
wymuszenia (dla t < 0) przetwornik znajdował się w stanie spoczynku (zerowe
wartości sygnału wyjściowego i jego pochodnych). Znając transmitancję K(s) i
wymuszenie x(t) można wyznaczyć odpowiedź przetwornika y(t) stosując kolejno
proste i odwrotne przekształcenie Laplace’a:
y(t )   1 K(s) x(t )
(7)
Jeśli sygnały wejściowy i wyjściowy są sygnałami harmonicznymi i przedstawione są
w postaci symbolicznej, to ich stosunek nazywa się transmitancją widmową:
K( j) 
Y( j)
 K( j) e j( )
X( j)
(8)
Zależność K()  K( j) nazywa się charakterystyką amplitudowo-częstotliwościową,
a
zależność
φ(ω) = arg[K(jω)]
–
charakterystyką
fazowo-częstotliwościową.
Transmitancję K(jω) przedstawia się najczęściej za pomocą pary charakterystyk K(ω) i
φ(ω), przy czym w analizie dynamiki przetworników i układów największe znaczenie
mają charakterystyki logarytmiczne. Logarytmiczną charakterystykę amplitudowoczęstotliwościową :
L  20 lg K()  20 lgK( j)
(9)
wykreśla się stosując skalę logarytmiczną dla osi L(ω) i ω, a fazowoczęstotliwościową stosując skalę liniową dla φ(ω) i logarytmiczną dla ω.
b. Modele przetworników pomiarowych
Przetwornik zerowego rzędu (bezinercyjny) nie wprowadza błędów dynamicznych.
W praktyce realizacja takiego przetwornika nie jest możliwa, a opis przetworników
rzeczywistych (np. dzielników rezystancyjnych) za pomocą tego modelu jest
stosowany w ograniczonym zakresie. Przetwornik zerowego rzędu opisuje się w
dziedzinie czasu równaniem w postaci
y = k·x,
(10)
gdzie k jest współczynnikiem wzmocnienia. Przetwornik pierwszego rzędu ma
równanie różniczkowe w postaci:
a 1 y'a 0 y  b 0 x lub T y' y  k x
(11)
gdzie k = b0/a0 – wzmocnienie statyczne, T = a1/a0 – stała czasowa. Stała czasowa ma
zawsze wymiar czasu, natomiast k określa stosunek sygnału wyjściowego do
wejściowego w stanie ustalonym. Z przebiegu charakterystyk częstotliwościowych
wynika, że przetworniki czy systemy opisane równaniem rzędu pierwszego dokładnie
przenoszą sygnały, dla których spełniony jest warunek ω < ωg, gdzie ωg = 1/T oraz
wprowadzają przesunięcie fazowe (dla ω = ωg wynosi ono -45°). Modelem pierwszego
rzędu opisuje się np. proste zanurzeniowe czujniki temperatury (bez obudowy).
Przetwornik drugiego rzędu opisuje się równaniem różniczkowym w postaci:
a 2 y' 'a 1 y'a 0 y  b 0 x lub y' '2 0 y'02 y  02 kx
(12)
gdzie k = b0/a0 – wzmocnienie statyczne, 0  a 0 / a 2 - pulsacja naturalna (drgań
nietłumionych przy ξ = 0),   a 1 / a 0 / a 2 - stopień tłumienia. Właściwością układów
drugiego rzędu jest to, że mogą w nich powstawać drgania, tłumione wskutek
rozpraszania energii. Przykładami przetworników drugiego rzędu mogą być: czwórnik
RLC, akcelerometr, czujnik temperatury w obudowie. Transmitancje K(s) i
charakterystyki częstotliwościowe przedstawiono w tablicy 1. W zależności od
tłumienia ξ pierwiastki równania charakterystycznego s 2  2 0 s  02  0 mogą być
zespolone (0 < ξ <1, przypadek oscylacyjny), występować może jeden pierwiastek
podwójny (ξ = 1, przypadek aperiodyczny krytyczny) lub dwa pierwiastki rzeczywiste
( ξ >1, przypadek aperiodyczny). W tym ostatnim przypadku układ rzędu drugiego
można przedstawić, jako szeregowe połączenie dwóch układów rzędu pierwszego.
3.2.3. Identyfikacja i wyznaczanie parametrów dynamicznych przetworników
Stosowane są następujące eksperymentalne metody identyfikacji i wyznaczania
właściwości dynamicznych przetworników:
 w dziedzinie czasu – na podstawie pomiaru (rejestracji) odpowiedzi
przetwornika na określony sygnał pobudzający,
 w dziedzinie częstotliwości – na podstawie wyznaczonych charakterystyk
częstotliwościowych.
W obydwu wymienionych dziedzinach, jako wymuszenia zastosować można
odpowiednie sygnały (tzw. sygnały testowe) zdeterminowane lub stochastyczne.
Poniżej omówiono wyznaczanie parametrów dynamicznych przetworników przy
zastosowaniu wybranych sygnałów zdeterminowanych.
W dziedzinie czasu stosuje się następujące sygnały pobudzające: wymuszenie
skokowe (najczęściej), wymuszenie impulsowe lub liniowo narastające (tzw. skok
prędkości). Przebiegi unormowanych odpowiedzi skokowych hu(t) oraz opisujące je
zależności dla przetworników 0, 1 i 2 rzędu zestawiono w tablicy 1.
Tablica 1. Unormowane odpowiedzi przetworników na wymuszenie skokowe A 1(t)
Rząd
przetwornika
Unormowana odpowiedź skokowa hu(t) = y(t)/kA = y(t)/yust
Postać analityczna
0
1
1
1  et / T
1
<1
e  0 t
1  2
Przebieg
sin(w t  )
  arc sin 1   2
w  0 1   2
=1
2
1  (1  0 t )e 0 t
1
>1

1
T1e  t / T1  T2 e  t / T2
T1  T2
T1 
T1 

1
0 (   2  1)
1
0 (   2  1)
Stałą czasową przetwornika pierwszego rzędu wyznaczyć można bezpośrednio z
odpowiedzi skokowej, (jako czas, w którym odpowiedź osiąga 63% swojej wartości
ustalonej) lub metodą stycznej. Bardziej dokładną metodą graficzną jest wykreślenie
logarytmu tej odpowiedzi. Przy wymuszeniu x(t) = A·1(t) odpowiedź przetwornika ma
postać y(t) = k ·A(1-e-t/T ). Po zlogarytmowaniu uzyskuje się:
z (t) = [1-hu(t)] = -t/T,
(9.13)
Wykres zależności z = f(t), przedstawiony na rys. 9.2 jest linią prostą o współczynniku
kierunkowym Δz/Δt = -1/T.
Rys. 2. Wyznaczanie stałej czasowej przetwornika pierwszego rzędu wg zależności (9.13).
Dla słabo tłumionego przetwornika drugiego rzędu (ξ <1) odpowiedź skokowa ma
charakter oscylacyjny (patrz tabela 9.2). Stopień tłumienia oblicza się z zależności:
2
  
  1 , gdzie Δy – tzw. przelot odczytany z przebiegu hu(t). Pulsację
  1 / 
 ln y 


własną określa się z zależności: 0  2 / Tw 1   2 , gdzie Tw jest okresem oscylacji
odczytanym z przebiegu odpowiedzi. W przypadku dużego tłumienia (ξ >1) w celu
wyznaczenia stałych czasowych T1 i T2 należy sporządzić wykres zależności δ(t) =
[1/kA – hu(t)] w logarytmicznej skali osi δ i liniowej skali osi czasu (rys. 3). Dla
dużych wartości t wykres ten jest linowy, a styczna poprowadzona do części liniowej
przecina oś lnδ w punkcie (0, lnδ0). Większa stała czasowa jest równa nachyleniu tej
stycznej: T1  (t 2  t 1 ) /(ln 1  ln  2 ) , gdzie (t1, lnδ1), (t2, lnδ2) – współrzędne
wybranych punktów na stycznej. Mniejszą stałą czasową T2 oblicza się z zależności:
T2  T1 ( 0  1) /  0 ) . Innym, mniej dokładnym sposobem wyznaczenia stałych
czasowych T1 i T2 jest skorzystanie z gotowych wykresów, tzw. nomogramów.
W dziedzinie częstotliwości stosuje się wymuszenie sinusoidalne o zmienianej
częstotliwości. Stałą czasową T przetwornika pierwszego rzędu oraz stałe czasowe T1 i
T2 dla aperiodycznego przetwornika rzędu drugiego (ξ >1) najłatwiej wyznaczyć z
Rys. 3. Graficzna metoda wyznaczania stałych czasowych silnie tłumionego przetwornika drugiego
rzędu.
logarytmicznych
charakterystyk
amplitudowo-częstotliwościowych,
prowadząc
asymptoty o odpowiednich nachyleniach. Punkty przecięcia asymptot po zrzutowaniu
na oś ω pozwalają odczytać wartości pulsacji, których odwrotności dają odpowiednie
stałe czasowe. W przypadku przetwornika oscylacyjnego parametry ξ i ω 0 określa się
na podstawie pomiaru parametrów A0, Mp i ωr charakterystyki amplitudowoczęstotliwościowej (rys. 9.4) odpowiednio z zależności: M p / A 0  0,5 /  1   2 oraz


r  0 1  2 2 .
Rys. 4. Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa przetwornika oscylacyjnego drugiego rzędu.
Zastosowanie charakterystyk statycznych i dynamicznych:
 określają własności elementów,
 są niezbędne dla projektowania układów automatyki,
 są przydatne przy tworzeniu modeli układów sterowania i regulacji.
Podstawowym wyrażeniem określającym własności dynamiczne elementu jest
transmitancja operatorowa, czyli tzw. funkcja przejścia.