Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej

Zestaw nr 6
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej.
Elastyczność funkcji. Regula de l’Hospitala
November 12, 2009
Przykladowe zadania z rozwia̧zaniami
Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuja̧cych funkcji:
a) f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ sumy otrzymujemy
(x4 + 3x3 + 2x2 + x)0 = (x4 )0 + (3x3 )0 + (2x2 )0 + (x)0 = 4x3 + 3 · 3x2 + 2 · 2x + 1 = 4x3 + 9x2 + 4x + 1.
b)f (x) = x1/2 + 1/x
√
√
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ sumy otrzymujemy ( x + 1/x)0 = ( x)0 +
√
1
1
(1/x)0 = 2·√
− x12 gdyż ( x)0 = 2·√
oraz (1/x)0 = − x12 .
x
x
c) f (x) = 3x · log x. Przypominamy, że logx oznacza logarytm naturalny z liczby x.
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · log x)0 =
(3x) · (logx)0 + (3x)0 · logx = 3x · x1 + 3logx, gdyż (logx)0 = 1/x oraz (3x)0 = 3.
d) f (x) = 3x · ex
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · ex )0 = 3x ·
(ex )0 + (3x)0 · ex = 3xex + 3 · ex , ponieważ (ex )0 = ex .
e) f (x) =
3
x−3
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ ilorazu funkcji otrzymujemy
(3)0 ·(x−3)−3·(x−3)0
(x−3)2
3 0
) =
( x−3
f) f (x) =
=
−3
(x−3)2
x2 −1
2x2 +1
2
x −1 0
Rozwia̧zanie: Korzystaja̧c z wzoru na pochodna̧ ilorazu funkcji otrzymujemy ( 2x
2 +1 ) =
=
(x2 − 1)0 · (2x2 + 1) − (x2 − 1)(2x2 + 1)0
2x(2x2 + 1) − 4x(x2 − 1)
6x
=
=
2
2
2
2
2
(2x + 1)
(2x + 1)
(2x + 1)2
1
g) f (x) = (x2 + 1)1/2
Rozwia̧zanie: Korzystamy z wzoru na pochodna̧ funkcji zlożonej (g(h(x)))0 = g 0 (h(x)) · h0 (x).
√
√
Niech g(x) = x oraz h(x) = x2 + 1 Wiadomo, że ( x)0 = 2√1 x oraz (x2 + 1)0 = 2x. Wówczas
f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 =
√1
2 x2 +1
· 2x.
h) f (x) = ln(3x2 + x − 4)
Rozwia̧zanie: Korzystamy z wzoru na pochodna̧ funkcji zlożonej (g(h(x)))0 = g 0 (h(x)) · h0 (x)
Niech g(x) = log x oraz h(x) = 3x2 + x − 4 Wiadomo, że (log x)0 =
1
Wówczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = 3x2 +x−4
· (6x + 1).
1
x
oraz (3x2 + x − 4)0 = 6x + 1.
i) f (x) = log3 (x2 + x + 1)
Rozwia̧zanie: Korzystamy z wzoru na pochodna̧ funkcji zlożonej (g(h(x)))0 = g 0 (h(x)) · h0 (x)
1
oraz (x2 + x + 1)0 = 2x + 1.
Niech g(x) = log3 x oraz h(x) = x2 + x + 1 Wiadomo, że (ln3 x)0 = x·log3
1
Wówczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = (x2 +x+1)·log3
· (2x + 1).
j) f (x) = (2/3)1−3x
2
Rozwia̧zanie: Korzystamy z wzoru na pochodna̧ funkcji zlożonej (g(h(x)))0 = g 0 (h(x)) · h0 (x)
Niech g(x) = (2/3)x oraz h(x) = 1 −3x2 Wiadomo, że ((2/3)x )0 = (2/3)x · log(2/3) oraz (1− 3x2 )0 =
2
−6x. Wówczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = (2/3)1−3x · (−6x) · log(2/3).
k) f (x) = (3x4 + x3 + x)5
Rozwia̧zanie: Korzystamy z wzoru na pochodna̧ funkcji zlożonej (g(h(x)))0 = g 0 (h(x)) · h0 (x)
Niech g(x) = x5 oraz h(x) = 3x4 + x3 + x Wiadomo, że (x5 )0 = 5x4 oraz (3x4 + x3 + x)0 =
12x3 + 3x2 + 1. Wówczas f (x) = g(h(x)) oraz (g(h(x)))0 = 5(3x4 + x3 + x)4 · (12x3 + 3x2 + 1).
Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) jeśli f (x) =
x2 − 3x + 2 oraz x0 = 2
Rozwiazanie: Rownanie prostej l ma postac
y = ax + b
Jeśli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) to z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że a = f 0 (x0 ). Styczna oraz wykres funkcji f maja̧ wspólny punkt
(x0 , f (x0 )) co daje
f (x0 ) = a · x0 + b
czyli
b = f (x0 ) − a · x0 .
Podstawiajac wartości liczbowe otrzymujemy: f 0 (x) = 2x − 3 czyli f 0 (2) = 1 oraz b = f (2) − 1 · 2 =
−2. Równanie stycznej ma postać
y = x − 2.
2
Zadanie 3. Jaki ka̧t z osia̧ Ox tworzy styczna do paraboli f (x) = x2 − 3x + 8 w punkcie (2, 6) ?
Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że tangens ka̧ta α miȩdzy
styczna̧ a osia̧ Ox wynosi f 0 (2) czyli f 0 (x) = 2x − 3 oraz f 0 (2) = 1 co daje α = 450 .
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 2 jest równolegla
do osi Ox?
Rozwiazanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) jest równolegla do osi Ox gdy
f 0 (x0 ) = 0. Zatem f 0 (x0 ) = 3x20 − 6x0 − 9 = 0. Rozwia̧zuja̧c to równanie kwadratowe otrzymujemy
odpowiednio ∆ = 144 oraz pierwiastki x1 = 3 lub x2 = −1. W punktach (3, f (3)) oraz (−1, f (−1))
styczne sa̧ równolegle do osi Ox.
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji f (x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
Rozwiazanie: Z definicji elastyczność Ex f funkcji f w punkcie x dana jest wzorem Ex f =
11
Zatem f 0 (x) = 2x + 5, f 0 (3) = 11 oraz f (3) = 27, co daje E3 f = 27
· 3 = 11/9.
f 0 (x)
f (x)
· x.
Zadanie 6. Korzystaja̧c z reguly de l’Hospitala oblicz granice:
x3 −1
x2 −1
x
limx→0 e x−1
a) limx→1
b)
Rozwiazanie: a) Funkcje f (x) = x3 − 1 oraz g(x) = x2 − 1 sa̧ określone na R oraz różniczkowalne
w dowolnym punkcie x ∈ R, zatem z reguly de l’Hospitala otrzymujemy:
(x3 − 1)0
3x2
x3 − 1
=
lim
=
lim
= 3/2.
x→1 (x2 − 1)0
x→1 2x
x→1 x2 − 1
lim
b) Funkcje f (x) = ex − 1 oraz g(x) = x spelniaja̧ zalożenia tw. de l’Hospitala, mamy wiȩc:
ex − 1
(ex − 1)0
ex
= lim
=
lim
= 1.
x→0
x→0
x→0 1
x
(x)0
lim
1
Dodatkowe zadania z odpowiedziami
Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nastepuja̧cych funkcji:
a) f (x) = x4 + 6x3 + 8x2 + x
Odp. f 0 (x) = 4x3 + 18x2 + 16x + 1
b)f (x) = x1/3
Odp. f 0 (x) =
3
3·(x)2/3
c) f (x) = 3x · log(x − 1)
Odp. f 0 (x) =
3x
x−1
+ 3 log(x − 1)
3
d) f (x) = 3(x + 2) · ex−2
Odp. f 0 (x) = 3(x + 2) · ex−2 + 3 · ex−2
e) f (x) =
x+3
x−3
Odp. f 0 (x) =
f) f (x) =
−6
(x−3)2
x2 −3
x2 +2
Odp. f 0 (x) =
10x
(x2 +2)2
g) f (x) = (x2 + x + 1)1/2
Odp. f 0 (x) =
√2x+1
2 x2 +x+1
h) f (x) = log(3x2 + 8)
Odp. f 0 (x) =
6x
3x2 +8
i) f (x) = log3 (x2 + 4x + 7)
Odp. f 0 (x) =
j) f (x) = 3x
2x+4
(x2 +4x+7)log3
4
4
Odp. f 0 (x) = 4x3 · 3x · log3
k) f (x) = 5x
3 −7x+2
Odp. f 0 (x) = 5x
3 −7x+2
· (3x2 − 7) · log5
l) f (x) = (2x2 + 2x)(3x4 + x)
Odp. f 0 (x) = (2x2 + 2x)(12x3 + 1) + (4x + 2)(3x4 + x)
m) f (x) = (3x3 + x2 + x)5
Odp. f 0 (x) = 5(3x3 + x2 + x)4 · (9x2 + 2x + 1)
Zadanie 2. Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , f (x0 )) jeśli
a) f (x) = x2 − x + 2 oraz x0 = 2
b) f (x) = x3 − x2 + 2 oraz x0 = 1
Odpowiedź: a) y = 3x − 2 b) y=x+1
Zadanie 3. Jaki ka̧t z osia̧ Ox tworzy styczna do paraboli f (x) = x2 − 3x + 8 w punkcie x = 1.5 ?
Odpowiedź: Ka̧t 00
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f (x) = x3 − 9x + 2 jest równolegla do
osi Ox?
√
√
Odpowiedź: Dla x0 = 3 lub x0 = − 3.
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji
4
a) f (x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
b) f (x) = ex + 1 dla x0 = 2
Odpowiedź: a) 27/17 b)
2e2
e2 +1
Zadanie 6. Korzystaja̧c z reguly de l’Hospitala oblicz granice:
x9 −1
x2 −1
x
limx→∞ ex
limx→∞ log(x+1)
x
x
limx→0 e −x−1
x2
5x −1
limx→∞ x2
a) limx→1
b)
c)
d)
e)
Odpowiedź: a) 9/2, b) ∞, c) 0, d) 1/2, e) ∞.
5