podstawy metrologii ćwiczenie 2 – rezystancja wewnętrzna

PODSTAWY METROLOGII
ĆWICZENIE 2 – REZYSTANCJA WEWNĘTRZNA
Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010
SEMESTR 3
Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
W związku z tym ich poprawność jest wątpliwa i w przypadku ewentualnych błędów proszę zgłaszać poprawki do autora.
(dane kontaktowe na końcu opracowania)
Zadanie 2A.1
Napięcie zmierzone na wyjściu nieobciążonego rzeczywistego źródła napięcia (zasilacza) wynosiło 12V. Po podłączeniu
obciążenia o rezystancji 10Ω napięcie spadło do 10V. Narysować obwód z obciążeniem i schematem zastępczym zasilacza.
Podać wartości wszystkich elementów w obwodzie.
Obwód z obciążeniem i schematem zastępczym zasilacza:
1
Rozwiązanie:
Początkowym krokiem będzie przypomnienie sobie jaki jest schemat zastępczy rzeczywistego źródła napięcia:
Rzeczywiste źródło napięcia zastępuje się jednym doskonałym źródłem napięcia oraz rezystancją wewnętrzną połączoną z
źródłem szeregowo. W naszym zadaniu musimy policzyć właśnie rezystancję wewnętrzną jaka pojawia się na schemacie
powyżej. W tym celu musimy przerysować nasz obwód z tą różnicą, że uwzględnimy dodatkowo obciążenie w postaci
rezystora 10 ohmowego:
Jak łatwo zaobserwować, w zadaniu mamy do rozwiązania zwykły rezystancyjny dzielnik napięcia, którego wzór
wyprowadzimy poniżej:
Składnik U1/U2 = R1/R2 wynika z tego, że przez cały obwód płynie ten sam prąd I, czyli I=U1R1=U2R2. W każdym razie, wracając
do zadania, musimy dostosować wyprowadzony wzór do naszych warunków:
ܴଶ
ܷଶ = ൬
൰∗ܷ
ܴଵ + ܴଶ
Przekształcamy na:
ܴ
ܷ௢௕ = ൬
൰ ∗ ܷ௭௔௦
ܴௐ + ܴ
2
ܴௐ
ܷ௢௕
ܴ
=
ܷ௭௔௦ ܴௐ + ܴ
ܷ௢௕
(ܴ + ܴ) = ܴ
ܷ௭௔௦ ௐ
ܷ௭௔௦
12
=
∗ܴ−ܴ =
∗ 10 − 10 = 2ߗ
ܷ௢௕
10
Drugim sposobem rozwiązania jest metoda oczkowa – natężenie prądu I w całym obwodzie jest takie samo, czyli:
ܷ௢௕ 10
=
=1‫ܣ‬
‫=ܫ‬
ܴ
10
Zapisujemy napięcia na oczku z napięciowego prawa Kirchhoffa:
ܷ௭௔௦ − ܷோೈ − ܷ௢௕ = 0
12 − ‫ܴ ∗ ܫ‬ௐ − 10 = 0
ܴௐ = 12 − 10 = 2 ߗ
Zadanie 2A.2
Zasilacz z poprzedniego zadania obciążono opornikiem 6Ω a następnie odbiornikiem pobierającym prąd 1A. Policzyć napięcie
na wyjściu zasilacza dla obu przypadków.
Uzas=
Uzas=
Rozwiązanie:
Ponieważ zasilacz, tj. źródło napięcia, jest to samo co w poprzednim zadaniu, więc napięcie ‫ ܧ‬jakie będzie wytwarzało będzie
równe 12 V (w zależności od oznaczenia, możemy to również zapisać jako ܷ௜௡ = 12 ܸ, ale oczywiście już ܷ௭௔௦ odpada ze
względu na oznaczenia wymuszone z treści zadania). Jedyne co teraz musimy zrobić, to sięgnąć ponownie po wzór
rezystancyjnego dzielnika napięcia:
ܴ௢௕௖௜ąż௘௡௜௔
ܷ௢௕௖௜ąż௘௡௜௔ = ቆ
ቇ ∗ ܷ௭௔௦௜௟௔௡௜௔
ܴ௪௘௪௡ę௧௥௭௡௔ + ܴ௢௕௖௜ąż௘௡௜௔
Czyli dla nas:
ܴ
ܷ௭௔௦ = ൬
൰∗‫ܧ‬
ܴ௪௘௪ + ܴ
Dla pierwszego obwodu:
6
6
ܷ௭௔௦ = ൬
൰ ∗ 12 = ∗ 12 = 9 ܸ
2+6
8
3
Dla drugiego obwodu:
ܷ௭௔௦
ܷ௭௔௦
‫ܫ‬
=൬
ቍ∗‫ܧ‬
൰∗‫ = ܧ‬ቌ
ܷ
ܴ௪௘௪ + ܴ
ܴ௪௘௪ + ௭௔௦
‫ܫ‬
ܷ௭௔௦
ܷ௭௔௦
ܷ௭௔௦ ൬ܴ௪௘௪ +
∗‫ܧ‬
൰=
‫ܫ‬
‫ܫ‬
ܷ௭௔௦
‫ ܫ‬൬ܴ௪௘௪ +
൰=‫ܧ‬
‫ܫ‬
‫ܴܫ‬௪௘௪ + ܷ௭௔௦ = ‫ܧ‬
ܷ௭௔௦ = ‫ ܧ‬− ‫ܴܫ‬௪௘௪ = 12 − 2 = 10ܸ
ܴ
Oczywiście, drugi obwód jest wygodniej liczyć oczkowo, ponieważ unika się wielu przekształceń. Na koniec zadania
podkreślam żeby pamiętać o wpisaniu wyliczonych napięć w odpowiednie miejsca do tego przeznaczone!
Zadanie 2A.3
Ogniwo obciążono rezystorem. Następnie zmierzono napięcie na ogniwie dwoma woltomierzami o dwóch różnych
rezystancjach wewnętrznych. Narysować schemat obwodu z uwzględnieniem schematów zastępczych ogniwa i woltomierza.
Na podstawie parametrów podanych na schemacie policzyć jakie będą wskazania woltomierzy w obu przypadkach.
Obwód ze schematami zastępczymi ogniwa i woltomierza
Obliczenia dla woltomierza 10G Ω
Obliczenia dla woltomierza 1M Ω
Rozwiązanie:
Tym razem potrzebujemy schematu zastępczego rzeczywistego woltomierza. W przeciwieństwie do amperomierza,
woltomierz powinien mieć jak największą rezystancję wewnętrzną, by jak najmniej prądu „uciekało” z obwodu:
Jak widać na ilustracji, pomiar napięcia w rzeczywistym woltomierzu jest faktycznie pomiarem spadku napięcia na jego
rezystancji wewnętrznej. Teraz przejdziemy dalej, czyli do narysowania schematu obwodu z uwzględnieniem schematu
zastępczego dla woltomierza i źródła napięcia:
4
Teraz, by rysunek był zgodny z oznaczeniami zadania, zamieszczam poniżej jeszcze jeden schemat, na którym
przeprowadzone zostaną obliczenia:
W obliczeniach można pominąć obecność woltomierza. Pierwszym krokiem będzie obliczenie rezystancji zastępczej dwóch
oporników połączonych równolegle, czyli ܴ i ܴ௏ (rozwiązujemy przypadek pierwszy, czyli ܴ௏ = 10‫)ܩ‬:
1
1
1
= +
ܴ௭௔௦௧ ܴ ܴ௏
ܴ ∗ ܴ௏
1‫ ∗ ܯ‬10‫ܩ‬
ܴ௭௔௦௧ =
=
≈ 999 900 ߗ
ܴ + ܴ௏ 1‫ ܯ‬+ 10‫ܩ‬
W tym miejscu małe przypomnienie jednostek:
giga
mega
kilo
10ଽ
10଺
10ଷ
I wracamy ponownie do zadania! Mamy już opór zastępczy, więc teraz potrzebujemy obliczyć jaki jest spadek napięcia na tym
oporze. W tym celu posłużymy się ponownie wzorem na dzielnik napięcia:
ܴ௭௔௦௧
999 900
ܷ௩௢௟௧ = ൬
∗ ܷ௭௡ ≈ 0,909 ∗ 1,5 ≈ 1,36 ܸ
൰ ∗ ܷ௭௡ =
ܴ௪௘௪ + ܴ௭௔௦௧
100 000 + 999 900
Dla wewnętrznego oporu woltomierza wartości 1M ohm otrzymujemy wynik (część druga zadania):
ܴ ∗ ܴ௏
1‫ ∗ ܯ‬1‫ܯ‬
ܴ௭௔௦௧ =
=
= 0,5‫ = ܯ‬500 000
ܴ + ܴ௏ 1‫ ܯ‬+ 1‫ܯ‬
ܴ௭௔௦௧
500 000
ܷ௩௢௟௧ = ൬
∗ ܷ௭௡ ≈ 0,83 ∗ 1,5 ≈ 1,25 ܸ
൰ ∗ ܷ௭௡ =
ܴ௪௘௪ + ܴ௭௔௦௧
100 000 + 500 000
5
Zadanie 2A.4
Źródło napięcia obciążono rezystorem, a następnie na dwa sposoby zmierzono prąd i napięcie w obwodzie. Zaznaczyć
krzyżykiem, który układ poprawnie mierzy prąd w obciążeniu. Narysować schematy zastępcze obwodów i policzyć wskazania
mierników.
Schemat zastępczy
Obliczenia
Woltomierz:
Amperomierz:
Schemat zastępczy
Obliczenia
Woltomierz:
Amperomierz:
Rozwiązanie:
Na początek pytanie – jak wygląda schemat zastępczy rzeczywistego amperomierza? Jak to napisałem powyżej, amperomierz
powinien mieć rezystancję wewnętrzną bliską zeru, ponieważ nie powinien doprowadzać do spadków napięcia i zmian w
rozkładzie oporów w obwodzie.
6
OBWÓD 1:
W konsekwencji otrzymujemy doskonały amperomierz, połączony z rezystancją wewnętrzną szeregowo. Łącząc tą informację
ze schematem zastępczym woltomierza, otrzymujemy schemat zstępczy naszego pierwszego obwodu:
Przechodzimy teraz do obliczeń. Na początek potrzebujemy rezystancji zastępczej oporu woltomierza i opornika 1M:
ܴ ∗ ܴ௏
1‫ ∗ ܯ‬10‫ ܯ‬10
=
=
‫ ≈ ܯ‬0,9091‫ ≈ ܯ‬0,91‫ܯ‬
ܴ௭௔௦௧ =
ܴ + ܴ௏ 1‫ ܯ‬+ 10‫ ܯ‬11
Teraz zapiszmy prawo Kirchhoffa dla naszego obwodu:
‫ܷ = ܧ‬஺ + ܷ௏ = ‫ܴ ∗ ܫ‬஺ + ‫ܴ ∗ ܫ‬௭௔௦௧ = ‫ܴ(ܫ‬஺ + ܴ௭௔௦௧ )
‫ܧ‬
1
‫=ܫ‬
=
≈ 1,0989 ∗ 10ି଺ ‫ = ܣ‬1,0989 ߤ‫ܣ‬
ܴ஺ + ܴ௭௔௦௧ 0,1 + 910 000
W tym miejscu ponownie małe przypomnienie jednostek:
mili
mikro
Nano
10ିଷ = 0,001
10ି଺ = 0,000 001
10ିଽ = 0,000 000 001
7
Wiedząc jaki prąd płynie w obwodzie (taki właśnie zostanie zmierzony przez amperomierz), możemy obliczyć wskazanie
woltomierza:
ܷ௏ = ‫ܴ ∗ ܫ‬௭௔௦௧ = 0,000 001 0989 ∗ 910 000 = 0,999999 ≈ 1ܸ
(Z mojej małej obserwacji wynika, że lepiej jest zapisać coś w rodzaju 0,99, niż wynik 1 wolt.)
OBWÓD 2:
Teraz przechodzimy do drugiego obwodu, którego schemat zastępczy wygląda następująco:
Od razu widać, iż to właśnie ten obwód mierzy dokładniej ilość prądu przepływającego przez opór 1M. W poprzednim
obwodzie część prądu „uciekało” do woltomierza, co nie zostało zobrazowane przez amperomierz, bowiem został on
umieszczony przed woltomierzem, czyli mierzył natężenie prądu w obwodzie, a nie konkretnie na interesującej nas rezystancji.
Zastępczy opór amperomierza i opornika 1M to:
ܴ௭௔௦௧ = ܴ஺ + 1‫ = ܯ‬0,1 + 1 000 000 = 1 000 000,1 ≈ 1‫ܯ‬
Należy zwrócić uwagę, iż napięcie generowane przez źródło, będzie takie samo na wszystkich częściach obwodu przez
równoległe połączenie:
‫ܷ = ܧ‬௓ = ܷ௏ = 1ܸ
W takim wypadku, natężenie prądu jakie zmierzy amperomierz będzie równe:
8
‫ܷ = ܧ‬௓ = ‫ܴ ∗ ܫ‬௭௔௦௧
ܷ௓
1
‫=ܫ‬
=
= 9,9999990000001 ∗ 10ି଻ = 10ି଺ ‫ = ܣ‬1 ߤ‫ܣ‬
ܴ௭௔௦௧ 1 000 000,1
(Po raz kolejny okazuje się, że lepiej odnotować wartość 0,999 * 10-6lub 0,999 μA, niż 1.)
Woltomierz wskaże natomiast napięcie o wartości 1V.
W przypadku błędów w notatce lub pytań i sugestii, proszę kontaktować się z autorem.
Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej.
mail – [email protected]
www - http://student.agh.edu.pl/~bonesaaa/
Pozdrawiam,
Mike (BNS).
9