Relaksacja punktowa i globalna, nadrelaksacja

Relaksacja punktowa i globalna,
nadrelaksacja ∗
Rozwi¡»emy równanie Poissona
∇2 φ = −ρ
(1)
w dwóch wymiarach na pudle (i, j) ∈ [−50, 50] × [−50, 50] z krokiem ∆x =
∆y = 1. Na brzegu kªadziemy potencjaª równy 0 (uziemione metalowe
pudªo). G¦sto±¢ ªadunku jest równa : ρij = 1 dla (i, j) ∈ [−10, 10]×[−10 : 10]
i 0 w pozostaªych punktach siatki.
Na starcie iteracji przyjmiemy zerowy potencjaª wsz¦dzie. Zastosujemy
przepis iteracyjny: w p¦tli po i oraz j wyliczymy now¡ warto±¢ potencjaªu
w punkcie (i, j)
φij := (1 − ω)φij + ω
φ(i+1)j + φ(i−1)j + φi(j+1) + φi(j−1) + ρij dx2
.
4
(2)
Poni»ej, przez 'jedn¡ iteracj¦' rozumie¢ b¦dziemy peªen obieg p¦tli po i oraz
j.
(I.) Wzór (2) odpowiada punktowej podrelaksacji, relaksacji (metoda
Gaussa-Seidla) i nadrelaksacji dla odpowiednio ω < 1, ω = 1 oraz ω > 1.
Przedyskutowa¢ zbie»no±¢ funkcjonaªu
Z (
a=
"
#
)
1 ∂φ 2
∂φ
( ) + ( )2 − ρφ dxdy
2 ∂x
∂y
(3)
w funkcji ω . Przy dyskretyzacji gradientu pod caªk¡ dziaªania u»y¢ symetrycznego
ilorazu ró»nicowego pochodnej. Uznajemy »e zbie»no±¢ zostaªa uzyskana je±li
a z iteracji na iteracj¦ przestaje si¦ zmienia¢ w znacz¡cy sposób. Znale¹¢ optymaln¡ warto±¢ ω , dla której zbie»no±¢ osi¡gana jest po najmniejszej liczbie
∗
Laboratorium z in»ynierskich metod numerycznych, Wydziaª Fizyki i Informatyki
Stosowanej AGH 2009/2010. [email protected]
1
2
iteracji (30 punktów za udokumentowany rysunkami wybór parametu ω ).
Narysowa¢ wykres konturowy potencjaªu (20 punktów).
(II.) Odwracamy równanie Poissona: znamy potencjaª i chcemy z niego
wydoby¢ g¦sto±¢ ªadunku. Wyliczy¢ ρ = −∇2 φ wzdªu» osi y . Porówna¢ z
g¦sto±ci¡ wprowadzon¡ do równania (2) (20 punktów).
(III.) Zbada¢ zbie»no±¢ relaksacji globalnej. Operujemy na dwóch tablicach (nowy i stary potencjaª) i wykonujemy dwie peªne podwójne p¦tle po i
oraz j . W pierwszej robimy
φ0ij
φ(i+1)j + φ(i−1)j + φi(j+1) + φi(j−1) + ρij dx2
:= (1 − ω)φij + ω
,
4
a w drugiej
φij := φ0ij .
(4)
(5)
Dla ω = 1 powy»szy przepis to relaksacja Jakobiego. Przedyskutowa¢ zbie»no±¢
procesu iteracji globalnej w funkcji ω (dla jakich ω relaksacja globalna jest
zbie»na? - za udokumentowany wykresem wniosek 20 pkt.). Znale¹¢ optymalne ω . Porówna¢ tempo zbie»no±ci relaksacji globalnej z relaksacj¡ punktow¡ (dla ka»dej z metod przyj¡¢ optymalne ω (10 pkt)) .