jest hoo.fr
Transkrypt
jest hoo.fr
Funkcja falowa fotonu dr Wilhelm Czapliński Funkcja falowa fotonu • Foton - A.Einstein, Ann. Phys. 17(1905) 132 . - G.N.Lewis, Nature 118 (1926) 874 • II. kwantyzacja pola elektromagnetycznego – P.A.M.Dirac, Proc. Royal. Soc. (London) A114 (1927) 243 • równanie Diraca – P.A.M. Dirac, Proc. Royal. Soc. (London) A117 (1928) 610 A118 (1928) 351 Plan działania 1. Konstrukcja równania falowego dla fotonu w przestrzeni pędów → w przestrzeni „położeń” ∂ψ (r , t ) ˆ i = Hψ ( r , t ) ∂t 2. Dobranie stosownej normalizacji funkcji falowej ψ (r , t ) 1. Równanie falowe dla fotonu w przestrzeni pędów Równania Maxwella w próżni, w przedstawieniu położeniowym: ∂E 2 = c ∇× B ∂t ∂B = −∇ × E ∂t ∇⋅B= 0 ∇⋅E = 0 W przedstawieniu pędowym (wektora falowego) : E (r , t ) = ∫ d 3k ik ⋅r E ( t ) e (2π )3 k B(r , t ) = ∫ d 3k i k ⋅r B ( t ) e (2π )3 k Pola E (r , t ) i B (r , t ) są rzeczywiste → → * E−k = Ek * B− k = Bk - zadane w półprzestrzeni wektora k 2 Ek = ic k × Bk Bk = −i k × Ek k ⋅ Ek = 0 k ⋅ Bk = 0 − 2 Stąd: Bk = iω k × Ek ω = kc E + ω 2 E = 0 k k Wprowadźmy: f k = ← r. ruchu dla pola E k (t ) 1 i ( Ek + Ek ), 2N k ω gdzie k ⋅ f k = 0 , N = * f −k = 1 i ( Ek − Ek ) ≠ f k → 2N k ω → warunki poprzeczności f k c , [ f k ] = m 3 2 2ε o zadane w całej przestrzeni wektora k * Ek = N k ( f k + f −k ) * Ek = −iω N k ( f k − f −k ) * Mając f k i f −k znajdujemy z równania ruchu dla Ek i war. poprzeczności k ⋅ f k = 0 ∂f k k k ⋅ i = ω 1 − 2 f k ∂t k ∂f k i = Hˆ k f k ∂t k ⋅ f k (0) = 0 k k ⋅ ˆ gdzie H k = ω 1 − 2 , k ← r. ruchu dla pola f k (t ) ← war. początkowy f k -kandydat na funkcję falową fotonu w reprezentacji pędowej • Energia pola elekromagnetycznego: 1 3 B2 d 3k 2 H= d r ε o E + = ω 3 2 µ0 (2π ) d 3k * ˆ = fk ⋅ Hk fk = 3 (2π ) ∫ ∫ ∫ * f k ⋅ f k = ˆ f k H k f k • Pęd pola elekromagnetycznego: 1 3 S 3 ( E × B) = P= d r = d r c cµ 0 d 3k * = k f k ⋅ f k = f k k f k 3 (2π ) ∫ ∫ ∫ • Moment pędu pola elekromagnetycznego: 1 S 3 3 [ r × ( E × B )] = M = d r (r × ) = d r c cµ 0 ∫ ∫ d 3k * = f k ⋅ k × ∇k + s f k = f k Jˆ f k 3 i (2π ) ∫ 0 0 0 0 0 i 0 − i 0 sˆx = 0 0 − i , sˆ y = 0 0 0 , sˆz = i 0 0 0 i 0 − i 0 0 0 0 0 wartości własne: -1, 0, 1 2 0 0 2 sˆ = 0 2 0 0 0 2 → s =1 Stany własne operatorów ŝ 2 i ŝ z : 1 0 1 1 1 χ −1 = − i , χ 0 = 0 , χ −1 = i 2 2 e2 0 1 0 1 1 χ −1 = (e1 − ie2 ) , χ 0 = k k , χ1 = (e1 + ie2 ) , 2 2 1 f k = f λ (k ) χ λ e1 ∑ λ = −1 Z warunku poprzeczności k ⋅ f k = 0 → f 0 (k ) = 0 f k = f −1 (k ) χ −1 + f1 (k ) χ1 k/k 2. Normalizacja ∫ d 3k * fk ⋅ fk = 1 3 (2π ) * ρk = f k ⋅ f k f k Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia fotonu o pędzie k - funkcja falowa fotonu w przedstawieniu pędowym Funkcja falowa fotonu w przedstawieniu położeniowym • Funkcja falowa Landaua i Peierlsa ψ LP (r , t ) = [ψ LP ] = m −3 2 ∫ → d 3 k − k⋅r f e 3 k (2π ) ∫ d r ψ LP (r , t ) 2 = 1 3 * Ek = N k ( f k + f − k ) → E (r , t ) = N ψ LP (r , t ) ~ 4 - Z.Phys.62 (1930) 188 * ik⋅r d 3k k ( f k + f − k ) e 3 (2π ) 3 1 d r' −5 2 E ( r , t ) = π ( 2π ) E (r ' , t ) 52 −∆ r '− r ∫ ∫ ψ ( r Wady LP , t ) : 1. Jest obiektem nielokalnym 2. Jej wartość w punkcie r w jednym układzie odniesienia zależy od wartości w całej przestrzeni w innym układzie 4. Nie transformuje się jak tensor 4. Nie da się dla niej wyprowadzić r. ciągłości • Funkcja falowa fotonu w/g I.Białynickiego-Biruli - Acta Phys. Polon. 86 (1994) 97 E (r , t ) = N ∫ ∫ * ik⋅r d 3k k ( f k + f − k ) e 3 (2π ) −k⋅r d 3k k f k e 3 (2π ) ψ (r , t ) = εo N c 2 ∫ - lokalnie zależy od pola E −k⋅r d 3k k f k e , 3 (2π ) [ψ ] = J m 3 Równanie falowe dla fotonu w przedstawieniu położeniowym ∂f k i = Hˆ k f k = ω ∂t k k ⋅ 1 − 2 f k = ω f k k f k ,λ = f λ (k ) χ λ λ = +1, − 1 λ ik × f k ,λ = (−1) f k ,λ ∇ × a (r ) = −i ( s ⋅ ∇) a (r ) ik⋅r d 3k λ ∂ k ik × f k ,λ e = ( −1) i ψ λ (r , t ) 3 ∂t ( 2π ) ∂ λ i ψ λ (r , t ) = (−1) c( s ⋅ i∇)ψ λ (r , t ) ∂t pˆ ∇ ×ψ λ (r , t ) = c 2 ∫ Należy uwzględnić obie polaryzacje fotonu → tworzymy funkcję ψ +1 Ψ = , ψ −1 ψ ψ 1 0 +1 +1 σ 3Ψ = = 0 − 1ψ −1 −ψ −1 ∂ i Ψ = cσ 3 ( s ⋅ pˆ ) Ψ ∂t cσ 3 ( s ⋅ pˆ ) = Hˆ - Hamiltonian fotonu Dla porównania - r. Diraca (w reprezentacji chiralnej) ∂ i Ψ = cσ 3 (Σ ⋅ pˆ ) Ψ + mc 2σ 1Ψ ∂t Dygresja Wektor Riemanna-Silbersteina (R-S) Tworzymy z pól E , B zespolony wektor: εo ( E (r , t ) + ic B(r , t ) ) F (r , t ) = 2 Równania Maxwella przyjmują postać: ∂ i F (r , t ) = c( s ⋅ pˆ ) F (r , t ) ∂t ∇ ⋅ F (r , t ) = 0 Normalizacja funkcji Ψ Wychodzimy z normalizacji w przestrzeni pędów: d 3 k * 1= fkλ ⋅ fkλ = Ψ Ψ (*) 3 λ = ±1 ( 2π ) ∑∫ ψ λ ( r , t ) = c 2 odwrotna transf. Fouriera: ∫ d 3k i k e ⋅r k f k ,λ (2π )3 f k ,λ = 2 1 c k ∫ d 3 r ψ λ ( r , t ) e − ik ⋅ r 3 + 1 Ψ Ψ = d r Ψ Ψ wstawiamy do (*): Hˆ + 1 3 Ψ2 ogólnie, iloczyn skalarny Ψ1 Ψ2 = d r Ψ1 Hˆ ∫ ∫ Interpretacja statystyczna 1 [Ψ ] = J m 3 , E = Ψ Hˆ Ψ = d 3 r Ψ + Hˆ Ψ = d 3r Ψ + Ψ Hˆ + Ψ (r , t )Ψ (r , t ) ρ E (r , t ) = , [ ρ E ] = 1 / m3 E + Ψ (r , t )σ 3 s Ψ (r , t ) j (r , t ) = , [ j ] = 1 /( s m 2 ) E ∫ ∫ Spełnione jest r. ciągłości (prawo zachowania): ∂ρ E + ∇ ⋅ jE (r , t ) = 0 ∂t ρ E -gęstość prawdop. znalezienia ENERGII fotonu (r , t ) w p-cie Podsumowanie 1. Równanie falowe dla fotonu w przedstawieniu pędowym ∂f k ,λ k k ⋅ = ω 1 − 2 f k ,λ , • i ∂t k λ = +1, − 1 2. Równanie falowe dla fotonu w przedst. położeniowym • Ψ (r , t ) = c 2 ∫ d 3k (2π )3 ∂ • i Ψ = cσ 3 ( s ⋅ pˆ ) Ψ ∂t f k ,1 k e ik ⋅ r f k , −1 Ψ (r , t )Ψ ( r , t ) - gęstość prawdop. znalezienia • ρ E (r , t ) = E ENERGII fotonu + w p-cie (r , t ) Literatura 1. Akhiezer, Berestetskii, „Kvantiovaja elektrodinamika” 3. I. Białynicki-Birula. Acta. Phys. Polon. A 86 (1997) 97 4. I. Białynicki-Birula. Progress in Optics XXXVI (1996) 245 5. R.H. Good, Phys. Rev. 105 (1957) 1914 5. J.E. Sipe, Phys. Rev. A 52 (1995) 1875