Zadania na środę, 27 stycznia Zadania 1, 2 oraz 3 dotyczą

Zadania na środę, 27 stycznia
Zadania 1, 2 oraz 3 dotyczą szyfrowania RSA. Niezbędne wiadomości na ten temat
można znaleźć np. w Wikipedii.
Zadanie 1. Dla liczb pierwszych p = 23 i q = 29 podać przykład konstrukcji klucza
publicznego (e, n) oraz klucza prywatnego (d, n).
Zadanie 2. Korzystając z klucza publicznego (7, 221) zakodować wiadomość m = 213
otrzymując c. Następnie, korzystając z klucza prywatnego (55, 221) rozkodować wiadomość c.
Zadanie 3. Pewien nierozważny bank do szyfrowania danych swoich klientów używa klucza publicznego (13, 589). Nie znając klucza prywatnego rozkoduj zakodowaną
wiadomość c = 326.
Zadanie 4. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że 4pq + 1 jest kwadratem
liczby naturalnej.
Wskazówka. Wykazać, że jeżeli 4pq + 1 jest kwadratem liczby naturalnej, to pq jest
iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wyciągnąć stąd wniosek, że p = 2 lub
q = 2. Ze względu na symetrię ograniczyć rozważania do przypadku q = 2. Wykorzystując jeszcze raz fakt, że 2p jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, wyznaczyć
możliwe liczby pierwsze p.
Ponadto zadania: 7, 15, 22 z rozdziału 4.