Zbiory mgr A. Piłat, mgr M. Małycha 1. Oceń wartość logiczną zdania
Transkrypt
Zbiory mgr A. Piłat, mgr M. Małycha 1. Oceń wartość logiczną zdania
Zbiory mgr A. Piłat, mgr M. Małycha 1. Oceń wartość logiczną zdania (jeżeli jest ono zdaniem logicznym): a) Gdynia jest miastem portowym. b) 7 jest liczbą szczęśliwą. c) Co masz zrobić jutro zrób dzisiaj. d) Liczba 7 i jej kwadrat powiększony o 4 są liczbami pierwszymi. √ e) Istnieje kwadrat, którego przekątna jest równa połowie obwodu lub istnieje kwadrat o polu 2. f ) Pole trójkąta równobocznego o boku 1 jest mniejsze od pola rombu o boku 1 lub jest większe od pola kwadratu o boku 1. q g) p: 6|3506, q: 4 49 ∈ W, r: liczba naturalna n, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 ma postać n = 3k + 2 dla pewnej liczby naturalnej k. Oceń wartość logiczną zdań (p ∨ r) ∧ q. h) Kilimandżaro jest największą górą Afryki wtedy i tylko wtedy, gdy struś jest największym ptakiem. i) Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to ma dwa boki równe. j) Jeżeli Poznań leży nad Odrą, to jest stolicą Wielkopolski. 2. Podane √ wyrażenie poprzedź kwantyfikatorem, aby otrzymać zdanie prawdziwe: a) x2 = |x| b) 6|n(n + 1)(n + 2) c) x2 −1 x+1 =3 d) liczba x jest jednocześnie liczbą pierwszą i liczbą parzystą. 3. Zbiór A ma 12 elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A ∪ B ma 17 elementów. Ile elementów należy do zbioru A \ B. 4. Wykonaj działania na zbiorach: a) C, N b) W, NW c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {−2, −1, 0, 1, 2} d) A = {x ∈ N : 10|x}, B = {x ∈ N : 5|x} 5. Zbiór A jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych, które spełniają nierówność |x + 24| 6 96, a zbiór B jest przedstawiony na osi liczbowej. a) Zapisz zbiór A w postaci przedzialu liczbowego. b) Opisz zbiór B za pomocą nierówności z wartością bezwzględną. c) Wykaż, że liczba 72 należy do zbioru A \ B. -42 72 x 6. Wyznacz wszystkie liczby x ∈ R, które spełniają nierówność x2 < 4x, ale nie spełniają nierówności |x + 2| < 3. 7. Dane są zbiory: A = {x ∈ R : x2 − 4x − 5 6 0} oraz B = {x ∈ R : x2 − 3x > 0}. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wyznacz zbiory A ∩ B i B \ A. 8. Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe: 2 p : −3 = 9, √ q : 81 + 64 = 17 −2 √ 1 3 4 . r: 27 = 9 Oceń wartość logiczną zdania: (p ∧ q) ⇒ r. Odpowiedź uzasadnij. 9. Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności: −x2 + 2x + 3 > 0, zbiór B jest dziedziną funkcji wymiernej x2 −9 W (x) = 4x−x 2 . Wyznacz różnicę zbiorów A \ B. 10. (R) a) Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami: q ⇒ (p ∨ q) p ⇒ (p ∧ q) ∼ (p ∧ (∼ q)) ⇔ ((∼ p) ∨ q) http://maria.malycha.eu/ Zbiory mgr A. Piłat, mgr M. Małycha [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q) b) Rozstrzygnij, czy poprawne jest rozumowanie: Jeżeli wiesz, że umarłeś to umarłeś i jeżeli wiesz, że umarłeś to nie umarłeś więc nie wiesz, że umarłeś. 11. (R) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność: log 12 (2 − x2 − y 2 ) > −1. 12. (R) Zbadaj, czy pierwiastki równania nierówności: log 13 (log4 (x2 − 5)) > 0 i 1 2x 3 x+3 x+5 − 12 · 6 5. 1 x 3 + 27 = 0 należą do sumy zbiorów rozwiązań 13. (R) Dane sa zbiory A = {x; x ∈ R∧x5 −4x3 −8x2 +32 > 0}, B = {x; x ∈ R∧log0,1 (4−x2 ) > log0,1 (6x−3)}. Wyznacz zbiory A ∩ B, A \ B. p 1 14. (R) Zaznacz zbiór wszystkich par (x, y) liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie 4 4 − x2 − y 2 − √y−logx ma wartość rzeczywistą. Zbiór ten przedstaw graficznie na płaszczyźnie XOY. 15. (R) Wykonaj działania na przedziałach A, B, jeżeli A jest przedziałem, w którym funkcja f (x) = 1 rosnacą, B jest przedziałem będącym dziedziną funkcji g(x) = logx−log(4−x) . 16. (R) Niech A = {(x, y); |x| + |y| 6 2}, większe pole? 1+x √ x jest B = {(x, y); −1 6 x 6 1 ∧ 2 6 y 6 6}. Który z tych zbiorów ma 17. (R) W układzie wspołrzędnych zaznacz zbiór A ∩ B, gdy: A = {(x, y); x > −2 ∧ y 6 0}, B = {(x, y); y 2 6 |x + 1|}. 18. (R) W układzie współrzędnych XOY zaznacz iloczyn kartezjański A × B, gdy: A = {x; |x| > 1} B = {y; |y| 6 1}. http://maria.malycha.eu/