Rozdział 1.

Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
1
Rozdziaª 1
GENERATORY LICZB
PRZYPADKOWYCH
1.1 Liczby przypadkowe
1.1.1 Liczby rzeczywi±cie przypadkowe
Ci¡g liczb rzeczywi±cie (naprawd¦) przypadkowych jest nieprzewidywalny
i niereprodukowalny. Taki ci¡g mo»e by¢ generowany wyª¡cznie w procesie
pomiaru wielko±ci zycznej. Dost¦pny generator liczb rzeczywi±cie przypadkowych: np. baza danych Argonne National Laboratory, USA.
1.1.2 Liczby pseudoprzypadkowe
Liczby te s¡ generowane za pomoc¡ ±cisªych wzorów matematycznych,
a wi¦c s¡ reprodukowalne. S¡ jednak nierozró»nialne od ci¡gów naprawd¦
przypadkowych.
Przykªadowe generatory liczb pseudolosowych
ξi = (aξi−1 )(mod m) ,
(1.1)
ξi = (aξi−1 + b)(mod m) ,
(1.2)
lub
gdzie m oznacza moduª, a mno»nik, b staª¡ addytywn¡, a ξ0 jest warto±ci¡
startow¡,.
1.1.3 Liczby quasi-przypadkowe
Ci¡g liczb jest quasi-przypadkowy, je»eli niekoniecznie jest jest nierozró»nialny od ci¡gu przypadkowego, lecz prowadzi do prawidªowego rozwi¡zania
2
1. Generatory liczb przypadkowych
problemu metod¡ MC.
Przykªadowy generator liczb quasi-losowych
√ i(i + 1)
√ i(i + 1)
2
− E[ 2
],
(1.3)
2
2
gdzie E(x) oznacza cz¦±¢ caªkowit¡ liczby x. Generator (1.3) nie wykorzystuje poprzednio obliczonych warto±ci.
ξi =
1.1.4 Rozkªady prawdopodobie«stwa
Unormowana g¦sto±¢ prawdopodobie«stwa %(x) speªnia warunek
Z +∞
−∞
dx%(x) = 1 .
(1.4)
Najcz¦±ciej u»ywane rozkªady prawdopodobie«stwa:
(1) jednorodny rozkªad prawdopodobie«stwa w przedziale jednostkowym
(
%(x) =
1, je»eli 0 ≤ x ≤ 1 ,
0, je»eli x < 0 lub x > 1 ,
(1.5)
(2) jednorodny rozkªad prawdopodobie«stwa w przedziale dowolnym
(
%(x) =
1/(b − a) , je»eli a ≤ x ≤ b ,
0,
je»eli x 6∈ [a, b] ,
(1.6)
(3) rozkªad normalny (Gaussa)
1
2
2
%(x) = √ e−x /2σ ,
σ 2π
(1.7)
o warto±ci oczekiwanej < x >= 0, wariancji < x2 >= σ 2 , i odchyleniu
standardowym σ .
Generacja rozkªadu Gaussa
Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym suma du»ej liczby N niezale»nych zmiennych losowych podlega zawsze rozkªadowi normalnemu (rozkªadowi Gaussa) bez wzgl¦du na to, jakim rozkªadom podlegaj¡ poszczególne
zmienne losowe, pod warunkiem, »e posiadaj¡ one sko«czone warto±ci ±rednie
i wariancje, a N jest wystarczaj¡co du»e.
Przykªadowy generator rozkªadu Gaussa utworzony z generatora liczb losowych o rozkªadzie jednorodnym w przedziale [−1, 1]: ξ = warto±¢ zmiennej
losowej, SN sum¡ N liczb losowych ξ .
Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
*HQHUDFMDUR]NáDGX*DXVVD
1 .0
0 .8
0 .6
6
0 .4
0 .2
0 .0
-3
-2
-1
0
ξ
1
2
3
1 .0
0 .8
0 .6
6
0 .4
0 .2
0 .0
-3
-2
-1
0
ξ
1
2
3
1 .0
0 .8
0 .6
6
0 .4
0 .2
0 .0
-3
-2
-1
0
ξ
1
2
3
1 .0
0 .8
0 .6
6
0 .4
0 .2
0 .0
-3
-2
-1
0
ξ
1
2
5\V
Rys. 1.1. Ilustracja generacji rozkªadu Gaussa.
3
3