docSterowanie Napedów Maszyn i Robotów - Wykład 4b
download 
Reklamacja Transkrypt
Sterowanie Napedów Maszyn i Robotów - Wykład 4b
Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4b - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym dr inż. Jakub Możaryn Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016 dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji. Zalety: duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary. Wady: iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silników prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziaływania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wytwarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nieruchomej obudowie silnika zwanej stojanem. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem. Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagnetycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływającego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory strumienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie prostopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem sterowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego obwód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry elektryczne Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs – prędkość kątowa wirnika. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Rysunek : Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika parametry mechaniczne Ms – moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bezwładności zredukowany do wału wirnika, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności pomiędzy napięciem zasilającym silnik (Uz ) a prędkością kątową silnika (ωs ). Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie. Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika Uz = URw + ULw + E (1) Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako Ms = Ma + Mv + Mobc dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (2) Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego URw = Rw iw (3) Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez nią płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte) diw (4) ULw = Lw dt Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjonalna do prędkości kątowej wirnika E = ke ωs (5) gdzie: ke – stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania (10), otrzymamy Uz = Rw iw + Lw dr inż. Jakub Możaryn diw + ke ωs dt Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (6) Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać Ms = km iw (7) gdzie km – stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika. Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać Ma = J dωs dt (8) Moment związany z oporami ruchu wirnika Mv = Bωs (9) Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania (10) km iw = J dωs + Bωs + Mobc dt dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (10) Równanie dynamiki silnika DC Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC Uz = Rw iw + Lw diw + ke ωs dt (11) k i = J dωs + Bω + M m w s obc dt stosując przekształcenie Laplace’a Uz (s) = Rw iw (s) + Lw iw (s)s + ke ωs (s) km iw (s) = Jdωs s + Bωs (s) + Mobc (12) a następnie U (s) − ke ωs (s) iw (s) = z Rw + Lw s iw (s) = Jωs (s)s + Bωs (s) + Mobc km (13) czyli Uz (s) − ke ωs (s) Jωs (s)s + Bωs (s) + Mobc = Rw + L w s km dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (14) Równanie dynamiki silnika DC mając Jωs (s)s + Bωs (s) + Mobc Uz (s) − ke ωs (s) = Rw + L w s km (15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika km Uz (s) − km ke ωs (s) = (Rw + Lw s)(Jωs (s)s + Bωs (s) + Mobc ) (16) Rysunek : Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Równanie dynamiki silnika DC Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli: Mobc = 0 (17) co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = km ωs = Us (s) Lw Js 2 + (Rw J + Lw B)s + (km ke + Rw B) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (18) Budowa i działanie silnika elektrycznego DC Aby móc przeprowadzić numeryczną symulację działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załóżmy, że: Rw = 2 Ω, kg ṁ2 , s2 Lw = 0.1 H, J = 0.1 Nmṡ , rad V ṡ ke = 0.1 , rad Nm , km = 0.1 A B = 0.5 dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Do zaprojektowania układu regulacji pozycji siłownika pneumatycznego, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym Ẋ (t) = Amc X (t) + Bmc U(t) (19) y (t) = Cmc X (t) + Dmc U(t) gdzie: X (t) ∈ R n - wektor stanu, U(t) ∈ R m - wektor sygnałów sterujących, y (t) ∈ R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amc ∈ R n×n - macierz stanu Bmc ∈ R n×m - macierz sterowania, Cmc ∈ R p×m - macierz wyjścia. Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych. Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego, ciągłego układu dynamicznego. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC Uz = Rw iw + Lw diw + ke ωs dt (20) dω km iw = J s + Bωs + Mobc dt po przekształceniu k R 1 di w = − e ωs − w iw + Uz dt Lw Lw Lw dωs = − B ωs + km iw − 1 Mobc dt J J J można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań iw Uz Xfiz = , Ufiz = ωs Mobc dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (21) (22) Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań: iw Uz Xfiz = , Ufiz = (23) ωs Mobc jest następujący ke Rw − Lw − Lw Ẋfiz = km B − J J Y = 0 1 Xfiz + 1 Lw Xfiz + 0 0 0 Ufiz 0 1 Ufiz − J Ẋfiz = Afiz Xfiz + Bfiz Ufiz Y = Cfiz Xfiz + Dfiz Ufiz dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (24) (25) Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Mając transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs km = 2 Us (s) Lw Js + (Rw J + Lw B)s + (km ke + Rw B) (26) stosując następujące podstawienia kω02 = Rw J + Lw B km ke + Rw B km , 2ξω0 = , ω02 = Lw J Lw J Lw J (27) można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s) k = 2 2 U(s) T s + 2ξTs + 1 (28) G (s) = Y (s) kω02 = 2 U(s) s + 2ξω0 s + ω02 (29) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0 - pulsacja drgań nietłumionych. dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω02 s 2 + 2ξω0 s + ω02 (30) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ1 (t) = x2 (t) ẋ2 (t) = −ω02 x1 (t) − 2ξω0 x2 (t) + u(t) (31) y (t) = kω0 x1 (t) (32) równanie wyjścia dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych: x1 Xfaz = , Ufaz = Uz x2 jest następujący 0 1 0 Ẋfaz = Xfaz + Ufaz 2 2 −ω −2ξω 1 0 0 Y = kω02 0 Xfaz + [0] Ufaz ˙ = Afaz (t)Xfaz + Bfaz (t)Ufaz (t) Xfaz Y = Cfaz Xfaz + Dfaz Ufaz dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (33) (34) (35) Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja operatorowa G (s) = k Y (s) = 2 2 U(s) T s + 2ξTs + 1 (36) G (s) = Y (s) kω02 = 2 U(s) s + 2ξω0 s + ω02 (37) Odpowiedź skokowa 1 kω02 y (t) = L ust 2 s s + 2ξω0 s + ω0 " # p 1 −ξω0 t = kust 1 − p e sin ω0 1 − ξ 2 t + φ 1 − ξ2 (38) p 1 − ξ2 φ = arctg ξ (39) −1 dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Człon oscylacyjny - właściwości Rysunek : Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Człon oscylacyjny - właściwości Transmitancja widmowa G (jω) = kω02 [(ω02 − ω 2 ) − j2ξω0 ω] (ω02 − ω 2 )2 + (2ξω0 ω)2 Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów (40) Człon oscylacyjny Transmitancja widmowa G (jω) = kω02 [(ω02 − ω 2 ) − j2ξω0 ω] P(jω) = (ω02 − ω 2 )2 + (2ξω0 ω)2 kω02 [(ω02 − ω 2 )] (ω02 Q(jω) = − − ω 2 )2 + (2ξω0 ω)2 k[2ξω03 ω] (ω02 − ω 2 )2 + (2ξω0 ω)2 (41) (42) (43) Rysunek : Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4b - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym dr inż. Jakub Możaryn Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016 dr inż. Jakub Możaryn Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów
