zadania domowe – zestaw 1 - Instytutu Informatyki UJ

Instytut Informatyki i Matematyki Komputerowej UJ
Rachunek prawdopodobieństwa, rok akademicki 2014/15
Adam Roman
ZADANIA DOMOWE – ZESTAW 1
Zadanie 1. (1+3 pkt)
W więzieniu jest 100 więźniów skazanych na śmierć, ponumerowanych liczbami od 1 do 100. W
odosobnionym pokoju znajduje się szafa z 100 szufladami. Dyrektor więzienia włożył do tych
szuflad w sposób losowy 100 kartek z liczbami od 1 do 100 tak, by w każdej szufladzie
znajdowała się jedna kartka. Więźniowie wchodzą do tego pokoju jeden po drugim. Każdy
więzień może otworzyć i zajrzeć do dowolnych 50 szuflad. Po wyjściu więźnia z pomieszczenia
szuflady są zamykane. Jeśli każdy więzień znajdzie swój numer w jednej z otwartych przez siebie
szuflad, wszystkim więźniom darowane jest życie. Jeśli jednak przynajmniej jeden z nich nie
znajdzie swojej liczby, wszyscy zginą. Więźniowie nie mogą komunikować się ze sobą, ale mogą
przed rozpoczęciem "zabawy" ustalić wspólnie strategię.
a) Pokaż, że szansa na ocalenie dla więźniów, w sytuacji, gdy każdy z nich otwiera 50 szuflad w
sposób losowy, jest bliska zeru. Oblicz to prawdopodobieństwo z dokładnością dającą niezerowy
wynik.
b) Rozważ następującą strategię postępowania każdego więźnia:
1. Więzień wchodząc do pomieszczenia wybiera szufladę ze swoim numerem.
2. Jeśli w otwartej szufladzie jest kartka z numerem więźnia, kończy i wychodzi z pokoju.
3. Jeśli nie, to więzień otwiera szufladę o numerze wskazanym przez kartkę z ostatnio
otwartej szuflady.
4. Więzień powtarza kroki 2. i 3. dopóki znajdzie swój numer lub otworzy 50 szuflad.
Strategia ta – w zadziwiający sposób – daje aż ok. 30% szans na przeżycie wszystkich więźniów.
Wykaż, że rzeczywiście prawdopodobieństwo przeżycia przy jej stosowaniu wynosi nieco ponad
30%.
Zadanie 2. (2+1 pkt)
Płaszczyzna podzielona jest równoległymi prostymi odległymi od siebie o . Na płaszczyznę tę
upuszczamy igłę o długości
.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie którąś z linii?
b) Zaproponuj metodę, opartą o powyższy eksperyment, która może posłużyć do oszacowania
liczby oraz podaj wzór na to oszacowanie.
Zadanie 3. (3 pkt)
Program składa się z 2 modułów A i B. Prawdopodobieństwo, że A zawiera błąd wynosi 0.2.
Prawdopodobieństwo, że B zawiera błąd wynosi 0.4 i jest niezależne od A. Błąd występujący
tylko w A powoduje awarię programu z prawdopodobieństwem 0.5. Błąd występujący tylko w B
powoduje awarię programu z prawdopodobieństwem 0.8. Jeśli błędy są zarówno w A jak i w B,
awaria następuje z prawdopodobieństwem 0.9. Załóżmy, że nastąpiła awaria. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że zarówno A jak i B zawierają błędy?