Studium Talent. Lista nr 3. Zadanie 21 Niech a1 = 2 oraz an+1 = an+4

Studium Talent. Lista nr 3.
Zadanie 17 Zbada¢ ograniczono±¢ ci¡gów:
a)
c)
√
√
an = n + 8 − n +
3;
1
1
cn = 1 − 2 1 − 3 ... 1 − n1 ;
= 411+1 +
dn = nn!n .
b) bn
d)
1
42 +2
+ ... +
1
;
4n +n
Zadanie 18 Korzystaj¡c z def. granicy ci¡gu pokaza¢, »e
a)
limn
n2 −1
n2 +1
= 1;
b)
limn E
3n+1
n+1
= 2.
Uwaga.
E(x) jest funkcj¡ na R okre±lon¡ wzorem:
E(x) = k , gdzie k ≤ x < k + 1 oraz k ∈ Z .
Zadanie 19 Znale¹¢ granice ci¡gów (o ile istniej¡).
a)
an =
d) dn =
n3 +3n2 −1
;
2n−n3
2n+(−1)n
;
5n+4
b) bn
e)
=
en =
Zadanie 20 Pokaza¢, »e je±li
zbie»ny do
√
n2 + 4n − 28 −
√
n2 + 3n + 2;
1+3+...+(2n−1)
;
2+4+...+2n
f)
limn an = L, to ci¡g bn =
= 3 + (−1)n ;
2 +cos n
fn = n3−2n
2 .
c) cn
a1 +...+an
jest równie»
n
L.
Zadanie 21 Niech
a1 = 2
oraz
an +4
.
2
an+1 =
Pokaza¢, »e ci¡g
{an }
jest
monotoniczny i ograniczony. Znale¹¢ jego granic¦.
Zadanie 22 Wykaza¢, »e ci¡g
an =
Zadanie 23 Pokaza¢, »e je±li ci¡g
1
n+1
{an }
+
1
n+2
+ ... +
1
jest zbie»ny.
n+n
jest zbie»ny, to speªnia on nast¦pu-
j¡cy warunek (zwany warunkiem Cauchy'ego)
∀( > 0)∃(n0 ∈ N )∀(m, n ≥ n0 ) (|an − am | < ) .
Równie» na odwrót: Je±li ci¡g
{an }
speªnia powy»szy warunek Cauchy'ego,
to jest on zbie»ny.
Zadanie 24 Pokaza¢, »e dla dowolnych liczb
nierówno±¢:
n
X
ak bk ≤
k=1
a1 , ..., an
oraz
b1 , ..., bn
zachodzi
v
v
u n
u n
uX uX
2t
t
a
b2 .
k
k=1
k
k=1
Wsk. Co mo»na powiedzie¢ o wyró»niku trójmianu (zmiennej x)
Pn
k=1
(ak + xbk )2 ?