okl mt 05-2008 pomocnicze.qxd
Transkrypt
okl mt 05-2008 pomocnicze.qxd
mate matyka N TEKST TRUDNY ie mam wykształcenia muzycznego, ale kilka lat temu opanowałem tajniki gamy. Nie, nie tak: zrozumiałem, jaka kryje się tu matematyka. Kilkakrotnie prowadziłem zajęcia na ten temat i zawsze było tak, że matematycy rozumieli ułamki, a nie rozumieli muzyków, którzy z kolei potrafili wszystko zagrać, a odpadali, gdy próbowałem to wszystko wyjaśnić prostą matematyką. Matematycy chętnie przyznają się do pewnego duchowego pokrewieństwa z muzyką i żałują, że muzycy nieczęsto rewanżują się podobnym uczuciem. (Jak wiadomo, Albert Einstein grał całkiem znośnie na skrzypcach. Po jednym z jego koncertów na cele dobroczynne pewien krytyk napisał: „Skrzypek grał całkiem dobrze, ale nie rozumiem, skąd się bierze ta jego światowa sława”). Pitagoras uważał, że planety w swoich wędrówkach po orbitach wydają przyjemne dźwięki, których jednak nie potrafimy usłyszeć. Z tak dawnych czasów pochodzi zwrot „harmonia sfer”. Korzystając nieświadomie z prawa Webera– Fechnera, pitagorejczycy podzielili całą skalę muzyczną na równomierne oktawy. Za jednostkę skali przyję- O muzyce Michał Szurek Michał Szurek tak mówi o sobie: „Urodzony w 1946. Ukończyłem UW w 1968 r. i od tego czasu tam pracuję na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Specjalność naukowa: geometria algebraiczna. Ostatnio zajmowałem się wiązkami wektorowymi. Co to jest wiązka wektorowa? No, trzeba wektory mocno powiązać sznurkiem i już mamy wiązkę. Do „Młodego Technika” zaciągnął mnie siłą kolega fizyk, Antoni Sym (przyznaję, powinien mieć z tego powodu tantiemy od moich honorariów autorskich). Napisałem kilka artykułów, a potem zostałem i od 1978 roku co miesiąc możecie Państwo czytać, co też myślę o matematyce. Lubię góry i mimo nadwagi staram się chodzić. Uważam, że najważniejsi są nauczyciele. Polityków, niezależnie od opcji, jaką prezentują, trzymałbym w pilnie strzeżonym miejscu, żeby nie mogli uciec. Karmił raz dziennie. Lubi mnie jeden pies z Tulec, rasy beagle”. i ułamkach prostych li interwał między dźwiękami, jakie wydaje „cała” struna i dzielona na dwie, cztery, osiem,... części. To znana wszystkim nam dzisiaj oktawa. Oktawa dzieliła się na siedem tonów i dwanaście półtonów, ale podstawową jednostką była kwinta (stosunek podziału struny 3:2) i kwarta (4:3). Liczba półtonów między dźwiękami Nazwy interwału Dźwięk odległy o ten interwał od c Stosunek częstotliwości w skali pitagorejskiej 0 Pryma c 1 Sekunda mała cis (pryma zwiększona), des 2 3 4 5 Sekunda wielka Tercja mała Tercja wielka Kwarta czysta Tryton = kwarta zwiększona = kwinta zmniejszona Kwinta czysta Seksta mała Seksta wielka Septyma mała Septyma wielka Oktawa czysta d dis (sekunda zwiększona), es e f 1 cis 2187/2048 des 256/243 9/8 6 48 Znane w psychologii prawo Webera–Fechnera ma „mądre”, matematyczne sformułowanie: wrażenie jest proporcjonalne do logarytmu podniety, a można je wysłowić, nie używając... tego słowa na l. Chodzi po prostu o to, że aby nasze zmysły odebrały coś jako 7 8 9 10 11 12 81/64 4/3 fis, ges g gis (kwinta zwiększona), as a ais (seksta zwiększona), b h c 3/2 27/16 243/128 2 Pitagoras uważał, że planety w swoich wędrówkach po orbitach wydają przyjemne dźwięki, których jednak nie potrafimy usłyszeć. dwukrotną, trzykrotną, czterokrotną zmianę, liczby opisujące tę zmianę muszą się zmienić czterokrotnie, dziewięciokrotnie, szesnastokrotnie i tak dalej. Dlatego ściemniacz światła powinien być logarytmiczny (natężenie maleje wykładniczo, my obserwujemy je jako równomierne), a w temperowanej skali muzycznej częstotliwości dźwięków tworzą ciąg geometryczny o jednym z wyrazów równym 440 herców (raz12 2 . Prawo Webera–Fechnera dakreślne a) i ilorazie ło się efektownie zaobserwować w czasie zaćmienia Słońca 11 sierpnia 1999 r. W Polsce zasłonięte było 80 procent Słońca, a ciemniej było tylko trochę... Wygodniej nam będzie prowadzić obliczenia nie na częściach struny, a na częstotliwościach. Pitagorejczycy pracowali z częściami struny, a te wielkości są odwrotnie proporcjonalne: długość drgającej struny = 1/częstość drgań, i trzeba dobrać jednostki, żeby współczynnik proporcjonalności był równy 1. Spójrzmy na klawiaturę fortepianu okiem matematyka. Skoro c1 i c to te same dźwięki, tylko w innych oktawach, to – matematycznie – klawiatura jest jakby kolista. Możemy teraz otrzymać doskonale znane muzykom zależności, rachując kąty. Kwinta to 7/12 kąta pełnego, kwarta to 5/12. Są to liczby względnie pierwsze z 12 i dopełniają się do 12. To dlatego... wszystko gra. Tabelkę dla kwarty otrzymamy, czytając schemat dla kwinty od dołu: dwie kwarty to tercja itd. Kwinta Dwie kwinty Trzy kwinty Cztery kwinty Pięć kwint Sześć kwint Siedem kwint Osiem kwint Dziewięć kwint Dziesięć kwint Jedenaście kwint 210° 2 · 210° = 420° = 60° 3 · 210° = 630° = 270° 4 · 210° = 840° = 120° 5 · 210° = 1050° = 330° 6 · 210° = 1260° = 180° 7 · 210° = 1470° = 30° 8 · 210° = 1680° = 240° 9 · 210° = 1890° = 90° 10 · 210° = 2100° = 300° 11 · 210° = 2320° = 150° Sekunda wielka Seksta wielka Tercja Septyma wielka Tryton Sekunda mała Seksta mała Tercja mała Septyma mała Kwarta Do tej pory wszystko jest w porządku. Kłopoty zaczynają się, gdy zaczynamy liczyć częstotliwości. Zacznijmy od sekundy małej – półtonu. Matematycznie jest ona równoważna siedmiu kwintom (albo minus pięciu kwintom!). Obliczamy: 7 2187 2187 ⎛3⎞ ⎜ ⎟ = ––– > 128 2048 ⎝2⎠ – mnożymy siedem razy przez 3/2 i dzielimy przez taką potęgę dwójki, żeby ułamek był większy od 1, a mniejszy niż 2, otrzymując cis, dźwięk o pół tonu ponad c. Ale siedem kwint daje ten sam dźwięk co pięć kwart, tylko przesunięty o dwie oktawy. Postępując podobnie, otrzymujemy zatem des, dźwięk o sekundę małą w dół od d . 5 −5 25 32 256 ⎛ 4 ⎞ 1024 ⎛3⎞ → i podobnie ⎜ ⎟ = 5 = ⎟ = 243 3 243 243 ⎝3⎠ ⎝2⎠ Ale ⎜ (mnożyliśmy przez potęgę dwójki, żeby wylądować w tej samej oktawie). To jest trochę mniej niż 2187/2048. Ponadto – zostawiamy to Czytelnikom do wyliczenia; wychodzą bardzo ładne ułamki! – ani dwanaście półtonów, ani sześć całych tonów, ani cztery tercje nie dają dokładnie całej oktawy: zawsze trochę się od niej różnią i ta różnica (dokładniej: stosunek tych wielkości) to komat, w naszym przykładzie komat pitagorejski. Komat mierzy zawsze nieregularność skali muzycznej. Pitagorejskie cis jest zatem (matematycznie) większe, czyli muzycznie wyższe niż des, a wina leży wyłącznie po stronie arytmetyki i brzydkiego zachowania się ułamków 3/2 i 4/3. Skala pitagorejska nazywa się w muzyce diatoniczną, a jej cztery dźwięki: c – f – g – c, to skala legendarnej liry Orfeusza. Próbowano poprawić tę skalę już w starożytności. W I wieku p.n.e. filozof grecki Didymos dopuścił jeszcze podział struny w 1/5 długości, skąd otrzymał jako tercję wielką stosunek 5/4, czyli 1,25, podczas gdy pitagorejską tercją była, jak widzieliśmy 81/64 = 1,26. Odkrycie Didymosa zastosowano w XIV wieku, gdy rozwinęła się muzyka wielogłosowa i praktyka pokazała, że teoria Pitagorasa – iż najlepiej współbrzmią te dźwięki, których interwały wyrażają się jak najprostszymi liczbami – się nie sprawdza. Ale rzecz charakterystyczna: samą zasadę utrzymano, starano się tylko zmienić skalę. I tak powstała tzw. skala naturalna: c d e f g 1 9/8 5/4 4/3 3/2 a h 5/3 15/8 c 2 Zadanie (na ułamki): Wyliczyć wielkość komatu syntonicznego (didymejskiego), czyli różnicę między cis i des skali naturalnej. Uwaga: okaże się, że cis < des. Podejmowano i wciąż podejmuje się niezliczone próby poprawienia skali muzycznej. W XIX wieku znany fizyk H. Helmholtz zauważył, że środkowe ułamki skali naturalnej są elementami znanego matematykom ciągu Fareya. Ciąg ten złożony jest z ułamków, które mają dziwną własność: każdy z nich otrzymany jest z sąsiednich przez dodawanie sposobem, za który każdy nauczyciel ma prawo postawić ocenę niedostateczną w szkole: a c a+c + = b d b+d a zatem – zaproponował Helmholtz, zastosujmy tę zasadę do skal muzycznych i niech d będzie 6/5, zaś h = 5/3. Wraz ze skrzypkiem Joachimem przeprowadził odpowiednie eksperymenty i skala okazała się możliwa do przyjęcia. Znów jednak zauważmy, że nie zakwestionowano samej zasady, że piękne jest to, co wyraża się jak najprostszymi liczbami. Helmholtz używał pitagorejskiej definicji piękna: piękne jest to, co wyraża najwięcej treści jak najoszczędniejszymi środkami. A choć nie jest to ścisła definicja matematyczna, takie właśnie jest kryterium piękna w matematyce... i – jak widzieliśmy – w muzyce. A że „małe jest piękne”, wiemy i bez Pitagorasa. Interesujące potwierdzenie tezy Pitagorasa, że piękne jest to, co się wyraża małymi liczbami, znajduje również potwierdzenie w teorii flażoletów. Słownik terminów muzycznych wyjaśni nam, że flażolet to dźwięk o miękkiej naturalnej barwie, grany częściej na instrumentach strunowych i uzyskiwany przez lekkie dotknięcie struny w połowie, jednej trzeciej, itd. 49 mate matyka Na instrumentach dętych flażolet osiągamy przez przedęcie: zamiast dwukreślnego c, gramy jednokreślne c z przedęciem. Rezultatem jest ten sam dźwięk o ładnym, niekiedy interesująco nieczystym brzmieniu. Matematycznie sprawa jest prosta. Skróceniu struny o dwie, trzy, cztery, pięć jednostek długości odpowiada podwyższenie częstotliwości dwa, trzy, cztery, pięć, ... razy. Dwa razy większa częstotliwość to c1, ten sam dźwięk w górnej oktawie. Podwyższenie częstotliwości o trzy razy to – w skali naturalnej – g (3/2), o cztery razy to oczywiście c2, o pięć to dokładnie e (5/4), o sześć to znów g, zaś o siedem daje to dźwięk między a i h z bemolem. Wszystkie matematyczne kłopoty ze skalą rozwiązuje skala temperowana, w której każdy półton jest zwiększeniem częstotliwości poprzedniego 12 2 = 1,0594630943592952645618252949463417007 79204317494... razy – oczywiście nie z tą absurdalną dokładnością, jaką tu podałem. Skala temperowana była zaproponowana przez J.G. Neidharta w 1706 roku i rozsławiona przez Jana Sebastiana Bacha (Das wohltemperierte Klavier, 1772) – 24 preludia i fugi we wszystkich tonacjach durowych i molowych. Nie ma w tej skali komatów i wszystko jest proste. Matematyczna teoria muzyki jest fascynująca, ale... to tylko teoria. W opowiadaniu Stanisława Lema Młot zamknięty w międzygwiezdnym statku kosmicz- nym astronauta próbuje słuchać muzyki wykonywanej w sposób perfekcyjny przez komputer. Nudzi się szybko, krzyczy: „przestań!” i tęskni za muzyką w „ludzkim, ułomnym, a więc pięknym wykonaniu”. Wszystko opiera się na matematyce, to jasne. Ale czy musimy zawsze trzymać się kurczowo tego oparcia? LAUREACI KONKURSÓW Z MT 3/08 MINIQUIZ „CZYTAM, WIĘC WIEM” str. 21: b; str. 41: b Kowalski Kamil, Olsztyn Zieliński Jan, Sosnowiec Kowalczyk Krzysztof, Wąbrzeźno Iwnicki Damian, Gdańsk Nitkowski Łukasz, Warszawa POMYSŁY Pomysł miesiąca nr 1 z 3/2008 30% głosów na pomysł nr 1 19% głosów na pomysł nr 3 17% głosów na pomysł nr 5 JOLKA Z HASŁEM Co zanadto, to niezdrowo Kopniak Daniel, Stanowice Tarnawa Grzegorz, Godziszka Nowak Mariusz, Ćmielów Stokłosa Maria, Ryczów Kopa Mateusz, Łęki Dukielskie KONKURS JĘZYKOWY Piotr Kulik Hajnówka, Hajnówka Paweł Chojnacki, Warszawa Adam Sobieradzki, Starachowice Krzysztof Maj, Połaniec Katarzyna Nadolska, Małki