5. Oprocentowanie składane

Literatura:
1 S. G. Kellison, The Theory of Interest, McGraw-Hill Int. Ed.
5. Oprocentowanie składane
ZASTOSOWANIE: Oprocentowania składanego jest stosowany w transakcjach średnioterminowych (od roku do pięciu lat) oraz długoterminowych (powyżej pięciu lat).
DEFINICJA: W modelu oprocentowania składanego (procentu składanego) odsetki wygenerowane po każdym roku (okresie) oprocentowania podlegają kapitalizacji, czyli sa reinwestowane na kolejne lata (okresy) oprocentowania. Kapitał początkowy i odsetki są
przetrzymane aż do końca inwestycji.
FUNKCJA AKUMULACJI: Niech i będzie stopą tego oprocentowania. Rozważmy inwestycję 1 jp. Inwestycja ta po pierwszym roku generuje zysk i, czyli wartość
przyszłą a(1) = 1 + i. Kwota ta staje się kapitałem początkowym w drugim roku inwestycji. Po drugim roku kapitał 1 + i generuje zysk (1 + i)i, czyli wartość przyszłą
a(2) = (1 + i) + i(1 + i) = (1 + i)2 . Kwota ta staje się kapitałem w trzecim roku inwestycji.
Zatem po trzeci roku mamy kapitał(1 + i)2 oraz odsetki od tego kapitału i(1 + i)2 . Daje
to kwotę a(3) = (1 + i)2 + i(1 + i)2 = (1 + i)3 . Postępując analogicznie w kolejnych latach
inwestycji otrzymujemy:
a(n) = (1 + i)n dla n = 1, 2, 3, . . . .
(1)
STOPA OPROCENTOWANIA SKŁADANEGO A STOPA EFEKTYWNA:
Stała stopa oprocentowania składanego implikuje stałą stopę efektywną. Istotnie, jeśli i
jest stałą stopą oprocentowania składanego a in stopą efektywną tego oprocentowania w
roku n (oczywiście w pierwszym roku i = i1 ), to wówczas otrzymujemy
(2)
in =
(1 + i) − 1
(1 + i)n − (1 + i)n−1
a(n) − a(n − 1)
=
=
=i
n−1
a(n − 1)
(1 + i)
1
dla n = 1, 2, 3, . . .. Z powyższego otrzymujemy, że stała stopa oprocentowania składanego
(rocznego) oraz stopa efektywna są sobie równe.
FUNKCJA AKUMULACJI DLA DOWOLNEGO t > 0: Funkcja akumulacji oprocentowania składanego była zdefiniowana jedynie dla n naturalnych. Niezbędne jest zdefiniowanie tej funkcji również dla argumentów rzeczywistych dodatnich. Większość autorów
1
czyni to zakładając po prostu, że wzór (1) jest prawdziwy dla dowolnego t > 0, czyli
(3)
a(t) = (1 + i)t , dla t > 0.
Istnieje jeszcze jedna metoda wyznaczania funkcji akumulacji po czasie t nie będącym
całkowitą wielokrotności roku. Otóż niech t = n + k, gdzie n jest nieujemną liczbą całkowitą zaś k liczbą z przedziału [0, 1]. Korzystając z liniowej interpolacji pomiędzy (1 + i)n
a (1 + i)n+1 otrzymujemy:
(4) (1 + i)n+k = (1 − k)(1 + i)n + k(1 + i)n+1 = (1 + i)n [1 − k + k(1 + i)] = (1 + i)n (1 + ki).
Widzimy, że ostatnie wyrażenie jest iloczynem funkcji akumulacji oprocentowania składanego (po czasie będącym całkowitą wielokrotnością roku) i prostego (w czasie ułamkowym).
2