Jak rozkładają się liczby? - Koło Pasjonatów Matematyki na UW

Jak rozkładają się liczby?
Arkadiusz Męcel
10 października 2008r.
Treść referatu była pewnym rozszerzeniem zagadnień omawianych na Warsztatach w Krakowie (2008r.).
Pewnych zagadnień nie omówiłem w pełnej ogólności. O niektórych nie wspomniałem nic. Pomysłałem
więc, że przypomnę je tu krótko i podam pomocną bibliografię (wszystko można znaleźć w Internecie).
1. Jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze jest cechą jedynie niektórych dziedzin całkowitości. W
oryginalnych pracach Dedekinda znajdują się warunki konieczne do istnienia rozkładu. Są to:
• noetherowskość,
• normalność,
• każdy ideał pierwszy jest maksymalny.
Takie pierścienie nazywamy dziedzinami Dedekinda. W XX wieku Emmy Noether pokazała, że
dziedziny określone przez 3 powyższe warunki to jedyne takie, w których zachodzi jednoznaczność
rozkładu na ideały pierwsze. W ten sposób koło się zamyka. Poniżej zamieszczam dwa linki. Jeden do
ogólnego skryptu z algebraicznej teorii liczb, gdzie zagadnienia te są omówione aż nazbyt dokładnie,
drugi zaś do tłumaczenia pracy Dedekinda z 1871r., tej właśnie, w której pojawiają się ideały (warto
przeczytać kilkustronicowe wprowadzenie od Tłumacza).
• http://www.jmilne.org/math/
• http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/ideals71.pdf
2. W pewnym momencie podałem śmieszny przykładzik dotyczący ’dokładania dzielników pierwszych’
(do liczb przystających 1 modulo 4). Wspomniałem, że pochodzi on od Hilberta. Nie znam historii
jego powstania, ale wiem skąd go wziąłem. Oto link do bardzo pouczającego wykładu (jego tytuł
jest słynnym cytatem z E. Noether):
• http://www.math.udel.edu/ lazebnik/papers/SeminarLecture110405.pdf
3. Ktoś chciałby zobaczyć jakikolwiek dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata w przypadku szczególnym? Gorąco polecam poniższy link (uważny czytelnik dostrzeże na tej stronie jedną uwagę ode
mnie!):
• http://fermatslasttheoremindex.blogspot.com/2006/10/overview.html
4. Jeżeli czujecie niedosyt związany z poprzednim linkiem i chcecie: więcej historii i znacznie więcej
matematyki, jest tylko jedno źródło, które mogę polecić:
• EDWARDS H.M., Fermat’s Last Theorem. A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer, New York (1977).
1
5. Ten link jest trochę ’nie na temat’, dotyczy on bowiem niezwykłej historii Sophie Germain. Wyobraźcie sobie, że ta wielka kobieta musiała ukrywać się pod męskim pseudonimem, by móc opublikować
swoje przełomowe prace z WTF. Więcej o tym, jak również interesujące wstawki o Gaussie (i jego
rzekomej niechęci do tegoż wielkiego problemu) tutaj:
• http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/germain.html
6. A może spodobała się Wam własność, którą posiadają pierścienie o grupie klas rzędu niewiększego
niż 2? Jest to twierdzenie Carlitza z 1960 roku. Jak wspomniałem, Władysław Narkiewicz z Wrocławia postawił problem otwarty: znaleźć arytmetyczną prezentację własności pierścieni, których
grupa klas ma rząd większy od 2. Jeden ze znaczących wyników w tej kwestii uzyskał Alfred Czogała.
Poniżej podaję kilka tytułów, które pomogą ogarnąć to zagadnienie i zobaczyć jakieś dowody.
• CHAPMANN S., GLAZ S. Non-Noetherian Commutative Ring Theory, Springer, New York
(2000), chapter 6.
• NARKIEWICZ W., Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer, New
York (2004), chapter 9.
• CZOGAŁA A., Arithmetical chararcterization of algebraic number fields with small class number. Math. Zeit., 176, 247-253. (1981).