Problem ruiny gracza, zmienne losowe

DWRP – Zadania domowe 6
Termin: 7.04.2009
Teoria: Problem ruiny gracza, zmienne losowe dyskretne: definicja i rozkÃlad.
Zadania:
1. Niech prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki w jednokrotnym rzucie moneta, wynosi p. Rozpatrzmy
naste,puja,ca, gre,. Zaczyna A i rzuca moneta, tak dÃlugo, aż wyrzuci orÃla. Naste,pnie rzuca B tak dÃlugo, aż
wyrzuci orÃla, potem znowu A i tak dalej. Niech Pn,m oznacza prawdopodobieństwo, że A wyrzuci n reszek
zanim B wyrzuci m reszek. Uzasadnij, że
Pn,m = pPn−1,m + (1 − p)(1 − Pm,n ).
2. Niech Pn oznacza prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego
(n, p). Pokaż, że
Pn = p(1 − Pn−1 ) + (1 − p)Pn−1 ,
n ≥ 1.
Wykorzystuja,c powyższy wzór udowodnij (przez indukcje,), że
Pn =
1 + (1 − 2p)n
.
2
3. Rozpatrzmy ”problem ruiny gracza” z dodatkowym zaÃlożeniem, że A i B zgodzili sie, grać nie wie,cej niż
n gier. Niech Pn,i oznacza prawdopodobieństwo, że gracz A zgromadzi caÃly kapitaÃl N jeżeli zaczyna z i euro
a gracz B z N − i euro. Wyraź Pn,i jako funkcje, Pn−1,i+1 i Pn−1,i−1 . Jaka jest wartość Pn,i dla n < N − i.
Oblicz P7,3 , N = 5.
4. Z urny zawieraja,cej 8 biaÃlych, 4 czarne i 2 pomarańczowe kule losujemy dwie. Przypuśćmy, że wygrywamy
2 zÃl za każda, wylosowana, czarna, kule, i tracimy 1 zÃl za każda, wylosowana, biaÃla, kule,. Niech X be,dzie zmienna,
losowa, oznaczaja,ca, nasza, wygrana,. Jakie wartości przyjmuje X. Znajdź rozkÃlad X.
5. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Niech X be,dzie zmienna, losowa, oznaczaja,ca, iloczyn
oczek uzyskanych na obu kostkach. Znajdź rozkÃlad X.
6. Rzucamy dwa razy sześcienna, kostka, do gry. Znajdź rozkÃlady naste,puja,cych zmiennych losowych:
(a) maksymalna liczba oczek jaka, otrzymaliśmy w obu rzutach;
(b) minimalna liczba oczek jaka, otrzymaliśmy w obu rzutach;
(c) suma oczek uzyskanych w obu rzutach;
(d) liczba oczek uzyskana w pierwszym rzucie minus liczba oczek uzyskana w drugim rzucie.