00505 dynamika D - part 1 2008 - teoria - zasady dynamiki

1
00505 Dynamika D
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00505
Podstawy dynamiki D
Część 1
Podstawowe wielkości dynamiczne.
Zasady dynamiki.
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2. Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i stałych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do oddawanej pracy.
3. Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawartość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowadzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informacje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
2
00505 Dynamika D
TEORIA
Temat: 19
Podstawowe wielkości dynamiczne.
1. Jednym z głównych zadań fizyki jest przewidywanie przyszłych (lub przeszłych) połoŜeń
cząstki, prędkości poszczególnych cząstek oddziałujących ze sobą. Wiemy z kinematyki,
Ŝe znając przyspieszenie kaŜdej cząstki jako funkcję czasu, moŜemy w zasadzie przewidzieć przyszłe połoŜenie kaŜdej cząstki. Dowiemy się, Ŝe aby znać przyspieszenie, trzeba
znać siłę działającą na cząstkę oraz masę cząstki. Tak więc, to zadanie fizyki redukuje się
częściowo do badania sił i ich źródeł.
2. Na szczęście okazuje się, Ŝe według naszej obecnej wiedzy wszystkie działające siły dają
się podzielić na cztery podstawowe rodzaje:
∗ grawitacyjne,
∗ elektromagnetyczne,
∗ słabe,
∗ jądrowe (silne).
3. Jak okaŜe się później, siła grawitacyjna działa na wszystkie masy i pochodzi od masy
będącej w pewnej odległości. Siła elektromagnetyczna działa na ładunki i prądy i pochodzi od ładunków i prądów. PoniewaŜ atomy zawierają naładowane elektrony i protony,
więc siły między atomami mają pochodzenie elektromagnetyczne. Zwykła materia jest
utworzona z atomów, a zatem większość sił, z jakimi spotykamy się na co dzień , takich
jak rozciąganie i ściskanie spręŜyny lub inne siły kontaktowe są w zasadzie siłami elektromagnetycznymi. Siły słabe i jądrowe mają krótki zasięg ( nie odczuwa się ich na odległościach większych niŜ 10-14 m.). To właśnie siła jądrowa utrzymuje jądro w całości mimo silnego elektromagnetycznego odpychania między protonami.
4. Aby badać ruch ciała wywołany siłą na nie działającą, trzeba wiedzieć jakiego rodzaju to
jest siła i skąd się bierze. Dział fizyki, który w ogólności zajmuje się badaniem ruchu wywołanego działaniem sił, nazywa się dynamiką. W dynamice, przeciwnie niŜ w kinematyce, mamy do czynienia z rzeczywistymi ciałami materialnymi, które maja masę, pęd i
energię, a nie tylko prędkość i przyspieszenie. Istnieje wiele róŜnych sposobów matematycznie równowaŜnych, definiowania takich wielkości jak masa i siła. Oto jeden z takich
sposobów:
◊
*Masa. Nasza definicja będzie miała charakter operacyjny, to znaczy formę przepisu matematycznego. Zaczynamy od wzorcowej masy 1 kg (w rzeczywistości
0,99997 kg), którą moŜna uzyskać biorąc 1000 cm3 wody o temperaturze 40C pod
normalnym ciśnieniem atmosferycznym. Tę ilość wody moŜna zamrozić w blok lodu. MoŜemy porównywać nieznaną masę m z masą wzorcową m0 umieszczając
między nimi małą ściśniętą spręŜyn (rys.1).
◊
spręŜyna
m
m0
Rys. 1
3
00505 Dynamika D
TEORIA
Gdy zwolnimy spręŜynę, masy, które początkowo były w spoczynku, przemieszczą się
w przeciwnych kierunkach z prędkościami odpowiednio v i v0. Definiujemy nieznaną masę
jako:
v
(1) m = m0 ⋅ 0
(definicja masy)
v
◊ Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości wektorowej. Na oznaczer
nie pędu uŜywamy symbolu p .
r
r
(definicja pędu)
(2) p = m ⋅ v
r
◊ Siła. JeŜeli do ciała o masie m jest przyłoŜona siła F , to definiujemy ją jako zmianę
w czasie pędu ciała.
r
r dp
(3) F =
(definicja siły)
dt
r
r
r d (mv )
dv
r
= m⋅
= ma ( definicja siły dla ciał o stałej masie)
(4) F =
dt
dt
Temat: 20
I nastał Newton...
1. Na najbliŜszych zajęciach omówimy tak zwane prawa ruchu Newtona. W prawach tych
pojawią się pojęcia siły, masy i pędu.
2. Prawa dynamiki moŜna sformułować następująco:
I prawo dynamiki:
W nieobecności siły wypadkowej przedmiot porusza się ze stałą prędkością lub pozostaje
w spoczynku.
II prawo dynamiki:
Szybkość zmiany pędu ciała jest proporcjonalna do działającej na nie siły wypadkowej,
zmiana zachodzi w kierunku, w którym działa siła
lub
przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do działającej na nie siły wypadkowej, przy czym
kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot siły.
III prawo dynamiki:
Jeśli jedno ciało działa na drugie pewną siłą, to drugie działa na pierwsze siłą równą co do
wielkości i przeciwnie skierowaną
lub
wszelkiemu działaniu towarzyszy równe mu przeciwdziałanie (akcja równa się reakcji).
3. Prawa te miały ogromne znaczenie dla rozwoju fizyki. Pisał wybitny fizyk i filozof Feynman w 1971 roku: „Odkrycie praw dynamiki, zwanych teŜ prawami ruchu, stało się dramatycznym momentem w historii nauki. Przed Newtonem ruchy takich ciał jak planety stanowiły zagadkę, dzięki Newtonowi natomiast stały się całkowicie zrozumiałe”.
4
00505 Dynamika D
TEORIA
W innym miejscu znajdujemy: „Naturę i prawa natury skrywał mrok. Bóg rzekł - niech się
stanie Newton. I stała się światłość (A. Pope 1688 - 1744).
4. Jakim człowiekiem był Newton ? Oto dwie opinie, raczej mało pochlebne.
„... we współczesnym języku trzeba by nazwać Newtona człowiekiem cięŜko chorym
nerwowo; był to przypadek bynajmniej nie rzadki, ale - jak wynika z zapisów - doprawdy
skrajny. Jego najgłębsze instynkty, utajone, ezoteryczne, semantyczne, prowadziły go do
szczelnego zamykania się przed światem, połączonego z paraliŜującym lękiem przed wyjawieniem swych myśli, swych przekonań, swych odkryć i wystawieniem ich na ocenę i
krytykę” (J.M. Keynes, „Newton, The Man”, The Royal Society 1947).
„Był człowiekiem łatwo ulegającym atakom wściekłości i nie darowującym obrazy. Dla
swej chwały łamał obietnice i zatajał odkrycia. Jego kłótnie z Hookiem, takŜe genialnym
uczonym, i Leibnizem, który doprawdy był człowiekiem nie mniejszej niŜ on miary, są
jednymi z najbrzydszych w historii nauki” (G. Steiner, The Sunday Times, 1969).
Temat: 21
Dyskusja I zasady dynamiki.
1. Istnieje układ odniesienia (zwany układem inercjalnym), w którym jeśli na punkt materialny nie
działa Ŝadna siła lub działające siły równowaŜą się wzajemnie, to punkt materialny spoczywa lub
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (czyli bez przyspieszenia).
2. I zasada dynamiki (zasada bezwładności) stanowi postulat istnienia układu inercjalnego, nie wskazuje jednak, gdzie naleŜy takiego układu szukać, z jakimi ciałami we Wszechświecie naleŜy go
wiązać.
3. KaŜdy układ spoczywający lub poruszający się ze stałą prędkością po torze prostoliniowym
względem układu inercjalnego teŜ jest układem inercjalnym. Zatem z zasady bezwładności wynika istnienie nieskończenie wielu układów inercjalnych, przy czym Ŝaden z nich nie jest układem
wyróŜnionym..
Aby przewidzieć ruch ciała wynikający z działania na nie sił, musimy mieć podstawową zasadę
(teorię), na podstawie której moŜemy wysnuć takie przewidywanie. Teoria moŜe być poprawna
lub nie. Tylko pomiary doświadczalne mogą to stwierdzić. Podstawowa teoria, która pozwala nam
przewidzieć ruchy ciał, składa się z trzech równań, które nazywają się zasadami dynamiki Newtona. Wysnuł je Newton w końcu XVII wieku.
r
r
r
Zapis matematyczny I zasady dynamiki jest następujący a = 0, gdy Fwyp = 0, gdzie F jest sumą
wektorową wszystkich sił działających na ciało
I zasada stwierdza, Ŝe jeŜeli siła wypadkowa jest zerem, to przyspieszenie teŜ wynosi zero. Wydaje się, Ŝe jest to szczególny przypadek II zasady dynamiki. Mimo to, naleŜy jej przypisać wielką
wagę, gdyŜ do czasów Newtona przyjęty był dogmat oparty na nauce Arystotelesa. Podstawową
zasadą w nauce Arystotelesa było to, Ŝe wszystkie ciała muszą się zatrzymać, gdy nie ma sił zewnętrznych. Wydawało się, Ŝe to zgadza się ze zwykłymi codziennymi obserwacjami. Widzimy
przecieŜ, Ŝe poruszające się ciała, gdy nie ma ani popychania ani pociągania, zatrzymują się, a nie
poruszają się dalej ze stałą prędkością. Samochód zatrzyma się, gdy wyłączymy silnik. Zgodnie
jednak z I zasadą dynamiki Newtona, jeśli samochód zwalnia, to siła wypadkowa nie moŜe być
zerem. W tym przypadku działają siły opóźniające ruch takie jak opór powietrza i tarcie opon o
nawierzchnię.
5
00505 Dynamika D
TEORIA
W I zasadzie jest zawarte bardzo waŜne prawidło fizyczne: istnienie tego co nazywa się układem
inercjalnym. Na pewno obserwatorowi, który podlega przyspieszeniu, będzie wydawało się, Ŝe I
zasada nie jest spełniona. Sens tej zasady jest taki, Ŝe jeśli na ciało nie działają siły zewnętrzne, to
istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. A jeśli ciało tak zachowuje się w jednym układzie, to istnieje zbiór takich układów odniesienia, w których ciało ma prędkość stałą ( w szczególności równą zeru). Te układy odniesienia nazywają się systemami inercjalnymi lub inercjalnymi układami odniesienia.
Nietrywialnym wnioskiem z I zasady dynamiki jest to, Ŝe jeŜeli obserwator znajduje się w inercjalnym układzie odniesienia, zdefiniowanym przez pierwsze ciało będące w spoczynku, to kaŜde
inne ciało, na które działa siła wypadkowa równa zeru, będzie w spoczynku lub będzie mieć stałą
prędkość.
4. Najlepszym przybliŜeniem układu inercjalnego jest układ związany z gwiazdami stałymi. Typowa
gwiazda jest oddalona od innych gwiazd średnio o 1016 m., podlega zatem bardzo nieznacznemu
oddziaływaniu grawitacyjnemu, a w konsekwencji bardzo małej zmianie stanu swego ruchu.
5. Łatwo się przekonać, Ŝe jeŜeli istnieje jeden układ inercjalny, to istnieje ich nieskończenie wiele,
poniewaŜ kaŜdy układ odniesienia spoczywający lub poruszający się ze stałą prędkością po
torze prostoliniowym względem tego „jedynego” układu teŜ jest układem inercjalnym.
6. Jak znaleźć w praktyce układ inercjalny? Najlepszym przybliŜeniem jest, jak powiedziano wcześniej, układ związany z gwiazdami stałymi. Dla gwiazd tych nie potrafiono dotychczas znaleźć ich
przyspieszenia i dlatego związany z nimi układ odniesienia spełnia dobrze wymogi układu inercjalnego. Dla celów praktycznych jako układ inercjalny moŜna obrać Ziemię. W szczególności
jest on przydatny w przypadku doświadczeń nad zjawiskami mechanicznymi, podobnie przy badaniu właściwości cząstek mikroświata - elektronów, nukleonów, jąder atomów i cząsteczek.
7. Dla wielu problemów Ziemia nie jest dobrym przybliŜeniem układu inercjalnego ze względu na
to, Ŝe obraca się wokół własnej osi. Dla kaŜdego punktu na powierzchni Ziemi istnieje więc przyspieszenie dośrodkowe. Ponadto w ruchu Ziemi dokoła Słońca po orbicie eliptycznej, występuje
kolejne przyspieszenie dośrodkowe. Istnieją teŜ dane, Ŝe Galaktyka wraz z grupą innych Galaktyk tworzących tzw. Układ lokalny wchodzi w skład ogromnego układu, tzw. Lokalnej Supergromady Galaktyk; środek tego układu znajduje się w odległości około 3 ⋅ 1023 m w kierunku gwiazdozbioru Panny. Nasza Galaktyka wraz z Układem lokalnym obraca się wokół środka tej Supergromady raz na około 2 ⋅ 1011 lat, czemu odpowiada przyspieszenie dośrodkowe.
8. Przytoczone fakty świadczą o błędach, jakie popełnia obserwator w układzie związanym nawet z
gwiazdami stałymi przyjmując je za układ inercjalny, jak równieŜ przyjmując za ten układ świat
laboratoryjny związany z Ziemią, Słońcem lub ze środkiem Galaktyki.
Temat: 22
Dyskusja II zasady dynamiki.
1. Wszelkie zmiany prędkości mogą zachodzić jedynie pod działaniem niezrównowaŜonych sił.
Związek między siłą i zmianami prędkości (przyspieszeniem) opisuje II zasada dynamiki.
r
2. Punkt materialny, na który działa niezrównowaŜona siła F , uzyskuje w inercjalnym układzie
r
odniesienia przyspieszenie a o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem siły i o wartości wprost proporcjonalnej
do wartości siły:
r
r
(1)
Fwyp = m ⋅ a
3. Współczynnik proporcjonalności m w powyŜszym wzorze jest charakterystyczny dla danego ciała
i nazywany jest masą bezwładną.
6
00505 Dynamika D
TEORIA
4. Określenie jednostki siły w układzie SI wynika z równania (1). Zgodnie z nim siła jest jednostkowa , jeśli działając na ciało o masie 1 kg nadaje mu przyspieszenie 1
m
. Siłę tę nazwano nius2
tonem:
 kg ⋅ m 
[1 N ] = 1 2 
 s 
(2)
5. Jest jasne, Ŝe I zasada dynamiki jest słuszna wtedy, gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Wynika to stąd, Ŝe prawa strona równania (1) zmienia się zaleŜnie od przyspieszenia obserwatora. Zapamiętać naleŜy, Ŝe postać równania (1) jest słuszna tylko wtedy, gdy masa m
jest stała.
6. W czasach Newtona doświadczenia wykazały, Ŝe masa m jest niezaleŜna od prędkości. Jednak
znacznie późniejsze eksperymenty podały zaleŜność masy od prędkości zgodnie z poniŜszym
równaniem:
(3)
m(v ) =
mspoczynkowa
1−
v2
c2
, gdzie c jest prędkością światła wynoszącą 2,998 ⋅ 108
m
s
Widać, Ŝe dla małych wartości prędkości v m ≈ mspoczynkowa - wówczas moŜemy traktować masę m
jako stałą. Dla prędkości mniejszych niŜ 1% prędkości światła będziemy traktować m jako stałe.
MoŜemy wtedy bezpiecznie uŜywać równania (1), bowiem dla
v
= 0,01 masa ciała w ruchu wyc
nosi m = 1,00005 mspocz.
7. Trzeba podkreślić, Ŝe siła występująca w II zasadzie dynamiki jest siłą wypadkową. Stosując tę
zasadę trzeba brać sumę wektorową wszystkich sił działających na punkt materialny.
8. Z równania (1) wynika addytywność masy i wektorowe dodawanie sił. Przez addytywność masy
rozumiemy to, Ŝe gdy połączy się masy mA i mB, utworzony obiekt będzie mieć masę wynoszącą
m = mA + mB. MoŜe to wydawać się absurdalnie oczywiste, a jednak wszystkie rozwaŜania o
przyrodzie muszą być sprawdzone doświadczalnie. Istnieją wielkości fizyczne nieaddytywne jak
np. wektory czy objętości mieszanin. JeŜeli do 1 litra wody dodać 1 litr alkoholu, to mieszanina ta
będzie miała znacznie mniejszą objętość niŜ 2 litry.
*To warto wiedzieć:
r
r
⇒ równanie Fwyp = m ⋅ a jest czymś więcej niŜ tylko definicją i wynika z niego skalarne dodawanie mas i wektorowe dodawanie sił,
r
r
⇒ w rzeczywistości doświadczenie nie potwierdza związku Fwyp = m ⋅ a , gdy punkt materialny
porusza się z prędkością bliską prędkości światła, ale związek
(4)
r
r
dp
Fwyp =
dt
doświadczenie potwierdza zawsze.
⇒ konsekwencją II zasady dynamiki jest zasada niezaleŜności sił. Głosi ona, Ŝe jeŜeli do punktu
materialnego przyłoŜonych jest jednocześnie kilka sił, to kaŜda z nich nadaje mu przyspieszenie określone przez II zasadę tak, jakby nie było wcale pozostałych sił.
7
00505 Dynamika D
TEORIA
Temat: 23
Ogólna postać II zasady dynamiki.
r
r
1. Jak pamiętamy, iloczyn masy m (skalara) i prędkości v nazywamy pędem ciała p . Por
niewaŜ prędkość v jest wektorem, wielkością wektorową jest równieŜ pęd:
r
r
(1)
p = m⋅v .
Zgodnie z równaniem (1) jednostką pędu jest
 kg ⋅ m 
(2)
[ p] = 1
 , czyli kilogramometr na sekundę.
 s 
lub
1 · , czyli niutonosekunda
(2a)
2. Mówiąc o zmianie pędu, Newton miał na myśli szybkość zmian pędu, czyli stosunek
przyrostu pędu do odpowiadającego mu przyrostu czasu. II zasada dynamiki moŜe być zatem opisana wzorem
r
r
r ∆p
r dp
F=
)
(3)
(dokładniej: F =
∆t
dt
r
∆p
Niniejszy zapis jest niutonowską postacią II zasady dynamiki. WyraŜenie
nazywamy
∆t
rozpędem. Inne sformułowanie II zasady dynamiki brzmi zatem: Pod działaniem siły ciało
rozpędza się; rozpęd równy jest co do wartości i kierunku działającej sile.
3. Newton uwaŜał masę za wielkość stałą, charakteryzującą dane ciało i to za wielkość addytywną. Przyjmując za Newtonem stałość masy danego ciała, czy teŜ punktu materialnego,
moŜemy II zasadę dynamiki wyrazić bardziej znanym wzorem
r r r
r
r
r
r ∆p v − v0
r dp d (mv )
dv
r
r
F=
=
=
=m
= m ⋅ a ).
(4)
= m ⋅ a (dokładniej: F =
∆t t − t 0
dt
dt
dt
W tym ujęciu siła jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia i jest przyczyną przyspieszenia.
4. Jeszcze inną postać moŜemy nadać II zasadzie dynamiki, pisząc równanie (3) w postaci
(5)
r
r
r
F∆t = ∆p , gdzie F∆t nazywamy popędem (impulsem siły).
Kolejne sformułowanie omawianej zasady brzmi: Przyrost pędu równy jest udzielone-
mu
przez siłę
czy teŜ
infinitezymalnie małym, czy teŜ skończonym,
r popędowi,
r w czasie
r
r
czyli: Fdt = dp czy teŜ F∆t = ∆p .
8
00505 Dynamika D
TEORIA
5. Ostatnie sformułowanie moŜemy podać prościej: Zmiana pędu równa jest popędowi, co
do wartości, kierunku i zwrotu. Interpretację geometryczną tego faktu podaje rys. 1.
r
p0
r
F∆t
0
Rys. 1
r
p
Temat: 24
Dyskusja III zasady dynamiki.
1. III zasada dynamiki, zwana zasadą akcji i reakcji, dotyczy wzajemnego oddziaływania dwóch ciał
(względnie układów ciał). Brzmi ona następująco:
r
r
JeŜeli ciało A działa na ciało B siłą FAB , to ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co
do wartości, lecz przeciwnie zwróconą:
r
r
(1)
FAB = − FBA
2. Siły występujące w równaniu (1) pojawiają się równocześnie, toteŜ nie moŜna powiedzieć, która z
nich jest siłą akcji, a która siłą reakcji, co widać wyraźnie np. w przypadku przyciągania grawitacyjnego dwóch ciał. Czasem jednak odróŜnia się siłę pierwotną - siłę akcji i siłę wtórną - siłę reakcji, np. w przypadku ciała spoczywającego na podstawie. Nacisk na podstawę traktuje się jako siłę
akcji, a oddziaływanie podstawy jako siłę reakcji.
9
00505 Dynamika D
TEORIA
r
3. Zestawienie sił w przypadku równi pochyłej pokazuje rys. 1. Siłę Q rozkładamy na dwie składo-
r
r
we: składową styczną Qx i składową normalną Qy . Ta ostatnia jest właśnie siłą nacisku na rów-
r
r
r
nię. Odpowiadająca jej siła reakcji R = − Qy . Druga składowa siły cięŜkości, a mianowicie Qx
jest siłą wprawiającą ciało w ruch po równi. Chcąc utrzymać ciało w spoczynku, naleŜy rtę składową zrównowaŜyć dodatkowa siłą, równieŜ styczną do równi, równą co do wartości Qx , lecz
przeciwnie skierowaną.
Rysunek 2 przedstawia prawidłową konstrukcję siły akcji i odpowiadającą
r
jej siłą reakcji R .
Rys. 1
3. NaleŜy podkreślić, Ŝe występujące parami siły wzajemnego oddziaływania (akcji i reakcji) są
zawsze przyłoŜone do dwóch róŜnych ciał (rys. 2) i ich działania nie znoszą się, w przeciwnym
bowiem wypadku (rys. 3) w ogóle nie byłby moŜliwy ruch ciała.
Rys. 2
Rys. 3a - Siły akcji i reakcji.
10
00505 Dynamika D
TEORIA
Rys. 3b - Siły równowaŜące się.
Inne przykłady występowania III zasady dynamiki Newtona ukazuje rysunek 4.
Rys. 4 - Siły akcji i reakcji na przykładzie jadącego samochodu.
Koniec