artykuł

50 minut bezcennej ekonomii.
Dawid Kukowka
W październiku 2012r. teoria gier
zyskała w swoich szeregach kolejnych
dwóch noblistów. Po tak wielkich postaciach jak choćby Nash czy Aumann
laureatami Nagrody Banku Szwecji im.
Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii
zostali Lloyd S. Shapley oraz Alvin E.
Roth. Od razu nasuwa się pytanie - za co
konkretnie została zdobyta tak ceniona w
świecie nagroda? Otóż obaj Panowie
otrzymali ją za:
„teorię stabilnych alokacji i wykorzystanie projektowania rynku”
W skrócie chodzi o badania nad łączeLloyd S. Shapley
Alvin E. Roth
niem "dóbr" z ich odbiorcami. Komitet
Noblowski podkreślił, że dzięki teoretycznym i praktycznym pracom laureatów udało się
opracować metodę działającą w sytuacji, gdy chodzi o maksymalnie, efektywne dopasowanie
do siebie zbiorów elementów rynku, z których jeden ma swoje oczekiwania i preferencje, a
druga strona określone potrzeby.
Lloyd był jednym z pięciorga dzieci wybitnego astronoma Harlowa Shapley’a. Urodził się
2 czerwca 1923 r. w Cambridge (stan Massachusetts). Wychowywał się w domu na terenie
obserwatorium astronomicznego Uniwersytetu Harvarda, którego dyrektorem był wówczas
jego ojciec. W 1943r. rozpoczął studia na Uniwersytecie Harvarda (na kierunku matematyka).
Niestety musiał je przerwać niedługo po rozpoczęciu i jako sierżant służył w amerykańskich
siłach powietrznych w Chińskim mieście Chengdu w wojnie z Japonią. Został odznaczony za
złamanie szyfrów przeciwnika. Po demobilizacji powrócił do Harvardu, gdzie w 1948 roku
ukończył matematykę. Zainteresowania militarne ułatwiły mu pracę w słynnym RAND
Corporation i dalsze studia na Uniwersytecie Princeton, gdzie uzyskał doktorat. W 1981
został profesorem Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles, pozyskał wielu zdolnych
uczniów i stał się uznanym mistrzem w gronie mistrzów teorii gier. Jest jedną z niewielu
osób, których prace zadecydowały o dzisiejszym kształcie tej dziedziny nauki. Ma też na
swoim koncie znaczące osiągnięcia czysto matematyczne, jednak i one powstawały na ogół z
myślą o użyciu w teorii gier. Shapley ma spory dorobek naukowy m. in. : Wartość Shapley’a
(Shapley value), rdzeń gry koalicyjnej, rozwinął również teorię gier o określonej funkcji
potencjału posiadającej specyficzne cechy zbieżności (potential games) oraz stworzył
algorytm odroczonej akceptacji (we współpracy z Davidem Galem).
Laureatem Nagrody Nobla został dzięki stworzeniu algorytmu odroczonej akceptacji, a
dokładniej ujmując, dzięki rozwiązaniu „problemu stabilnego małżeństwa”, który w latach 60
XX wieku opracował wspólnie z Davidem Galem (zmarłym w 2008 roku). Problem ten
wygląda następująco: mamy N kawalerów i N panien, każde z nich poszukuje przyszłego
małżonka mając swoje preferencje w zbiorze płci przeciwnej. Czy istnieje stabilne (tzn. takie
aby nie było powodów do zdrad) dopasowanie par małżeńskich?
W tabeli 1. Znajdują się czterej mężczyźni oraz cztery kobiety. Załóżmy, że każde z nich
może stworzyć własną listę preferencji pokazującą, kto według niego jest najbardziej
atrakcyjny. Każdy mężczyzna może uszeregować atrakcyjność kobiet od najlepszej
(pierwsza) do najmniej atrakcyjnej (czwarta). Każda kobieta jest w stanie uszeregować
analogicznie, jak podobają się jej mężczyźni.
Tabela 1.
Tabela preferencji mężczyzn i kobiet.
Źródło: opracowanie własne.
Tabela 1a. Przedstawia sytuację następującą: mężczyźni w pierwszej rundzie oświadczają się
tej kobiecie, która jest najwyżej w ich skali preferencji (w skrajnym przypadku wszystkie
kobiety otrzymają propozycję i sprawa będzie od razu zamknięta). Będą występować takie
przypadki, że niektóre panie otrzymają kilka opcji, a inne pozostają bez propozycji. W
każdym wariancie te, które propozycje otrzymają, udzielają odpowiedzi albo odmownej(kolor
szary), albo „niech będzie, dopóki nie trafi się ktoś lepszy”(kolor czerwony).
Tabela 1a.
Tabela przedstawia pierwszy krok w wyborze mężczyzn.




Adam proponuje Basię.
Bartek proponuje Dorotę.
Paweł proponuje Alicję.
Daniel proponuje Basię.

Basia akceptuje propozycję Daniela i odrzuca
propozycje Adama (ponieważ jest niżej w jej
liście preferencji).
Dorota akceptuje propozycję Bartka.
Alicja akceptuje propozycję Pawła.


Źródło: opracowanie własne.
W rundzie drugiej (Tabela 1b.) mężczyźni, którzy usłyszeli w zasadzie odpowiedź
pozytywną, nie mają potrzeby w kolejnej rundzie szukać kogoś następnego, bo mają
zarezerwowaną najlepszą (na razie) opcję z dostępnych. Ci, którzy nie otrzymali takiej
odpowiedzi, w następnej rundzie wybierają opcję drugą z możliwych. I znowu część z nich
otrzymuje odpowiedzi pozytywne, a część negatywne. Niektóre kobiety, które już wcześniej
wyraziły zgodę warunkową, mogą otrzymać lepszą propozycję. Wtedy zrezygnują ze swojego
poprzedniego wybranka, a ten zostanie uwolniony, by złożyć w następnej rundzie propozycję
kobiecie, która jest na ich liście na niższym miejscu.
Tabela 1b.
Tabela przedstawia drugi krok w wyborze mężczyzn.


Adam proponuje Dorotę (kolejna
osoba w jego liście preferencji).
Dorota przyjmuje propozycję Adama i
odrzuca wcześniejszą propozycję Bartka (ponieważ znajduje się niżej w jej
liście preferencji.
Źródło: opracowanie własne.
I tak do skutku aż algorytm doprowadzi do dopasowania wszystkich partnerów (Tabela 1c.).
Czyli otrzymamy osiągnięcie pewnej „równowagi”.
Tabela 1c.
Tabela przedstawia końcowe dopasowanie wszystkich partnerów.
Źródło: opracowanie własne.
Własności algorytmu (odroczonej akceptacji):


Algorytm prowadzi do dopasowania wszystkich partnerów.
Dopasowanie jest stabilne (brak par blokujących) – czyli nie ma takiego
mężczyzny, który preferowałby inną kobietę i jednocześnie ta kobieta wolałaby go
od swojego ostatecznego wybranka. Mężczyźni i kobiety z takich par będą mieli
tendencję do zdradzania swoich partnerów, a więc każdy układ małżeństw




zawierający pary blokujące może się szybko „rozsypać”. Stabilność oznacza
właśnie trwałość układu małżeńskiego, czyli brak tendencji do „rozsypywania się”
takiego układu.
Dopasowanie nie zależy od kolejności oświadczyn.
Dopasowanie nie jest jedynym stabilnym dopasowaniem.
Dopasowanie jest optymalne dla strony oświadczającej się (mężczyzn).
Dopasowanie nie musi być optymalne dla strony przyjmującej oświadczyny
(kobiet).
Gale i Shapley mieli nadzieję, że sformułowane przez nich wyniki znajdą zastosowanie w
praktyce. Ta nadzieja spełniła się w latach osiemdziesiątych, gdy Alvin Roth zainteresował
się tematyką odroczonej akceptacji.
Alvin E. Roth urodził się w 1951 roku. Jest amerykańskim ekonomistą, który poczynił
znaczący wkład w dziedzinie teorii gier, struktury rynku i ekonomii eksperymentalnej. W
1973r. uzyskał tytułu magistra, a rok później tytuł doktora na Uniwersytecie Stanforda
(tematyka - badania operacyjne). Po opuszczeniu Stanforda, Roth uczył na Uniwersytecie
Illinois. W 1982r. został profesorem ekonomii na Uniwersytecie w Pittsburghu. Następnie od
1998r. był wykładowcą na Harvardzie, obecnie ma status profesora wizytującego na
Uniwersytecie Stanforda. W swojej karierze poświęcił się praktycznym zastosowaniom
algorytmu Gale’a – Shapley’a.
Dopasowanie studentów medycyny do szpitali oraz uczniów do szkół.
Początkowo Roth zajmował się parowaniem studentów medycyny i szpitali zgłaszających
zapotrzebowanie na specjalistów. Ponieważ po II wojnie światowej proces aplikacji
studentów medycyny do szpitali w Stanach Zjednoczonych był stosunkowo nieefektywny. W
latach 40. z powodu braku lekarzy szpitale zaczęły składać oferty studentom w początkowej
fazie nauki, kiedy ci nie mieli jeszcze szans dobrze się zastanowić, co dokładnie chcą robić,
ani nie mieli jeszcze wyników ze studiów, co kończyło się zawieraniem suboptymalnych
kontraktów z punktu widzenia obu stron. Ponadto, w przypadku odrzucenia oferty przez
studenta, często było już za późno na złożenie oferty innej osobie. Dostrzegając wady
istniejącego systemu, w latach 50. w Stanach Zjednoczonych wprowadzono nowy sposób
rekrutacji, powołując do życia centralną organizację zajmującą się tym procesem- National
Resident Matching Program (NRMP). W artykule z 1984 roku Alvin Roth udowodnił, że
sukces NRMP wynika z tego, iż stosowany w nim mechanizm odpowiada mechanizmowi
dostosowania, jaki zaproponowali Shapley i Gale, oferując tym samym stabilne powiązania.
A więc stosowany algorytm pozwala stworzyć sytuację stabilną. Kandydaci mogli
przedstawić swoją listę preferencji od najlepszej placówki (do której chcą trafić) do
najgorszej. Student przy istniejącym wyborze trafiał w najlepsze miejsce z możliwych, a co za
tym idzie, nie doszłoby do takiej sytuacji, w której jakiś student wolałby pracować w innym
szpitalu i jednocześnie ten sam szpital wolałby mieć go w szeregach swojej kadry zamiast
jakiegoś innego studenta. Oczywiście analogicznie wygląda sytuacja przyporządkowania
uczniów do szkół. Każdy kandydat może uporządkować szkoły pod względem tego, która
jest dla niego najlepsza, a która najgorsza. Szkoły natomiast mają swoją listę preferencji
mówiącą o tym, którzy kandydaci są ich zdaniem najlepsi. W efekcie zastosowania algorytmu
można stworzyć „stabilne” rozwiązanie, czyli takie dopasowanie uczniów do odpowiednich
szkół, że nie istnieje rozwiązanie lepsze, tzn. że nie zdarzy się sytuacja po dopasowaniu, w
której jakiś uczeń powie, że wolałby inną szkołę i jednocześnie ta szkoła wolałaby go przyjąć
na miejsce innej osoby (oczywiście w tych przypadkach szkoły i szpitale są podmiotami,
które dokonują wyboru).
Barter organów
Jak widać algorytmy zajmujące się problemami dopasowania wydają się bardzo istotne dla
naszego życia. Jeszcze bardziej dobitnym przykładem może być sytuacja na rynku organów.
W USA, podobnie jak w większości krajów, zakazany jest handel organami. Dopuszczalne
jest jednak przekazanie komuś organu bez osiągania z tego jakichkolwiek korzyści
majątkowych np. siostrze czy koledze. Okazuje się jednak, że dopuszczalny jest barter
organowy. Weźmy program wymiany nerek, który Roth opracował i wdrożył w Nowej Anglii
w USA. Konieczność przeszczepu nerki pojawia się przy jej przewlekłej niewydolności.
Znalezienie potencjalnego żywego dawcy (co daje większą szansę, że przeszczep nie zostanie
odrzucony) nie jest proste. Z tym problemem borykają się wszystkie systemy zdrowotne
świata. Jednakże Roth opracował system, który daje większe szanse na otrzymanie nerki
przez chorego. Dajmy na to, że Magda potrzebuje przeszczepu nerki, co gorsza jej mąż
Adam nie może jej dać swojej, ponieważ występuje brak zgodności niektórych czynników
umożliwiających przeszczep. Mamy również Anię, która potrzebuje nerki, natomiast jej mążPaweł, również nie może ofiarować jej swojej. Załóżmy jednak, że taka zgodność występuje
między organami Magdy(biorca) i Pawła(dawca) oraz między organami Ani(biorca) i
Adama(dawca). Dzięki takiemu dopasowaniu udało się zwiększyć liczbę przeszczepów w
USA. Za pomocą tej metody nerkę otrzymały osoby, które być może nigdy nie doczekałby się
przeszczepu. 22-iego marca 2007 roku nastąpiła w Bostonie nietypowo duża operacja
przeszczepu nerek: trzech dawców i trzech biorców dopasowano na podstawie programu
Rotha. W 2012r. stworzono łańcuch, w którym dopasowano już 30 dawców i 30 biorców.
Podczas gdy Lloyd S. Shapley zbudował teoretyczne podwaliny teorii alokacji zasobów,
jego młodszy kolega Roth zajął się wprowadzaniem tej teorii w życie i jej przełożeniem na
rzeczywiste zwiększenie efektywności na rynkach. Trzeba zdawać sobie jednak sprawę z jej
ograniczeń. Wystarczy niektóre przypadki trochę bardziej skomplikować, a problemy są
nierozwiązywalne i algorytmy potrzebują modyfikacji np. (w przypadku par stażystów, które
pragnęły pracować w jednym szpitalu i próbowały obejść oficjalny system).
Na ceremonii rozdania nagród Banku Szwecji im. Alfreda Nobla organizatorzy dali obu Panom szkolną godzinę na wykład. Ten przyjazny duet sam podzielił czas wykładu – 7 minut
dla starszego mistrza Shapley’a i aż 43 dla Roth’a. Był to niewątpliwie wykład teorii bezcennej bo jak inaczej można nazwać fakt, że dzięki tej teorii można ratować ludzkie życie? W
świetle prawa nie możemy kupić nerki czy też miejsca na studiach (gdyż oczywiście jest ono
zależne od ilości punktów zdobytych na maturze), a to jeszcze dobitniej podkreśla znaczenie
słowa bezcennej. Lloyd Shapley i Alvin Roth pracowali niezależnie od siebie jednakże dzięki
połączeniu wyników teoretycznych Shapley’a i spostrzeżeń Roth ’a w ich wartość praktyczną,
w których wykorzystywane są teoria, dowody, i projekty interaktywnie rozwija się i jest bardzo obiecująca na przyszłość. Co również wyróżniła Komisja Noblowska wskazując na wzajemny związek i uwarunkowanie teorii i praktyki oraz twórcze łączenie dorobku pokoleń
uczonych, mistrzów i następców.
Bibliografia:










http://www.kozminski.edu.pl/fileadmin/wspolne_elementy/Jednostki/Decyzje/Decyzje
_19_2013_sylwetka.pdf
Zbigniew Świtalski „ O kojarzeniu małżeństw i rekrutacji kandydatów do szkół”
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2012/rothfacts.html
http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/economic-sciences/laureates/2012/rothfacts.html
Mateusz Machaj „ Algorytm najlepszego wyboru nie tylko w małżeństwie”
http://pl.wikipedia.org/wiki/Lloyd_Shapley
http://www.hbrp.pl/biblioteka/autor.php?ai=3749&t=lista-artykulow-HBRP-autorAlvin-E-Roth
http://kuznets.fas.harvard.edu/~aroth/alroth.html
http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/zastosowania/2012/11/12/Matching_mar
kets/
http://www.obserwatorfinansowy.pl/tematyka/makroekonomia/roth-mamy-wladzenad-rynkiem/