Klasy I (i równorzędne)

I etap
Klasy I
Klasy II
Klasy III
1. W rebusie KAR+KRA=RAK rozszyfruj
jaką liczbą jest RAK.
1. Skróć ułamek:
x8 + x6 + x 4 + x 2 + 1
x4 + x3 + x2 + x + 1
2. Wyznacz wszystkie trójki (x, y, z) liczb
rzeczywistych spełniających równanie:
1
x + y − 1 + z − 2 = (x + y + z ) .
2
3. Na końcach filarów A i B odległych od
siebie o 40 m przymocowano linę,
która zwisa swobodnie przybierając
kształt paraboli. Najniższy punkt
znajduje się 3 metry poniżej punktu A,
a różnica poziomów między punktami
A i B jest równa 20 m. wyznacz
równanie tej paraboli.
1. Suma n początkowych wyrazów ciągu
(a n ) określona
jest
wzorem
2. Czy
4+ 7 − 4− 7 − 2
jest liczbą wymierną?
3. Położone
nad
brzegiem
rzeki
miejscowości A i B są oddalone od
siebie o 20 km. Wioślarz płynie z
miejscowości A do B i z powrotem w
czasie 10 godzin. Na przepłynięcie
2 km pod prąd wioślarz potrzebował
tyle samo czasu, co na przepłynięcie 3
km z prądem rzeki. Oblicz prędkość
wody w rzece.
4. Sześciokąt foremny ma pole 36. Oblicz
pole
gwiazdy
sześcioramiennej
wyznaczonej przez krótsze przekątne.
5. Wyznacz
f ( f ( f (1997 ))) ,
jeśli
4. W kwadracie ABCD umieszczono 5
punktów. Udowodnij, że odległość
między pewnymi dwoma punktami nie
przekracza połowy długości przekątnej
kwadratu.
S n = 2n 2 + 3n . Wykaż, że
ciągiem arytmetycznym.
(a n ) jest
2. Wyznacz największą liczbę spośród
spełniających układ:
⎧⎛ 3 ⎞ x − y ⎛ 3 ⎞ y − x 7
⎪⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
⎨⎝ 4 ⎠
12
⎝4⎠
⎪
x
y
y
9
⋅
+
≤
⎩
3. W czworościanie ABCD krawędzie AB
i CD są równej długości. Niech K, L,
M, N będą środkami odpowiednio
krawędzi AC, BC, BD, AD. Udowodnij,
że proste KM i LN przecinają się pod
kątem prostym.
4. Udowodnij tożsamość:
α⎞
α ⎞ 2 cos α − 1 .
⎛
⎛
tg ⎜ 30 o + ⎟ − tg ⎜ 30 o − ⎟ =
2⎠
2 ⎠ 2 cos α + 1
⎝
⎝
5. Sporządź wykres funkcji
1
.
f (x ) =
1− x
y = x⋅
1+ x2
1+ x2
+1 −
−1
2x
2x
5. Przekątne czworokąta wypukłego
dzielą go na 4 trójkąty o polach S1, S2,
S3, S4. wykaż, że S1⋅S3= S2⋅S4.
1+ x2
1+ x2
+1 +
−1
2x
2x
II Powiatowa Olimpiada Matematyczna
Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1, 84-200 Wejherowo, ul. Bukowa 1