Powtórka z I semestru z Algebry Liniowej, luty 2016

Powtórka z I semestru z Algebry Liniowej, luty 2016
1. Przedstawi¢ w postaci
x + iy
podan¡ liczb¦ zespolon¡:
2. Rozwi¡za¢ równanie kwadratowe dla
(3+i)(1−6i)
.
1+i
z ∈ C: 2, 5z 2 + 3z + 1 = 0.
3. Obliczy¢ (tzn. przedstawi¢ w postaci
x + iy ) wszystkie pierwiastki zespolone stopnia n z liczby
√
z dla z = −1 − i 3, n = 4. Udowodni¢, »e
Pn
sin2nϕ
(a)
k=1 cos(2k − 1)ϕ = 2 sin ϕ , je±li ϕ 6= 0;
(b)
cos 8◦ + cos 16◦ + cos 24◦ + · · · + cos 176◦ = −1/2.
4. Znale¹¢ znak
σ,
rozkªad
σ
na cykle rozª¡czne oraz obliczy¢
σ :=
σ 100 ,
je»eli
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 8 9 1 3 10 4 2 7 11 6
.
5. Zbada¢, czy podzbiór
W = {w ∈ R4 [ · ] : w(−1) = w(1), w0 (0) = 0}
jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ w
R4 [ · ]
(przestrze« wielomianów stopnia
kach rzeczywistych). Je±li tak, znale¹¢ wymiar
W

6. Znale¹¢ bazy podprzestrzeni


1
1
1
 1
4 −2 
.
im 
 2
4
0 
−1 −1 −1
64
o wspóªczynni-
i poda¢ przykªad bazy.
V1 , V2 , V1 ∩ V2 , V1 + V2 ,
je±li

1 2 0 −1
1  , V2 :=
V1 := ker  0 1 3
1 0 −6 −3