POBIERZ wykład nr 6

2016-11-22
Rozkład wykładniczy (eksponencjalny)

Jest to rozwinięcie rozkładu geometrycznego na ciągłe zmienne
losowe
f X ( x)  l e  l x
l e
x [0,)


dx  l  e l x dx  l
0


1 l x  
e
 (1) e l   e l 0  (1)(0  1)  1
0
( l )
Dystrybuanta (prawdopodobieństwo, że zaszła zmiana)

x

FX ( x)   l e l t dt  (1) e lx  e l 0  1  e lx
0
 PX ( X  x)  1  FX ( x)  e

 lx
Posiada własność braku pamięci
s, t  0 : PX ( X  t  s | X  t )  PX ( X  s)
(dowód analog. do rozkładu geometrycznego,
zastosowanie: metoda datowania węglem 14C)

RPiS 2016/2017
Wartość oczekiwana E(X)=1/ l
var(X)=1/(l2)
1
Rozkład Weibulla
Rozszerzenia rozkładu wykładniczego to
Rozkład Erlanga (ile trzeba czekać na n-te zdarzenie)
Rozkład Weibulla (prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia nie jest stałe w
czasie) – wyprowadzenie z rozkładu dwumianowego

l x
0
Zastosowania:
czas dostępu do serwera
promieniowanie kosmiczne
czas wezwania karetki pogotowia
czas obsługi klienta w banku

Normalizacja

l – parametr rozkładu, l >0
Gdy x interpretujemy jako czas to rozkład wykładniczy opisuje
prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, które zachodzi ze stałym
prawdopodobieństwem w jednostce czasu. Zdarzeniem może być
przejście układu do nowego stanu.

Rozkład wykładniczy -własności

RPiS 2016/2017
2
Rozkład Weibulla

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
f X ( x)  as a xa 1e x / s 
a


x [0,), a  0, s  0
Parametr a decyduje o kształcie, s o położeniu i wysokości (skali).
dla a=1 - rozkład wykładniczy,
dla a=2,3 - rozkład zbliżony do normalnego
Dystrybuanta
FX ( x)  1  e  x / s 
a

Wartość oczekiwana i wariancja

Funkcja Gamma Eulera
E( X )  s (1  a 1 )

( p ) 
x
var( X )  s 2 (1  2a 1 )  ((1  a 1 ))2 
(1)  1
p 1  x
e dx
(0.5)  
(n)  (n  1)!
0
( p)  ( p  1)( p  1)
RPiS 2016/2017
3
s
f
X
( x) dx  0.6321


0


RPiS 2016/2017
4
Rozkład normalny N(m,s2)
Rozkład Weibulla

n N
63,21% populacji umiera do czasu s (niezależnie od a ).
Zastosowania: czas życia (ubezpieczenia), zużywanie się
elementów w technice, czas dostawy produktu (logistyka),
rozkład siły wiatru.
Generowanie:
1) Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze s
to zmienna losowa Y=X(1/a) ma rozkład Weibulla fY(y)
o parametrach a i s .
2) Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład jednorodny na przedziale
(0,1) to zmienna losowa Y=s(-ln(X))(1/a) ma rozkład Weibulla fY(y)
o parametrach a i s .
RPiS 2016/2017
5

Zwany jest również rozkładem Gaussa.
Jest to najważniejszy z rozkładów.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
f X ( x) 

s


( xm )2
2s 2
xR
Rozkład ten jest unormowany:


1
e
s 2
1
e
2
( xm )2
2s 2
dx  1
Rozkład jest symetryczny względem x=m.
Dla m=0 i s=1 nazywany jest
standardowym rozkładem normalnym
(standardowym rozkładem Gaussa).
RPiS 2016/2017
6
1
2016-11-22
Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1)

Dystrybuanta rozkładu normalnego
Nie potrafimy policzyć analitycznie. Można tego uniknąć licząc ją numerycznie,
korzystając z tablic dla N(0,1) lub korzystając z przybliżonych wzorów dla N(0,1)
2 x 2
FX(1) ( x) 
1 1

1 e
2 2
FX( 2) ( x) 
1 1

1 e
2 2

2 x2


2(  3) 4
xe
3 2
 x2
2
gdzie górny znak odpowiada x>0 a dolny x≤0.



Średnia arytmetyczna FX ( x)  ( FX ( x)  FX ( x)) / 2
przybliża prawdziwą dystrybuantę z dokładnością 0.1%.
Wzory te mogą posłużyć za punkt wyjścia do metody odwracania dystrybuanty
(numerycznego) i napisaniu generatora liczb pseudolosowych o rozkładzie N(0,1)
Funkcja błędu Gaussa bywa zaimplementowana w niektórych kompilatorach (Java)
( 3)
erf ( x) 
2

x
e
t 2
dt
(1)
wtedy
( 2)

FX ( x)  0.5 1  erf ( x / 2 )

0
RPiS 2016/2017
7
2