Matematyka finansowa 3

Matematyka finansowa - 3
Przepływy pieniężne – 1
Wartość aktualna i przyszła dla przepływów dyskretnych i ciągłych
Oprocentowanie - dyskontowanie ciągłe ze zmienną stopą (siłą).
1. Stopy przedziałami stałe
Załóżmy, że zmiany stopy procentowej następują w momentach 0 = t 0 < t 1 < t 2 <. . . < t N = T,
a kapitalizacja jest ciągła. Oznaczmy:
i t n ,t n+1  = r n - efektywna stopa procentowa na okres t n , t n+1 ;
i efn - równoważna roczna efektywna stopa procentowa (obowiązująca tylko w okresie
t n , t n+1 !),
δ n - równoważna roczna siła oprocentowania (ciągła stopa) (obowiązująca tylko w
okresie t n , t n+1 !),
i nom
- równoważna roczna nominalna stopa procentowa (obowiązująca tylko w
n
okresie t n , t n+1 !),
q n = 1 + i efn = e δ n - roczny czynnik kumulujący,
v n = q1n - roczny czynnik dyskontujący.
Mamy:
1 + r n = 1 + i nom
n t n+1 − t n 
= 1 + i efn  t n+1 −t n = e δ n t n+1 −t n 
Oznaczmy:
q s,t - czynnik kumulujący na okres s, t, gdzie t k−1 ≤ s ≤ t k ≤. . . ≤ t n ≤ t ≤ t n+1
1
v s,t = q s,t
- czynnik dyskontujący na okres s, t.
Wtedy:
t k −s
t−t n
q s,t = 1 + r k−1  tk−tk−1 1 + r k . . . 1 + r n−1 1 + r n  tn+1 −tn
= 1 + i efk−1  t k −s ∏ j=k 1 + i efj  t j+1 −t j 1 + i efn  t−t n
n−1
=e
n−1
δ j t j+1 −t j +δ n t−t n 
∑ j=k
δ k−1 t k −s+
W szczególności, gdy
1
q k−1 = q k =. . . = q n−1 = q n = q = 1 + i ef = e δ , v = 1
q,
to:
q s,t = q t−s = e δt−s ,
v s,t = v t−s = e −δt−s
2. Stopy zmieniające się dowolnie (całkowalne funkcje t ↦ it, t ↦ δt
Przy poniższych oznaczeniach:
i t,t+dt = r t - efektywna stopa procentowa w momencie t
(≅ na okres t, t + dt, dt ≈ 0;
i ef t - równoważna roczna efektywna stopa procentowa w momencie t;
δt - równoważna roczna siła oprocentowania (ciągła stopa) w momencie t;
qt − roczny czynnik kumulujący w momencie t;
vt − roczny czynnik dyskontujący w momencie t;
mamy:
qt = 1 + i ef t = e δt , vt = 1
qt
1 + r t = e δtdt = 1 + i nom tdt = 1 + i ef t dt
t
q s,t = e
∫ s δτdτ
,
v s,t = e
t
∫ s δτdτ
−
3. Przepływy pieniężne (Cash Flows):
Strumień przepływów pieniężnych
P = Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N ,
to ciąg wpływów Pt n  > 0 oraz wydatków Pt n  < 0, następujących w momentach
0 = t 0 < t 1 < t 2 <. . . < t N = T.
Oznaczmy przez F P t wartość strumienia P na moment t ∈ 0, T wyliczaną przy zadanych
czynnikach kumulujących q t n ,t i dyskontujących v t,t n  .
Mamy:
2
F P t = ∑ Pt n q t n ,t + ∑ Pt n v t,t n 
t≤t n ≤T
0≤t n <t
dla t ∈ 0, T,
Uwaga
Przy kapitalizacji ciągłej zawsze mamy:
F P t = F P sq s,t ,
F P s = F P tv s,t
s < t
W szczególności :
F P 0 - wartość aktualna (przy t 0 = 0 (Present Value) w momencie t = 0:
F P 0 =
∑
Pt n v 0,t n 
0≤t n ≤T
F P T - wartość przyszła (przy t N = T (Future Value) w momencie t = T :
F P T =
∑
Pt n q t n ,T
0≤t n ≤T
Gdy stopy procentowe w kolejnych latach są jednakowe, tzn.
i 0 = i 1 =. . . = i N−1 = i,
q = 1 + i = eδ,
v = q −1
to:
F P,i t =
∑
Pt n q t−t n = q t
0≤t n ≤T
∑
Pt n v t n dla t ∈ 0; T
0≤t n ≤T
Gdy ponadto t n = n dla n = 0, 1, 2, . . . , N , to:
N
N
n=0
n=0
F P,i t = 1 + i ∑ Pn 1  n = q t ∑ Pnv n .
1+i
t
Dla strumienia P̂ ciągłych płatności z intensywnością t  pt Pt ≈ ptdt - wpłata w
3
momencie t + dt za okres t, t + dt, dt ≈ 0, przy dowolnych siłach oprocentowania (ciągłych
stopach) δt, t ∈ 0, T (! funkcja t  δt całkowalna) i ciągłej kapitalizacji :
F0 = P0 -kapitał początkowy,
δt - roczna siła oprocentowania w momencie t (≅ na okres t, t + dt,
e δtdt - czynnik kumulujący w momencie t,
mamy dla płatności w okresie 0; t
t
F P̂ t = P0q 0,t + ∫ q ⋅ psds = F0 ⋅ e
0
t
∫ 0 δτdτ
t
+ ∫ ps ⋅ e
t
∫ s δτdτ
ds
0
4. Różnicowe równanie na przyrost kapitału:
Dla strumienia przepływów P = Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N  , przy zmianach stopy
procentowej i kapitalizacjach w momentach t 0 < t 1 < t 2 <. . . < t N oznaczmy:
r n−1 = i t n−1 ,t n  − stopa efektywna na okres t n−1 , t n  dla n = 1, 2, . . . , N; (przyjmujemy
dodatkowo r N = 0;
q t n−1 ,t n  = 1 + r n−1 −czynnik kumulujący na okres t n−1 , t n ;
Kt 0  = Pt 0  kapitał (wpłata) początkowy,
Kt n  − kapitał zgromadzony w okresie t 0 , t n .
Przyrost kapitału w okresie t n−1 , t n  przy oprocentowaniu składanym:
dla n = 1, 2, . . . , N
Kt n  − Kt n−1  = Kt n−1 r n−1 + Pt n 
(odsetki Kt n−1 r n−1 + wpłata Pt n 
czyli
Kt n  − Kt n−1 1 + r n−1  = Pt n 
dla n = 1, 2, . . . , N
RD
N
Mnożąc n −te równanie przez czynnik q t n ,t N  = ∏ 1 + r m  = 1 + r n 1 + r n+1 . . . 1 + r N−1 1
(kumulujący na okres t n , t N ) otrzymujemy
m=n
4
N
N
N
m=n
m=n−1
m=n
Kt n  ∏ 1 + r m  − Kt n−1  ∏ 1 + r m  = Pt n  ∏ 1 + r m 
dla n = 1, 2, . . . , N,
czyli kolejno:
N
N
N
m=1
m=0
m=1
N
N
N
m=2
m=1
m=2
Kt 1  ∏ 1 + r m  − Kt 0  ∏ 1 + r m  = Pt 1  ∏ 1 + r m 
Kt 2  ∏ 1 + r m  − Kt 1  ∏ 1 + r m  = Pt 2  ∏ 1 + r m 
...
N
N
N
m=N−1
m=N−2
m=N−1
Kt N−1  ∏ 1 + r m  − Kt N−2  ∏ 1 + r m  = Pt N−1  ∏ 1 + r m 
N
Kt N  − Kt N−1  ∏ 1 + r m  = Pt N .
m=N−1
”Sumując stronami” powyższe równości otrzymujemy
N
Kt N  − Kt 0  ∏1 + r m  =
N
∑
N
Pt n  ∏1 + r m  .
m=0
n=1
m=n
N
N
N
m=0
n=1
m=n
Stąd
Kt N  = Kt 0  ∏1 + r m  + ∑ Pt n  ∏1 + r m 
S
czyli
N
F P t N  = Kt N  =
∑
n=0
N
Pt n  ∏1 + r m 
m=n
Różniczkowe równanie na przyrost kapitału:
Dla strumienia ciągłych przepływów P z intensywnością p : 0, T → R przy stopach
procentowych zmieniających się w każdym momencie i ciągłej kapitalizacji oznaczmy:
i s,s+ds = r s - efektywna stopa procentowa w momencie s (na okres
5
s, s + ds, ds ≈ 0;
i nom s − roczna nominalna stopa w momencie s,
δs − roczna siła oprocentowania w momencie s,
q s,s+ds = 1 + r s = 1 + i nom sds = 1 + i ef s ds = e δsds - czynnik kumulujący na okres
s, s + ds,
K0 = P0 − kapitał (wpłata) początkowy,
Ps ≈ psds - wpłata w momencie s + ds, ds ≈ 0,
Ks − kapitał zgromadzony w okresie 0, s.
Przyrost kapitału w okresie s, s + ds przy kapitalizacji ciągłej:
Ks + ds − Ks = Ksr s + psds
dla s ∈ 0, T
(odsetki Ksr s + wpłata psds.
Stąd
Ks + ds − Ks1 + r s  = Ks + ds − Kse δsds = psds.
RC
Stąd
a zatem, ponieważ lim ds→0
niejednorodne
δsds
Ks + ds − Ks
− 1 = ps
− Ks e
ds
ds
e δsds −1
= δs, otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe
ds
dK s − Ksδs = ps
ds
dla s ∈ 0, T
t
Mnożąc to równanie przez czynnik całkujący q s,t = e
t
t
τ=s
τ=s
∫ s δτdτ
(odpowiadający ”granicy
iloczynów” ∏1 + r τ  = ∏ e δtdτ ,  i kumulujący na okres s, t) otrzymujemy
t
t
t
dK se ∫ s δτdτ + Ks−δse ∫ s δτdτ  = pse ∫ s δτdτ
ds
t
Ponieważ
d
ds
e
∫ s δτdτ
=
d
ds
e
s
t
∫ t δτdτ
−
= −δse
∫ s δτdτ
, to powyższe równanie można
zapisać jako
t
d
ds
Kse
∫ s δτdτ
t
= pse
∫ s δτdτ
.
Całkując względem s w przedziale 0, t, (czyli ”sumując stronami”) powyższe równanie
otrzymujemy
6
t
Kte
t
t
∫ t δτdτ
− K0e
∫ 0 δτdτ
∫ pse
=
t
∫ s δτdτ
ds,
0
zatem dla t ∈ 0, T
t
t
Kt = K0e
∫ 0 δτdτ
+ ∫ pse
t
∫ s δτdτ
t
ds = P0q 0,t + ∫ psq s,t ds
0
#
0
W szczególności, gdy δτ ≡ δ, to
t
Kt = K0e + ∫ pse
δt
t
δt−s
K0 + ∫ pse −δs ds e δt
ds =
0
0
Przyrost naliczonego kapitału w okresie t n−1 , t n  przy przedziałami stałych stopach i
oprocentowaniu prostym (kapitalizacja w momencie t N  :
̃ t n  − K
̃ t n−1  =
K
Kt 0  + ∑ k=1 Pt k  r n−1 + Pt n 
n−1
dla n = 1, 2, . . . , N
gdzie:
n−1
Kt 0  + ∑ k=1 Pt k  r n−1 - odsetki od wpłat do momentu t n−1 ,
Pt n  - wpłata w momencie t n .
Sumując stronami (względem n) kolejne równania a następnie zmieniając kolejność
sumowania po k oraz po n oraz nazwy zmiennych sumowania otrzymamy
N
Kt N  = Kt 0  1 + ∑ r n−1
n=1
N
N
n=1
k=n
+ ∑ Pt n  1 + ∑ r k
W szczególności, gdy r n−1 = t n − t n−1 i nom , to:
N
Kt N  = Kt 0 1 + t N − t 0 i
nom
 + ∑ Pt n 1 + t N − t n i nom 
n=1
7
Gdy ponadto t n =
n
N
t, oraz Pt n  ≡ P, to
N
N − 1 nom
= Kt 0 1 + ti nom  + PN 1 + t
i
N
2
Kt = Kt 0 1 + ti nom  + P ∑ 1 + t N − n i nom
N
n=1
Przyrost naliczonego kapitału w okresie s, s + ds ⊂ 0, T, przy stopach zmieniających się
w każdym momencie i oprocentowaniu prostym z kapitalizacją w momencie T :
̃ s + ds − K
̃ s =
K
s
K0 + ∫ pτdτ r s + psds
0
dla s ∈ 0, T
gdzie r s = i nom s ⋅ ds = e δsds − 1.
Mamy
δsds
− 1 = δs.
i nom s = lim r s = lim e
ds→0 ds
ds→0
ds
Otrzymujemy więc równanie różniczkowe
dK̃
ds
s
K0 + ∫ pτdτ δsds + psds
sds =
0
dla s ∈ 0, T
t dK̃
ds
∫0
sds = ∫
t
0
s
K0 + ∫ pτdτ δs + ps ds
0
dla s ∈ 0, T
Całkując je względem s w przedziale 0, t, (czyli ”sumując stronami”) i zamieniając najpierw
kolejność, a następnie nazwy zmiennych całkowania τ oraz s w całce iterowanej otrzymujemy
t
̃ t = K0 1 + ∫ δsds
K
= K0 1 + ∫ δsds
0
s
t
0
0
0
+ ∫ δs ∫ pτdτ ds + ∫ psds
0
t
t
t
t
+ ∫ ps 1 + ∫ δτdτ
0
ds
s
8
Zatem
t
t
t
̃ t = K0 1 + ∫ δsds
K
+ ∫ ps 1 + ∫ δτdτ
0
0
ds
s
dla t ∈ 0, T.
W szczególności, gdy δτ ≡ δ, to
t
̃ t = K01 + δ ⋅ t + ∫ ps1 + δ ⋅ t − sds.
K
0
Gdy ponadto ps ≡ p, to
̃ t = K01 + δ ⋅ t + pt1 + t δ
K
2
Zadanie
Formułę z sumami
N
N
N
m=0
n=1
Kt N  = Kt 0  ∏1 + r m  + ∑ Pt n  ∏1 + r m 
S
m=n
wyprowadzoną dla strumienia dyskretnych przepływów P = Pt 0 , Pt 1 , Pt 2 , . . . , Pt N  z
zależności różnicowej, można uzyskać przez ”dyskretyzację” formuły z całkami
t
Kt N  = Kt 0 e
∫ t N δτdτ
0
tN
+ ∫ pse
t
∫ sN δτdτ
C
ds
t0
wyprowadzonej dla strumienia ciągłych przepływów P z intensywnością p : t 0 , t N  → R z
zależności różniczkowej.
W tym celu wystarczy zdefiniować zmienną stopę ciągłą (siłę oprocentowania) δ : t 0 , t N  → R
jako funkcję schodkową
N
δs =
∑ δ n−1 χ t
n−1 ,t n 
s
n=1
δs = δ n−1 dla s ∈ t n−1 , t n ,
dla n = 1, 2. . . , N
taką, że
9
t
∫tn
δτdτ
e n−1
= e δ n−1 t n −t n−1  = 1 + r n−1 ,
oraz dobrać intensywność p : t 0 , t N  → R tak aby
∫t
tn
t
pse
∫ sn δτdτ
n−1
ds =
∫t
tn
pse δ n−1 t n −s ds = Pt n 
n−1
dla n = 1, 2. . . , N. .
W szczególności intensywność może być także funkcją schodkową
ps = p n dla s ∈ t n−1 , t n ,
gdzie p n łatwo wyliczyć z warunku
∫t
tn
p n e δ n−1 t n −s ds = Pt n .
n−1
1. Wykonać odpowiednie podstawienia i obliczenia korzystając z własności całki:
∫t
tN
0
N
fsds =
∑ ∫t
n=1
tn
fsds
n−1
2. Przeprowadzić analogiczne obliczenia dla formuł uzyskanych przy oprocentowaniu
prostym (- uwaga: czy stałą w podokresie intensywność można dobrać tak, aby zależała tylko
od stopy w tym podokresie i raty na koniec podokresu?)
10