TWIERDZENIE PITAGORASA Pamiętaj, że we wszystkich

TWIERDZENIE PITAGORASA1
Pamiętaj, że we wszystkich zadaniach praktycznych konieczne jest przyjęcie
dodatkowych założeń, które idealizują rzeczywistość, ale jednocześnie umożliwiają
zastosowanie w rozwiązaniach metod matematycznych. Bowiem matematyka działa
tylko na modelach, a nie na rzeczywistych obiektach, a naszym celem jest
znalezienie
modeli
jak
najwierniej
odzwierciedlających
rzeczywistość.
Wyobraź sobie sytuację opisaną w każdym zadaniu, naszkicuj ją i zaznacza trójkąt
prostokątny, z którego własności chcesz skorzystać.
Sytuacje płaskie
1. Dziadek Aleks kupił od Zarządu Ogródków Strawbery Fields Forever kwadratową
działkę rekreacyjną. Zmierzył alejki biegnące wzdłuż jej przekątnych i otrzymał w
sumie 80 m. Ile metrów bieżących siatki potrzebuje dziadek na ogrodzenie swojej
działki? Dziadek Aleks postanowił obsadzić całą działkę truskawkami
odmiany Mucha nie siada, które uwielbiają jego wnuki. W celu optymalnego
nasłonecznienia na każdym metrze kwadratowym powinno rosnąć nie więcej niż 40
sadzonek. Ile sadzonek dziadek powinien zakupić?
2. Ogród różany hrabiny Cosel ma kształt trójkąta równobocznego o boku 1200 m. W
jego wierzchołkach biją trzy cudowne źródła. W sercu ogrodu romantyczna hrabina
pragnie wybudowaćAltanę westchnień, ale w takim miejscu, by leżała w równych
odległościach od każdego ze źródeł. Jak długą drogę będzie musiała pokonać z
altany, by napić się źródlanej wody?
3. Pomysłowy Dobromir skleił czworokątny latawiec z dwóch trójkątów prostokątnych,
stykając je bokami o długości 50 cm. W jednym trójkącie bokiem tym była
przyprostokątna, a w drugim przeciwprostokątna. Pewne przyprostokątne w tych
trójkątach miały odpowiednio 120 cm i 40 cm. Jaki był obwód latawca?
4. Huragan Helmans wyrządził wiele szkód. Uszkodził m.in. tysiącletnią stumetrową
sekwoję tak, że częściowo przełamała się na pewnej wysokości a jej wierzchołek
sięgnął ziemi w odległości 40 m od pnia drzewa. Na jakiej wysokości Helmans
przełamał drzewo?
5. Wokół prostokątnego ogrodu jordanowskiego wykopano kanał o szerokości 4 m,
po którym można pływać kajakami. Z kolei wzdłuż zewnętrznego brzegu kanału
poprowadzono alejkę, na której postawiono budkę z lodami i drugą z watą cukrową.
Stoją one na sąsiednich bokach alejki w odległości 120 m i 160 m od ich wspólnego
wierzchołka. Przed każdą z nich przerzucono mostek nad kanałem prowadzący na
teren ogrodu. Która droga między budkami z łakociami jest krótsza: wzdłuż alejki, czy
wiodąca przez dwa mostki i na skróty przez ogród?
1
Zadania zostały zaczerpnięte ze strony Wrocławskiego Portalu Matematycznego
http://www.matematyka.wroc.pl/kolkomatematyczne/do-boju-z-pitagorasem
Proste sytuacje przestrzenne
1. Dom Capulettich stoi frontem do ulicy via d'Amor o szerokości 3 m (razem z
chodnikami). Krawędź balkonu Julii znajduje się na wysokości 4 m nad ziemią.
Romeo przyniósł 5 metrową drabinę, którą chce ustawić tak, by jej górny koniec
sięgał dokładnie do krawędzi balkonu. Jak daleko od ściany domu Capulettich
powinien ustawić dolny koniec drabiny? Czy via d'Amor nie jest zbyt wąska, by mu
się to udało?
2. Dom Ani z Green Hill leży 80 m, a dom Diany 60 m od rzeki, ale na przeciwnych
brzegach. Na wysokości każdego z domów przerzucono przez rzekę mostek. Gdyby
domy leżały na tym samym brzegu i w równej odległości od rzeki, dzieliłoby je 140 m.
Rzeka ma 4 m szerokości. Jaką najkrótszą drogę musi pokonać Ania, by odwiedzić
Dianę? A jaką Diana, by odwiedzić Anię?
3. Filias Fogg podróżuje w balonie na wysokości 150 m nad Równiną Filozofów.
Właśnie przelatuje nad pomnikiem Pomponidasa, będąc jednocześnie w odległości
170 m od podstawy cokołu pomnika Mamałazjasza. Jaka jest odległość między
pomnikami?
4. Zosia Samosia rysuje okrąg o promieniu 5 cm cyrklem o ramionach długości 13
cm, trzymając go w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny kartki. Cyrkiel
zwieńczony jest kulką o średnicy 1 cm. W jakiej odległości od kartki znajduje się
czubek cyrkla?
5. W wiśniowym sadzie na drzewach rosnących w odległości 5 m siedzą Ptyś i
Balbina. Chłopiec wdrapał się 2 m nad ziemię, a Balbina siedzi na wysokości 1 m.
Pomiędzy drzewami ustawili wiadro tak sprytnie, że są od niego w jednakowych
odległościach. Teraz jedzą wiśnie i celują pestkami do wiadra. Na jaką odległość
muszą wystrzelić pestki?
Zadania trochę trudniejsze
1. Dwa ptaki wylatują w tym samym momencie ze szczytów dwóch wież odległych o
50 m. Wysokość jednej wieży to 30, a drugiej – to 40 m. Lecąc z tą samą prędkością,
ptaki dolatują w tym samym momencie do fontanny usytuowanej na prostej łączącej
podstawy obu wież. W jakich odległościach od wież znajduje się fontanna?
2. Oblicz obwód trójkąta, w którym dwa boki mają długości 1 i 2, a kąt między nimi
ma 120 stopni.
3. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o średnicy d, a odcinki AC i BD są
prostopadłe. Udowodnij, że AB2 + CD2 = d2.
4. Na kwadratowej ścianie prostopadłościanu 4 na 4 na 10 siedzi pająk krzyżak. Jest
w odległości 3 od jednego boku ściany, na której siedzi, i 2 od innego. Znajdź
najkrótszą drogę, po której pająk może przedostać się na punkt położony
symetrycznie do jego obecnego położenia względem środka prostopadłościanu.
5. Czy trójkąt o bokach długości 3− 2 ,
2 + 3 i 2 5 jest prostokątny?