S88 Badanie rzutu kostką sześcienną

S88 Badanie rzutu kostką sześcienną
Andrzej Kapanowski∗
29 lutego 2012
Streszczenie
Celem ćwiczenia jest zbadanie rzutu kostką sześcienną. Dokument
ma być pomocą przy przygotowywaniu opracowania z ćwiczenia wykonanego w I Pracowni Fizycznej w systemie składu dokumentów LATEX.
Stosowany jest zestaw pakietów i konwencji właściwych dla języka polskiego.
1
Wstęp teoretyczny
1.1
Sprawy formalne
Wymagane części sprawozdania opisane są w regulaminie [1]. Sprawozdaniu musi towarzyszyć wypełniona strona administracyjna, do pobrania ze
strony I Pracowni Fizycznej (IPF). Ponadto należy dołączyć kopię protokołu
pomiarowego z podpisem asystenta. Opisy ćwiczeń znajdują się w skrypcie
[2] i na stronach IPF.
Zaleca się pisanie sprawozdania w edytorze tekstu, a nie ręcznie, przy
czym można wykorzystać system LATEX, MS Word, czy OpenOffice Writer.
Wykresy można przygotować w programach Gnuplot, Grace, Origin, QtiPlot,
ale też w innych programach pod warunkiem, że będą czytelne i prawidłowo
opisane. Dopuszczalne są wykresy na papierze milimetrowym lub funkcyjnym. Wykresy powinny mieć format A4 (osobna kartka) lub mieć wielkość
połowy strony A4 (wstawione do tekstu). Wykresy i tabele muszą być numerowane.
∗
E-mail: [email protected]
1
1.2
Opis teoretyczny rzutu kostką
Definiujemy zmienną losową dyskretną X, która przyjmuje wartości xi
od 1 do 6. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać
pi = P (X = xi ) = 1/6 dla i = 1, . . . , 6.
(1)
Określamy dystrybuantę zmiennej losowej X jako funkcję
F (x) = P (X < x) dla x ∈ R.
(2)
Dystrybuantę dla rzutu kostką przedstawiono na rys. 1. Określamy wartość
oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej X jako liczbę
E(X) =
6
X
xi pi = 7/2.
(3)
i=1
Określamy wariancję zmiennej losowej X jako liczbę
V (X) = E[X − E(X)]2 = E(X 2 ) − E 2 (X) = 35/12.
1.3
(4)
Estymacja punktowa
Niech Xi (i = 1, . . . , n) oznaczają zmienne losowe odpowiadające za wyniki poszczególnych pomiarów. Estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna
n
1X
X̄ =
Xi .
(5)
n i=1
Estymatorem wariancji jest kwadrat odchylenia standardowego pojedyńczego
pomiaru
n
1 X
S12 =
(Xi − X̄)2 .
(6)
n − 1 i=1
Estymatorem wariancji średniej arytmetycznej jest kwadrat odchylenia standardowego średniej arytmetycznej
n
X
1 2
1
(Xi − X̄)2 .
S1 =
n
n(n − 1) i=1
2
2.1
(7)
Opis eksperymentu
Układ doświadczalny
Układ doświadczalny składał się z kilku kostek sześciennych różnych producentów.
2
1
Prawdopodobienstwo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
x
5
6
7
8
Rysunek 1: Dystrybuanta dla rzutu kostką. Rysunek (kostka.eps i kostka.pdf )
wykonany w programie Gnuplot.
3
2.2
Przebieg doświadczenia
Wstępny plan pracy może być zapisany w zeszycie laboratoryjnym. W
sprawozdaniu powinien być zapisany rzeczywisty przebieg doświadczenia (używamy czasu przeszłego).
1. Wykonano 100 rzutów kostką i zapisano wyniki.
2. Powtórzono poprzedni punkt z wykorzystaniem kostek innych producentów.
3
Opracowanie pomiarów
Dla każdej kostki obliczamy średnią arytmetyczną, odchylenie standardowe pojedyńczego pomiaru i odchylenie standardowe średniej arytmetycznej.
4
Podsumowanie
Warto zauważyć, że oczka na przeciwległych ścianach kostek występują
w parach: 1-6, 2-5, 3-4. Można spotkać kostki z układami oczek w dwóch wariantach, będących swoimi lustrzanymi odbiciami. Jeżeli oczka na kostce są
wykonane przez wydrążenia, to można się spodziewać nierównomiernego rozkładu masy kostki, a w związku z tym odchyleń systematycznych od wyników
teoretycznych.
A
A.1
Kilka porad związanych z systemem LATEX
Polskie litery
Dokument wykorzystuje pakiet polski, choć są również inne sposoby pisania po polsku w systemie LATEX[3]. Do pisania dokumentów wielojęzycznych
można wykorzystać pakiet babel.
Możemy tworzyć dokument z polskimi literami wprowadzanymi z klawiatury dzięki pakietowi inputenc. Jeżeli jednak mamy nietypową klawiaturę
często przenosimy się z systemu na system, lub inne problemy z kodowaniem
polskich znaków, to polskie litery możemy w pakiecie polski uzyskać za pomocą tzw. notacji ciachowej. Przykładowo bieżący dokument jest napisany
w tej notacji po to, aby mógł być czytelny w różnych systemach (zob. kod
źródłowy w pliku s88.tex ). Znak / jest zarezerwowany na potrzeby tworzenia
4
polskich liter, dlatego we wzorach matematycznych znak dzielenia uzyskujemy przez polecenie slash.
W pakiecie babel polskie litery uzyskujemy za pomocą znaku cudzysłowu.
A.2
Przetwarzanie dokumentu w systemie Linux
1. Plik źródłowy TEX (s88.tex ) przygotowujemy w dowolnym edytorze.
Jeżeli włączamy do pliku rysunki, to muszą być one w formacie EPS,
np. kostka.eps.
2. Przetwarzamy plik TEX do postaci DVI.
latex s88.tex
Powstaje plik DVI (s88.dvi ) i jeszcze kilka plików pomocniczych (LOG,
AUX, TOC, LOF, LOT). Plik DVI możemy obejrzeć w środowisku
graficznym za pomocą programu Xdvi.
3. Przetwarzamy plik DVI do PS (plik postskryptowy).
dvips -o s88.ps s88.dvi
Plik PS możemy obejrzeć w środowisku graficznym za pomocą GSview
czy ghostview, lub też wydrukować.
4. Istnieje szereg programów dodatkowych, które wykonują wiele pożytecznych konwersji, np. zamianę dokumentu PS do PDF (s88.pdf ).
ps2pdf s88.ps
5. Możemy bezpośrednio przetworzyć plik TEX do PDF, ale wtedy musimy dostarczyć rysunki w formacie PDF, np. kostka.pdf.
pdflatex s88.tex
B
Korzystanie z programu Gnuplot w systemie
Linux
Rysunek do obecnego dokumentu powstał z pliku źródłowego kostka.gnu.
set term postscript eps enhanced 22
set output "kostka.eps"
# definicja funkcji - jest lamanie wiersza
dystrybuanta(x) = ((x<1) ? 0 : 0.16667) + ((x<2) ? 0 : 0.16667) \
+ ((x<3) ? 0 : 0.16667) + ((x<4) ? 0 : 0.16667) \
5
+ ((x<5) ? 0 : 0.16667) + ((x<6) ? 0 : 0.16667)
unset key
# nie bedzie opisow krzywych w rogu rysunku
set xlabel "x"
set ylabel "Prawdopodobienstwo"
set title ""
# tytul rysunku pusty
set xrange [0:8]
set yrange [0:1]
plot dystrybuanta(x) with lines
Przetwarzanie pliku GNU do EPS, a następnie do PDF ma postać
gnuplot kostka.gnu
epstopdf kostka.eps
Literatura
[1] Regulamin I Pracowni Fizycznej IF UJ.
[2] A. Magiera (red.), I Pracownia Fizyczna. Instytut Fizyki, Uniwersytet
Jagielloński, 2010.
[3] A. Diller, LATEXwiersz po wierszu, Helion, 2001.
6