Równania algebraiczne nieliniowe
Transkrypt
Równania algebraiczne nieliniowe
rown_algebr_nieliniowe Równania algebraiczne nieliniowe 1. Metoda cięciw - regula falsi Wybieramy przedział (x1, x2), w którym leży pierwiastek równania f (x) = 0. Wyznaczamy współczynniki p oraz q w równaniu prostej y( x) px q przechodzącej przez punkty x1 , f x1 oraz x2 , f x2 y ( x) f x2 f x1 x f x x1 f x2 x 2 1 x2 x1 x2 x1 (1.1) Punkt przecięcia prostej y(x) z osią x, x3, można wyznaczyć przyrównując prawą stronę (1) do zera. f x2 f x1 x f x x1 f x2 x3 2 1 0 x2 x1 x2 x1 (1.2) 2014-09-28 18:12:00 rown_algebr_nieliniowe x3 x2 f x2 x2 x1 f x2 f x1 (1.3) Punkt x3 leży bliżej poszukiwanego pierwiastka niż punkt x1 albo punkt x2. Równanie (3) można uogólnić w następujący sposób xi1 xi f xi xi xi1 f xi f xi1 (1.4) W kolejnej iteracji wartość xi+1 podstawiamy w miejsce xi, gdy f ( xi1 ) f ( xi ) 0 lub w miejsce xi-1, gdy f ( xi1 ) f ( xi1 ) 0 . Kryterium zbieżności f xi (1.5) lub xi xi1 (1.6) jest małą liczbą, rzędu 10-3 do 10-6. Przykład 1 Rozwiązać równanie f ( x ) x 2 3x 1 0 (P1) Wykonać dwie pierwsze iteracje. ROZWIĄZANIE Wybieramy przedział x0 , x1 , w którym leży pierwiastek równania f (x) = 0. Założymy wstępnie, że x0 0 oraz x1 1. Pierwiastek równania (P1) leży w przedziale x0 , x1 , gdy spełniony jest warunek f ( x0 ) f ( x1 ) 0 (P2) Spełnienie warunku (P2) oznacza, że funkcja f (x ) przecina oś x w przedziale x0 , x1 . Sprawdzamy f ( x0 ) x02 3x0 1 02 3 0 1 1 2014-09-28 18:12:00 rown_algebr_nieliniowe f ( x1 ) x12 3x1 1 12 3 1 1 1 f ( x0 ) f ( x1 ) 1 (1) 1 0 - warunek (P2) jest spełniony Wyznaczamy przybliżenie pierwiastka ze wzoru xi 1 xi f xi xi xi 1 f xi f xi 1 (P3) W rozważanym przypadku i 1 , i 1 0 oraz i 1 2 . Stąd x2 x1 f x1 x1 x0 f x1 f x0 (P4) f ( x0 ) oraz f ( x1 ) obliczyliśmy wcześniej. Podstawiamy wartości do wzoru (P4) x2 1 11 0 0,5 11 Obliczamy teraz wartość funkcji f (x ) w punkcie x2 f ( x2 ) x22 3x2 1 0,52 3 0,5 1 0,25 Ponieważ f ( x2 ) 0 do dalszych obliczeń bierzemy punkty x2 oraz x0 bowiem f ( x1 ) f ( x2 ) 0 czyli f ( x0 ) f ( x2 ) 0 . x3 x2 f x2 x2 x0 0,250,5 0 0,5 0,4 f x2 f x0 0,25 1 Ponieważ f ( x3 ) 0,04 0 , wartość kolejnego przybliżenia wyznaczymy biorąc punkty x3 oraz x0 . 2014-09-28 18:12:00 rown_algebr_nieliniowe 2. Metoda Newtona-Raphsona Szukamy pierwiastka równania f ( x) 0 (2.1) Funkcję f (x) rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu wybranego (w ogólności dowolnego) punktu x1, który traktujemy jako pierwsze przybliżenie pierwiastka. f ( x) f x1 x x1 f x1 1 x x1 2 f x1 2! (2.2) Uwzględnimy tylko dwa pierwsze wyrazy rozwinięcia f ( x) f x1 x x1 f x1 (2.3) Równanie (2.3) jest równaniem stycznej do f (x) w punkcie x1. W celu znalezienia pierwiastka równania (2.1) prawą stronę równania (2.3) przyrównujemy do zera f x1 x x1 f x1 0 (2.4) Z równania (2.4) wyznaczamy teraz drugie przybliżenie pierwiastka równania (2.1) 2014-09-28 18:12:00 rown_algebr_nieliniowe x x2 x1 f x1 f x1 (2.5) W kolejnej iteracji wartość x2 podstawiamy w miejsce x1 i wyznaczamy trzecie przybliżenie pierwiastka równania (2.1). Uogólnienie procedury iteracyjnej ma postać xi 1 xi f xi ; f xi i 1,2, (2.6) Kryterium zbieżności xi xi 1 xi xi 1 ; xi (2.7) xi 0 (2.8) lub f xi (2.9) jest małą liczbą, rzędu 10-3 do 10-6. 2014-09-28 18:12:00