Pytania teoretyczne 1. Poka˙z, ˙ze w modelu ze stał ˛a

Pytania teoretyczne
1. Pokaż, że w modelu ze stała˛ suma reszt jest równa zeru.
Rozwiazanie
˛
W modelu ze stała˛



X=





X 0e = 


1
1
..
.
x21
x22
..
.
x31
x32
..
.
1
x2N
x3N
1
x21
x21
..
.
1
x22
x32
..
.
xK1
xK2
···
···
···
···
···
xK1
xK2
..
.
· · · xKN

e1
1
 e2
x2N 


x3N 
  e3
 .

..
.   ..






 
 
 
=
 
 
eN
xKN

0
0
0
..
.







0
0
0
Xe=0⇒le=0
2. Kiedy mówimy o wyst˛epowaniu heteroskedastyczności w modelu - jakie założenie KM RL nie jest spełnione
w przypadku wyst˛epowania heteroskedastyczności?
Rozwiazanie
˛
O wyst˛epowaniu hetoroskedastyczności w modelu mówimy, gdy wariancja bł˛edu losowego nie jest stała.
Jeśli wyst˛epuje heteroskedastyczność to złamane jest założenie KM RL, że Var (εi ) = σ 2 dla każdego
i = 1, . . . , n
Z ADANIE 1 Analizowany jest nast˛epujacy
˛ model:
ci = β1 + β2 yi + β3 pi + εi ,
(+)
gdzie ci oznacza logarytm nominalnych wydatków i-tego gospodarstwa domowego na żywność, yi jest logarytmem jego nominalnego dochodu, a pi - logarytmem indeksu cen żywności.
1. Jaka˛ należałoby przetestować w ramach tego modelu hipotez˛e żeby zbadać, czy inflacja nie wpływa na
wartość spożycia żywności w wyrażeniu realnym?
Podpowiedź: Załóż, że indeks cen żywności, dochody i spożycie w wyrażeniu nominalnym sa˛ równe indeksowi cen (relatywnych), dochodom i spożyciu w wyrażeniu realnym pomnożonym przez deflator (indeks
inflacji ogółem).
2. Jaka jest interpretacja β2 w tym modelu?
3. W przypadku gospodarstw wiejskich poziom dochodu zależy od cen żywności. Jaki problem ekonometryczny może z tego powodu wystapić
˛ dla tej grupy gospodarstw?
4. Jeśli miejsce zamieszkania wpływa na ci , a estymowany jest model (+), to jakie b˛eda˛ własności estymatora
MNK?
5. Jeśli miejsce zamieszkania nie wpływa na ci , ale w estymowanym modelu zawarte sa˛ zmienne zero-jedynkowe
zwiazane
˛
z miejscem zamieszkania, to jakie b˛eda˛ własności estymatora MNK?
6. Niech Dmi , Dwi b˛eda˛ zmiennymi zero-jedynkowymi zdefiniowanymi w nast˛epujacy
˛ sposób:
Dmi =
1
0
gospodarstwo miejskie
,
gospodarstwo wiejskie
Dwi =
1 gospodarstwo wiejskie
.
0 gospodarstwo miejskie
Zdefiniowano nast˛epujace
˛ modele:
A: ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + β5 Dwi + εi
B:
C:
ci = β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + β5 Dwi + εi
ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + εi
D: ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dwi + εi .
Które z modeli można użyć, aby przetestować hipotez˛e, że umiejscowienie gospodarstwa domowego nie
wpływa na poziom wydatków na żywność?
1
Rozwiazanie:
˛
1. Oznaczmy jako c∗i , yi∗ realne spożycie i dochody a jako p∗i indeks realnych cen żywności. Oznaczmy przez
ii logarytm deflatora. Konsumpcja w wyrażeniu nominalnym jest równa ci = c∗i +ii . Dochody w wyrażeniu
nominalnym sa˛ równe yi = yi∗ + ii . Indeks ceny żywności jest równy pi = p∗i + ii . Nasz model można
zapisać jako
c∗i + ii = β1 + β2 (yi∗ + ii ) + β3 (p∗i + ii ) + εi ,
c∗i = β1 + β2 yi∗ + (β2 + β3 − 1) ii + β3 p∗i + εi
Na spożycie realne nie b˛edzie wpływała inflacja jedynie dla β2 + β3 − 1 = 0. Hipoteza o braku wpływu
inflacji na spożycie realne żywności powinna być testowana za pomoca˛ testu F badajacego
˛
nast˛epujace
˛
ograniczenie na parametry modelu: β2 + β3 = 1.
2. Współczynnik β1 w tym modelu, to elastyczność wydatków na żywność wzgl˛edem dochodu.
3. Wystapi
˛ współliniowość dochodu i poziomu cen.
4. Pomini˛eta zostanie jedna ze zmiennych objaśniajacych,
˛
co spowoduje obcia˛żenie estymatora MNK.
5. Uwzgl˛ednienie w estymowanym modelu zmiennej objaśniajacej,
˛
dla której w rzeczywistości β = 0, spowoduje,
że estymator MNK stanie si˛e nieefektywny (b˛edzie miał za duża˛ wariancj˛e), choć dalej b˛edzie nieobcia˛żony.
6. Tylko model A nie nadaje si˛e do weryfikacji hipotezy mówiacej
˛ o wpływie miejsca zamieszkania na spożycie, ponieważ tylko w tym modelu wyst˛epuje pełna współliniowość. Suma kolumn ze zmiennymi zerojedynkowymi Dwi i Dmi jest równa kolumnie jedynek.
Z ADANIE 2 Mamy regresje:
1.
(a) yi na x1i
(b) yi na x1i , x2i
(c) yi na x1i , x2i , x3i
Odpowiedzieć na nast˛epujace
˛ pytania:
1. Jaka zachodzi relacja mi˛edzy RSS w regresjach?
2. Jaka zachodzi relacja mi˛edzy R2 w tych regresjach?
3. Jeśli przeprowadzimy regresj˛e yi − x1i na x2i i x3i , to jaka b˛edzie relacja mi˛edzy RSS z tej regresji a RSS
z regresji z regresji nr 1c?
Podpowiedź: Zastanów si˛e jak można sprowadzić ostatnia˛ regresj˛e do regresji z ograniczeniem nałożonym
na elementy wektora b.
Rozwiazanie:
˛
1. W kolejnych regresjach mamy coraz wi˛ecej zmiennych, z własności MNK wynika, że RSS maleje wraz z
dodawaniem zmiennych a wi˛ec RSS1 ≥ RSS2 ≥ RSS3 .
2. Ponieważ R2 = 1 − RSS
ec R12 ≤ R22 ≤ R32 . R2 rośnie
T SS a T SS jest takie samo dla wszystkich regresji, wi˛
wraz z dodawniem zmiennych.
3. Regresj˛e yi − x1i na x2i i x3i można zapisać jako yi − x∗1i = b∗2 x2i + b∗3 x3i + e∗i . Przenoszac
˛ x1i na druga˛
stron˛e uzyskujemy: yi = 1×x1i +b∗2 x2i +b∗3 x3i +e∗i . Estymator M N K znajdujemy w tej regresji minimalizujac
˛ sum˛e kwadratów reszt wzgl˛edem b∗2 i b∗3 dla b∗ = (1, b∗2 , b∗3 ). Jest to wi˛ec regresja z ograniczeniem
b1 = 1. Regresja z ograniczeniami daje zawsze wi˛eksza˛ sum˛e kwadratów niż regresja bez ograniczeń. W
rezultacie RSS dla regresji yi − x1i na x2i i x3i musi być wi˛eksze niż w regresji (1c).
2
Z ADANIE 3 Mamy model liniowy postaci
yi = β0 + β1 xi + εi , i = 1, . . . , n
(*)
E (εi ) = 0, Var (ε) = σ 2 I
xi nielosowe. Szacujemy β1 za pomoca˛ estymatora
Pn
Pn
Pn
n i=1 xi yi − i=1 xi i=1 yi
βb1 =
Pn
Pn
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
³ ´
2
Można pokazać, że Var βb1 = Pn 2nσ Pn
2
n i=1 xi −( i=1 xi )
1. Udowodnić, że przy podanych założeniach estymator βb1 jest nieobcia˛żony.
2. Podać postać estymatora M N K parametru β w modelu
yi = βxi + εi , i = 1, . . . , n
(**)
2
E (εi ) = 0, Var (ε) = σ I
gdzie xi nielosowe. Podać wzór na wariancj˛e tego estymatora.
3. Pokazać jeśli do oszacowania parametru przy xi zastosujemy estymator z punktu (2) w sytuacji, kiedy
prawdziwy jest model (*), to estymator ten b˛edzie obcia˛żony. Policzyć to obcia˛żenie.
4. Pokaż, że jeśli prawdziwe sa˛ założenia modelu (**), to estymator βb b˛edzie nieobcia˛żony ale b˛edzie miał
wariancje wi˛eksza˛ lub równa˛ wariancji estymatora z punktu (2) zastosowanego do tego modelu.
Pn
Pn
2
Podpowiedź: skorzystaj z tego, że n i=1 x2i ≥ ( i=1 xi )
Rozwiazanie:
˛
1. Nieobcia˛żoność
³
E βb1
´
#
" P
Pn
Pn
n
n i=1 xi yi − i=1 xi i=1 yi
=E
Pn
Pn
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
Pn
Pn
Pn
n i=1 xi E (yi ) − i=1 xi i=1 E (yi )
=
Pn
Pn
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
z formy modelu E (yi ) = β0 + β1 xi
³ ´ n Pn x (β + β x ) − Pn x Pn (β + β x )
0
1 i
0
1 i
i=1 i
i=1
i=1 i
E βb1 =
Pn
Pn
2
2
n i=1 xi − ( i=1 xi )
Pn
Pn
Pn
Pn
2
nβ0 i=1 xi + β1 i=1 x2i − nβ0 i=1 xi − β1 ( i=1 xi )
=
Pn
Pn
2
n i=1 x2i − ( i=1 xi )
= β1
2. Postać estymatora M N K w modelu z jedna˛ zmienna˛ objaśniajac
˛ a˛ b˛edzie nast˛epujaca
˛
Pn
¡
¢−1 0
xi yi
b = X 0X
X y = Pi=1
n
2
i=1 xi
¡
¢−1
σ2
Var (b) = σ 2 X 0 X
= Pn
2
i=1 xi
3.
µ Pn
¶ Pn
x E (y )
xi yi
i=1
Pn i 2 i
E (b) = E Pn
= i=1
2
x
i=1 xi
Pn
Pn i=1 i
xi
x
(β
+
β
x
)
i
0
1 i
i=1 P
= β0 Pni=1 2 + β1
=
n
2
i=1 xi
i=1 xi
Pn
x
obcia˛żenie jest równe β0 Pni=1 x2i
i=1
i
3
4. Wariancja estymatora M N K wynosi
σ2
Var (b) = Pn
i=1
n
x2i
n
X
i=1
≤
x2i
n
−
Pn
i=1
à n
X
nσ 2
x2i − (
i=1
4
i=1
!2
xi
i=1
à n
X
Pn
≤n
xi
n
X
i=1
!2
≥0
2
xi )
x2i
³ ´
= Var βb1