Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap rejonowy 3.12.2005
Czas rozwiązywania zadań - 150 minut.
Zadanie 1. ( 2 pkt. )
Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich, dla których forma zdaniowa: n
staje się zdaniem logicznym prawdziwym. Odpowiedź uzasadnij.
4
n 7
Zadanie 2. ( 2 pkt. )
Wykaż, że liczba 318 2 18 jest podzielna przez 19.
Zadanie 3. ( 3 pkt. )
Usuń niewymierność z mianownika ułamka:
3
9
3
5
6
3
4
.
Zadanie 4. ( 3 pkt. )
Liczby a, b, c, d, e, f, g to różne liczby ze zbioru 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Wykaż, że liczba
a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 jest liczbą parzystą.
Zadanie 5. ( 4 pkt. )
W pięciokącie ABCDE wpisanym w okrąg przekątna AC przechodzi przez środek okręgu i
zawiera się w dwusiecznej kąta EAB. Wykaż, że zarówno pole jak i obwód trójkąta ABC są
mniejsze od odpowiednio pola i obwodu czworokąta ACDE.
Zadanie 6. ( 4 pkt. )
Wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których liczba n 2 4n 9 jest podzielna przez
n 1.
Zadanie 7. ( 4 pkt. )
W kwadrat o boku długości a wpisano koło K. Oblicz pole koła stycznego zewnętrznie do
koła K i do dwóch boków kwadratu.
Zadanie 8. ( 4 pkt. )
Wykaż, że jeżeli pomiędzy każde dwie kolejne cyfry liczby 121 wpiszemy tę samą liczbę zer
to otrzymamy kwadrat pewnej liczby naturalnej.
Zadanie 9. ( 5 pkt. )
Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na
R
ośmiokącie foremnym. Wykaż, że
4 2 2.
r
Zadanie 10. ( 5 pkt. )
K-tą iteracją funkcji f k N
nazywamy funkcję f k taką, że wartość tej funkcji dla
dowolnego
f
k
x
argumentu
x
wyznaczamy
w
f f f ... f f x ... . Wyprowadź wzór na f


k
następujący
x
w zależności od k jeżeli
k razy
f x
1
1 x
. Oblicz f
2004
sposób:
2005 .
Życzymy powodzenia!
Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa II z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap rejonowy 3.12.2005
Czas rozwiązywania zadań - 150 minut.
Zadanie 1. ( 2 pkt. )
Wyznacz wszystkie liczby całkowite nieujemne n spełniające nierówność:
n 9 4 5
4
n3
5 .
Zadanie 2. ( 2 pkt. )
Wyznacz cyfry X, Y, Z takie, że XYZ ZX ZZX .
(Uwaga: zapis ABC oznacza liczbę: 100 A 10 B C .)
Zadanie 3. ( 3 pkt. )
Reszta z dzielenia wielomianu W x przez x 2
resztę z dzielenia wielomianu W x przez x 2
4 x 2 równa jest x 2
3x 6 . Wyznacz
4.
Zadanie 4. ( 3 pkt. )
W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki AD i DB o długościach
4 3
AD
, DB 4 3 . Oblicz długości odcinków, na które symetralna boku AB dzieli bok
3
BC wiedząc, że BC 8 .
Zadanie 5. ( 4 pkt. )
Wykaż, że nie istnieją liczby całkowite x, y, z, dla których prawdziwa jest równość:
x 2 y 2 4z 3 .
Zadanie 6. ( 4 pkt. )
Wiadomo, że rozwiązaniami równania x 2
Wykaż, że liczba a 2 b 2 jest złożona.
ax 1 b
0 są liczby naturalne dodatnie.
Zadanie 7. ( 4 pkt. )
Rozwiąż równanie: x
6
6 x.
Zadanie 8. ( 4 pkt. )
Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x 3
Zadanie 9. ( 5 pkt. )
Dana jest funkcja g x
2
y3
xy wiedząc, że x
y
f x . Określ dziedzinę funkcji g
4.
Dg wiedząc, że
f x 4 x
( x - cecha liczby x - jest to największa liczba całkowita, która nie jest większa od x), a
następnie narysuj wykres funkcji f dla x Dg .
Zadanie 10. ( 5 pkt. )
Prostokąt ABCD o bokach długości AB 18 i BC 12 zginamy wzdłuż prostej AP tak, aby
pole trójkątów PCE i EB’F były równe. Wyznacz stosunek pola trójkąta ADF do pola
prostokąta ABCD.
Rysunek pomocniczy:
Życzymy powodzenia!
Międzyszkolne Zawody Matematyczne
Klasa III z rozszerzonym programem nauczania matematyki
Etap rejonowy 3.12.2005
Czas rozwiązywania zadań - 150 minut.
Zadanie 1. ( 2 pkt. )
Oceń wartość logiczną zdania: “Istnieje trójkąt prostokątny, którego długości boków są
liczbami naturalnymi, z których każda przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Odpowiedź
uzasadnij.
Zadanie 2. ( 2 pkt. )
log 1 x 1
Sporządź wykres funkcji: f x 2 2
.
Zadanie 3. ( 3 pkt. )
Wiadomo, że sin127 a . Wyznacz przy pomocy a wartość: cos23 .
Zadanie 4. ( 3 pkt. )
W pewnym turnieju szachowym każdy zawodnik rozegrał dokładnie jedną partię z każdym
innym uczestnikiem turnieju. Trzech szachistów przegrało tylko po jednej partii, a jeden
przegrał wszystkie. Pozostali uczestnicy turnieju wygrali dokładnie po 2 partie. Ilu szachistów
brało udział w turnieju, jeżeli wiadomo, że żadna partia nie zakończyła się remisem?
Zadanie 5. ( 4 pkt. )
n 4 3n 2 1
Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej nie mniejszej niż 2 ułamek: 4
jest
n n 2 2n 1
ułamkiem właściwym.
Zadanie 6. ( 4 pkt. )
Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 2, a kąt między nimi zawarty ma miarę
120 . Dla jakich długości boków obwód trójkąta jest najmniejszy?
Zadanie 7. ( 4 pkt. )
Wyznacz wszystkie wartości parametru m
, dla których równanie: m2 sin x 3m 4 sin x
ma rozwiązanie w przedziale: , 2 .
Zadanie 8. ( 4 pkt. )
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B.
Dwusieczna kąta przy wierzchołku C przecina bok AB w punkcie D. Wykaż, że
2
AC
AB AD .
Zadanie 9. ( 5 pkt. )
Liczby naturalne dodatnie pogrupowano w następujący sposób:
1 , 2, 3 , 4, 5, 6 , 7, 8, 9,10 , itd ...
W której grupie jest liczba 2005?
Oblicz sumę liczb z tej grupy.
Oblicz sumę liczb z n-tej grupy.
Zadanie 10. ( 5 pkt. )
Ciąg a n określony jest rekurencyjnie:
3
4
a1
an
1
1
1
n 1
2
an
dla n 1
Sformułuj hipotezę dotyczącą wzoru na n-ty wyraz ciągu oraz udowodnij słuszność hipotezy
stosując zasadę indukcji matematycznej.
Życzymy powodzenia!
Propozycja punktowania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania
matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych.
Zad 1.(2 pkt.)
Jeżeli uczeń wyznaczy tylko zbiór: 5, 6, 7
Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór
(Razem nie więcej niż 1 punkt)
Jeżeli uczeń właściwie ustali zbiór: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Jeżeli skomentuje poprawnie ten wybór
Zad 2. (2pkt.)
Zapisanie 318
218 w postaci iloczynu: 39
2 9 39
29
Zapisanie 318
218 w postaci iloczynu: 33
2 3 36
63
Zapisanie 318
218 w postaci iloczynu: 19 36
63
0,5
0,5
1
1
0,5
2 6 39
2 6 39
29
29
i udzielenie odpowiedzi
Zad 3.(3 pkt.)
Rozszerzenie ułamka przez 3 3 3 2
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i
zapisanie liczby w postaci 3 3 3 2
Zad 4. (3 pkt.)
Zauważenie, że w podanym zbiorze jest więcej liczb nieparzystych niż
parzystych zatem w jednym z nawiasów otrzymamy różnicę liczb
nieparzystych czyli liczbę parzystą
Sformułowanie wniosku: Iloczyn liczb, z których jedna jest parzysta jest
liczbą parzystą
Zad 5. (4 pkt.)
Sporządzenie rysunku
Zauważenie, że trójkąty AEC i ABC są przystające, zatem mają równe
pola
Zapisanie: PAEDC P AEC P EDC p ABC P EDC p ABC
Stwierdzenie, że z nierówności trójkąta mamy: ED CD EC BC
co dowodzi odpowiedniej nierówności między obwodami czworokąta
ACDE i trójkąta ABC.
Zad 6. (4 pkt.)
Zapisanie sumy n 2
n2
4n 9 w postaci
n 1 n 3
0,5
1
2
1
2
1
1
1
1
1
6 ewentualnie
4n 9
6
zapisanie ułamka:
w postaci n 3
n 1
n 1
Zapisanie założenia: n
1
n 1 | 6 co oznacza, że:
Zauważenie, że n 1 | n 2 4n 9
1,5
0,5
1
n 1 6, 6, 3, 3, 2, 2,1, 1
Wyznaczenie
n
spełniających
n 5, 7, 2, 4,1, 3, 0, 2
warunki
zadania:
Zad 7. (4 pkt.)
Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń
Zapisanie zależności między a i r w postaci równania np:
a 2 a
r r 2
2
2
3 2 2
Wyznaczenie r z równania: r a
2
Uwaga! (Istnieje wiele metod uzależnienia r od a. Proponujemy przyznać 1,5
punktu za poprawność metody wyznaczenia r oraz 1 punkt za
poprawność rachunkową.)
Wyznaczenie pola koła
Zad 8. (4 pkt.)
Zapisanie liczby w postaci 100...0200...01
(wstawiamy między cyfry 1, 2, 1 po n zer)
Sprowadzenie liczby do postaci: 10 2n 2 2 10 n
Zapisanie liczby w postaci: 10 n
1
1
x
f
k
x
1
k
1
1,5
1
0,5
1
1
1
2
Zad 9. (5 pkt.)
Sporządzenie rysunku i przyjęcie stosownych oznaczeń
Istnieje wiele metod rozwiązania tego zadania. Proponujemy:
Za poprawność metody rozwiązywania zadania
Za poprawność rachunkową
Za przedstawienie stosunku długości promieni w wymaganej postaci
Uwaga! Uważamy, że jeżeli uczeń zostawi wynik zawierający np: cos 22,5 to za
całość rozumowania możemy przyznać maksymalnie 2 punkty: 1 punkt
za rysunek i jeden punkt za wynik
Zad 10. (5 pkt.)
Wyznaczenie f f x , f f f x .
Zapisanie wzoru funkcji f
1
2
1
1
2
1
1
1
x :
dla k
3n, n
N
dla k
3n 1, n
N
1 x
1 x
dla k 3n 2, n N
x
Zauważenie, że liczba 2004 jest podzielna przez 3
Obliczenie i udzielenie odpowiedzi: f 2004 2005 2005 .
2,5
0,5
1
Propozycja punktowania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania
matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych.
Zad 1.(2 pkt.)
1
Zauważenie, że 9 4 5
5 2.
Rozwiązanie nierówności: n 4 .
0, 1, 2, 3 .
Udzielenie odpowiedzi: n
0,5
0,5
Zad 2. (2pkt.)
Udzielenie poprawnej odpowiedzi: X 9, Y 7, Z 8 .
Uwaga! Uważąmy, że za rozwiązania nie dające prawidłowego wyniku nie
przyznajemy punktów.
Zad 3.(3 pkt.)
Zauważenie, że reszta z dzielenia wielomianu W x przez x 2
2
2
reszta z dzielenia x 3x 6 przez x
Podzielenie i wyznaczenie reszty: R x
4 to
2
4.
3x 2 .
1
Zad 4. (3 pkt.)
Uwaga! Zadanie można rozwiązać wieloma metodami. Proponujemy:
Za zastosowanie prawidłowej metody rozwiązania zadania
Za poprawność rachunkową i udzielenie odpowiedzi. ( Długości
8 16
odcinków równe są odpowiednio: ,
)
3 3
Zad 5. (4 pkt.)
Wykazanie, że gdy x, y są parzyste to równość nie jest spełniona
Wykazanie, że gdy x, y są nieparzyste to równość nie jest spełniona
Wykazanie, że gdy x, y są różnej parzystości to równość nie jest
spełniona
Sformułowanie ostatecznego wniosku.
Zad 6. (4 pkt.)
Skorzystanie ze wzorów Viéte’a: x1 x 2
Wyznaczenie a 2
Zapisanie a 2
b2
2
1 x1 x 2
b 2 w postaci: x12
2
x1
1 x2
x 6
1
1
1
1
1
1
a.
2
2
x
1
x2 .
x2
Stwierdzenie, że a 2 b 2 jest liczbą złożoną, zauważenie, że dla
2
2
dowolnych x1 , x 2 naturalnych dodatnich liczby 1 x1 i 1 x2 są
większe od 1
Zad 7. (4 pkt.)
Zapisanie założenia x 0 .
Zapisanie równania w postaci:
2
1
1
1 b , x1
2
2
2
6
1
0,5
0,5
0,5
0,5
Zapisanie założenia x
6.
Zapisanie równania w postaci: x 4 12 x 2 x 30 0
Rozwiązanie powyższego równania:
1
21
1
21
x
2 x 3 x
x
.
2
2
Wybranie x spełniającego warunek zadania: x 3 .
1,5
0,5
Zad 8. (4 pkt.)
Zapisanie danego wyrażenia w postaci funkcji jednej zmiennej:
f x 11x 2 44 x 64
Powołanie się na własności funkcji kwadratowej, zauważenie, że funkcja
przyjmuje najmniejszą wartość dla odciętej wierzchołka paraboli będącej
wykresem danej funkcji.
Obliczenie najmniejszej wartości tej funkcj: 20 i udzielenie odpowiedzi
Zad 9. (5 pkt.)
Rozwiązanie nierówności f x
0
x
2
1
1
2
2, 3 .
2, 2 lub x
Za podanie rozwiązania w postaci: x
2, 2
proponujemy przyznać 1 pkt, w innych sytuacjach przyznajemy 0
punktów
Sporządzenie właściwego wykresu funkcji:
Uwaga! Za sporządzenie poprawnego wykresu funkcji: dla x
2, 2 lub
3
x
2, 2 proponujemy przyznać 2 pkt. Za sporządzenie poprawnego
wykresu w innych przedziałach proponujemy przyznać maksymalnie 1
punkt.
Zad 10. (5 pkt.)
PEC .
Zauważenie, że EFB '
Zauważenie, że EFB ' ~ ADF .
Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć DF .
Rozwiązani powyższego układu równań, obliczenie DF
Obliczenie stosunku pól:
1
.
4
1
1
1
9.
1,5
0,5
Propozycja punktowania zadań dla klas trzecich z rozszerzonym programem nauczania
matematyki na etapie rejonowym Międzyszkolnych Zawodów Matematycznych.
Zad 1.(2 pkt.)
Wykazanie, że reszta z dzielenia a 2 b 2 przez 3 jest równa 2
Wykazanie, że reszta z dzielenia c 2 przez 3 jest równa 1.
Udzielenie odpowiedzi: “Zdanie jest fałszywe.”
1
0,5
0,5
Zad 2. (2pkt.)
Określenie dziedziny funkcji f: D f
0,5
\ 1
1
Zapisanie funkcji f w postaci: f x
x 1
.
1
Narysowanie wykresu funkcji f.
Zad 3.(3 pkt.)
Zapisanie cos 23 cos 150 127
różnicy kątów.
Obliczenie cos150 .
Obliczenie sin150 .
i zastosowanie wzoru na cosinus
0,5
0,5
0,5
1
1 a2 .
Obliczenie cos127
a
Obliczenie cos23
0,5
3 1 a2
0,5
2
Zad 4. (3 pkt.)
Wyznaczenie liczby rozegranych partii gdy w turnieju uczestniczy n
nn 1
zawodników:
.
2
Ustalenie założenia: n 5, n N .
Wyznaczenie liczby partii wygranych przez zawodników:
3n 2 2n 4
Zapisanie równania:
nn 1
3n 2
2
Rozwiązanie powyższego równania: n 4 n 7
Wskazanie n sełniającego warunki zadania: n 7 .
n 1 n2
Zapisanie mianownika w postaci iloczynu: n 2
n2 n 1
n2 n 1
Uzasadnienie, że ułamek jest właściwy.
Zad 6. (4 pkt.)
Zapisanie ułamka w postaci:
0,5
0,5
0,5
2n 4 .
Zad 5. (4 pkt.)
Zapisanie licznika w postaci iloczynu: n 2
0,5
0,5
0,5
n 1 .
n 1 n2
n 1 .
1,5
1
0,5
1
Wyznaczenie długości boku przeciwległego kątowi o mierze 120 :
c2
a
2c 4 , wykonanie założenia: c
1,5
0, 2 .
Stwierdzenie że obwód trójkąta jest najmniejszy, gdy c 2 2c 4
przyjmuje wartość najmniejszą (powołanie się na własności funkcji
kwadratowej, ewentualnie zastosowanie rachunku różniczkowego do
wyznaczenia minimum funkcji )
Wyznaczenie c, dla którego obwód jest najmniejszy: c 1
Wyznaczenie długości boków trójkąta o najmniejszym obwodzie:
1, 1, 3 .
1,5
0,5
0,5
Zad 7. (4 pkt.)
Zapisanie równania m2 sin x 3m
m 2 m 2.
Zauważenie,że dla m
sprzeczne
2 m
2 równanie: m2 sin x 3m
gdy 1
3m
m2
3m
m2
4
dla
0,5
4 sin x jest
0,5
Zauważenie, że równanie sin x
,2
4 sin x w postaci: sin x
4
Rozwiązanie nierówności:
3m
m2
4
ma rozwiązanie w przedziale
1
0
3m
m2 4
3m
Rozwiązanie nierówności: 2
m 4
m
, 4
2, 1
2,
.
m
0:
, 2
0, 2
0,5
1:
1
Wyznaczenie m spełniających warunki zadania: m
, 4
0,1 .
Zad 8. (4 pkt.)
Sporządzenie rysunku i przyjęcie oznaczeń.
Zauważenie, że w trójkącie ACD ADC 2 ACD .
Zauważenie podobieństwa trójkątów ABC i ADC. (powołanie się na
odpowiednią cechę podobieństwa)
AC
AB
Zapisanie proporcji:
.
AD
AC
Przekształcenie proporcji do postaci AC
2
AB AD .
Zad 9. (5 pkt.)
Ustalenie, że liczba 2005 jest w 63 grupie (wraz z uzasadnieniem)
Obliczenie sumy liczb tej grupy: 125055
n n2 1
Obliczenie sumy liczb n - tej grupy: S n
wraz z
2
uzasadnieniem
0,5
0,5
1
1
1
0,5
2
1
2
Zad 10. (5 pkt.)
Postawienie hipotezy:
n
N : an
3n 1
. (Za obliczenie kilku
8n
początkowych wyrazów ciągu bez postawienia prawidłowej hipotezy
proponujemy przyznać 0,5 punktu.)
Dowód I kroku indukcyjnego
Dowód II kroku indukcyjnego
Powołanie się na zasadę indukcji matematycznej celem stwierdzenia
prawdziwości hipotezy.
2,5
0,5
1,5
0,5