interaktywny preferencji
Transkrypt
interaktywny preferencji
Algorytmy ewolucyjne optymalizacji wielokryterialnej sterowane preferencjami decydenta Dr Janusz Miroforidis MGI Metro Group Information Technology Polska Sp. z o.o. listopad 2010 Plan prezentacji Wprowadzenie Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Oszacowania parametryczne Wyznaczanie wariantów efektywnych Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Przykłady obliczeń Zastosowanie metody w WPD Podsumowanie 2 Wprowadzenie Problemy decyzyjne w działalności człowieka Zarządzanie zasobami leśnymi i wodnymi. Planowanie zagospodarowania terenów. Zagadnienia logistyczne i transportowe. Konstruowanie maszyn i urządzeń. Planowanie terapii nowotworowej. Handel i marketing. 3 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Wielokryterialne zadanie decyzyjne Przy ustalonym zadaniu optymalizacji wielokryterialnej: vmax f ( x), x X 0 Rn , f ( x) f1 ( x), f 2 ( x), , f k ( x) , gdzie vmax jest operatorem wyznaczania zbioru wariantów efektywnych, decydent ma wskazać wariant najbardziej preferowany w tym zbiorze. 4 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Metody interaktywne WPD Istotą tych metod jest interaktywny, sterowany przez decydenta przegląd zbioru ocen efektywnych. f2(x) f(E(X0)) - zbiór ocen efektywnych Preferencje określane np. przez współczynniki wagowe, punkty referencyjne. f(X0) f1(x) 5 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Skalaryzacja zadania optymalizacji wielokryterialnej Wyznaczanie ocen (słabo) efektywnych z wykorzystaniem ważonej metryki Czebyszewa. x( ) arg min max i yi* fi ( x) , y y* t xX 0 y* f2(x) i gdzie yi* max yi ei , ei 0, i 1, y f ( X 0 ) f(X0) i i , i 0, i 1, 1 , k, , k. Zalety takiej skalaryzacji: f1(x) warunki konieczne i dostateczne istnienia ocen (słabo) efektywnych bez dodatkowych założeń o cechach zbioru f(X0) (np. wypukłość); nie wprowadza dodatkowych nieliniowości do zadania optymalizacji. 6 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji Określanie preferencji decydenta za pomocą kierunków ustępstw f2(x) y* y y* t f(X0) f ( x( )) f ( ) τ f1(x) Wektor τ określa proporcje ustępstw przy odejściu od punktu y*. 7 Oszacowania parametryczne Oszacowania parametryczne współrzędnych ocen – elementy zbioru f(S); S – szkielet, podzbiór E(X0) y* f2(x) ocena niejawna zadana przez wektor τ U2 f(τ) Li ( , S ) fi ( ) Ui ( , S ), i 1,..., k. L2 U1 L1 f1(x) półprosta kompromisu zadana przez τ Koszt wyznaczenia oszacowań L(τ,S) i U(τ,S) zaniedbywalnie mały – formuły dane w postaci analitycznej. Wyznaczenie S wymaga dokładnych obliczeń optymalizacyjnych. 8 Oszacowania parametryczne Dynamika oszacowań parametrycznych – oceny wariantów efektywnych dodanych do szkieletu S f2(x) y* f(τ) Uzupełnianie szkieletu o kolejne warianty efektywne nie pogarsza oszacowań, może zaś je polepszać. f1(x) 9 Wyznaczanie wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania aproksymacji zbioru wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej: NSGA-II, SPEA-2. f2(x) – iteracja imax - 2 – iteracja imax - 1 – iteracja imax f(X0) Zastosowanie w metodach a posteriori WPD. f1(x) 10 Wyznaczanie wariantów efektywnych Algorytmy ewolucyjne dla skalarnych zadań optymalizacji Algorytmy GENOCOP II i III. – iteracja imax y y t * f2(x) y* f(X0) Zastosowanie w metodach a priori i metodach interaktywnych WPD. f1(x) 11 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Oszacowania parametryczne a algorytmy ewolucyjne – obrazy elementów szkieletu dolnego SD wyznaczane przez istniejące algorytmy ewolucyjne (NSGA-II, SPEA-2) – obrazy elementów szkieletu górnego SG , wymagane dla poprawności oszacowań od góry f(τ) f2(x) y* Zmodyfikowane oszacowania parametryczne: Li ( , SD ) fi ( ) Ui ( , SG ), i 1,..., k. f(X0) Formuły Li(τ,SD) i Ui(τ,SG) jak dla oszacowań ze szkieletem S. f1(x) 12 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Szkielet dolny SD SD X 0 , SD , xSD x 'SD x ' x. 13 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Szkielet górny SG yinad (SD ) min xSD fi ( x), i 1,..., k. SG Rn \ X 0 , SG , xSG 1. xSG 2. 3. xSG x 'SG x x 'E ( X 0 ) x ' f i ( x) y nad i x ', x, (SD ), i 1,..., k. 14 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Aproksymacja górna AG AG Rn \ X 0 , AG , yinad (SD ) min xSD fi ( x), i 1,..., k. xAG 1. xAG 2. 3. xAG x 'AG x x 'SD x ' f i ( x) y nad i x ', x, Nie mamy zbioru E(X0) ! (SD ), i 1,..., k. AG jest aproksymacją zbioru SG . 15 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Wykorzystanie par (SD, AG) do wyznaczania wartości oszacowań Oszacowania od góry – wykorzystanie aproksymacji górnej U i ( , AG ) zamiast Ui ( , SG ), i 1,..., k. Miary dokładności oszacowań Bezwzględna dokładność oszacowania oceny f(τ): ( , SD , AG ) max U i ( , AG ) Li ( , S D ) . 1i k Względna dokładność oszacowania oceny f(τ): U i ( , AG ) Li ( , S D ) , max min f ( S ) f ( S ) D i D i ( , S D , AG ) max 1i k gdzie fi max ( S D ) max fi ( x), xSD fi min (S D ) min fi ( x). xS D 16 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne Aproksymacja górna AG i zjawisko błędnych oszacowań od góry fi ( ) U ( , AG ), dla pewnego i {1, 2, f(τ) , k}. y* f2(x) f 2 ( ) U 2 ( , AG ) Ograniczanie zjawiska przez wyznaczanie „lepszych” SD lub stosowanie operacji filtracji na AG . f(X0) f1(x) 17 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Przestrzeń decyzyjna dla algorytmów ewolucyjnych x2 X 0 X DEC XDEC X0 Funkcje kryterialne fi określone na zbiorze XDEC . x1 18 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Wyznaczanie par (SD , AG) – algorytm PDAE Jednoczesne wyznaczanie par (SD , AG) poprzez eksplorację zbioru dopuszczalnego i jego dopełnienia. Kryterium zatrzymania określone maksymalną liczbą iteracji. Eksploracja przestrzeni poszukiwań realizowana operatorem mutacji o zasięgu będącym malejącą funkcją numeru iteracji. Algorytm PDAE – w każdej iteracji mutacji podlega losowo wybrany element bieżącego szkieletu dolnego SD . Możliwe modyfikacje schematu mutacji. 19 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych Lokalne poprawianie par (SD , AG) – algorytm EPO Próbuje wyznaczyć taką parę (SD , AG), która zapewnia założoną dokładność oszacowania oceny f(τ). Eksploruje przestrzeń decyzji w otoczeniu (i tylko w otoczeniu) elementów determinujących wartość oszacowania oceny f(τ) odpowiednio od dołu i od góry. Zasięg mutacji jest zależny od osiągniętej dokładności oszacowania oceny f(τ) na danym etapie obliczeń. 20 Przykłady obliczeń Algorytmy PDAE i EPO Testowe zadanie dwukryterialne (Kita) Wynik działania algorytmu PDAE, wyznaczenie wyjściowego szkieletu dolnego i wyjściowej aproksymacji górnej. Wynik działania algorytmu EPO dla εz=0,01. 21 Przykłady obliczeń Algorytm PDAE i jego modyfikacje Ograniczanie losowości w algorytmie PDAE Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega każdy element szkieletu dolnego. Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega element szkieletu dolnego, najbardziej odległy od pozostałych. 22 Przykłady obliczeń Trudne zadania optymalizacji wielokryterialnej Zadanie testowe OKA2 (Okabe) oceny efektywne – PDAE Algorytm NSGA-II wyznacza rozwiązania o podobnym rozkładzie jak algorytm PDAE ! 23 Zastosowanie metody w WPD Schemat metody rozwiązania wielokryterialnego zadania decyzyjnego START Sformułowanie zadania optymalizacji wielokryterialnej dla zadania decyzyjnego Algorytmy PDAE i EPO Wybór „najlepszej” pary Faza ujawniania preferencji (τ) Repozytorium par (SD , AG) Algorytm GENOCOP III Faza identyfikacji rozwiązania (x(τ)) STOP Wybór populacji wyjściowej dla algorytmu GENOCOP III 24 Zastosowanie metody w WPD Model zarządzania sklepem wielkopowierzchniowym Wskaźniki Zasoby Decydent Moduł Wspomagania Decyzyjnego JD1 JD2 JD3 SWD1 SWD2 SWD3 … JDn SWDn 25 Zastosowanie metody w WPD Model sklepu wielkopowierzchniowego Model sklepu z trzema jednostkami decyzyjnymi: Marketing (SWD1) v1 q1 ( x1 ) 200 x1 Logistyka (SWD2) v2 q 2 ( x2 , v1 ) 0,1ev /700 x2 , Obsługa Nabywcy (SWD3) v3 q3 ( x3 , v1 ) 0,3ev /500 x3 . Zbiór dopuszczalny: 3 x X0 l 120, l 1 xl 20, l 2,3, x1 27. 0,35 , 1 1 Odwzorowanie redukujące: (zysk) s1 (v) 0, 2v1 ( x1 x2 x3 ), (zadowolenie) s2 (v) v2 v3 , (sprzedaż) s3 (v) v1. Ocena wariantów decyzyjnych za pomocą funkcji f f ( x) s q ( x) , x X 0. 26 Zastosowanie metody w WPD Rozwiązanie zadania decyzyjnego Wyznaczono punkt referencyjny y* (67, 22, 6,58, 911,07). Po zakończeniu hipotetycznej fazy ujawniania preferencji preferencje decydenta najpełniej opisuje wektor (5, 1, 60). Wektory oszacowań oraz względna dokładność oszacowania oceny f(τ) L( , SDe ) (50,33, 3,21, 708, 40), U ( , AGe ) (51,34, 3,30, 713,90), ( , SDe , AGe ) 0,02. W fazie identyfikacji rozwiązania algorytm GENOCOP III rozwiązał zadanie optymalizacyjne 1 min max i yi* fi ( x) , i i , i 1, 2,3, xX 0 1i 3 wyznaczając wariant decyzyjny x (37,18, 20,03, 34, 22), f ( x ) (50,37, 3, 21, 709,00). 27 Podsumowanie Podsumowanie Metoda rozwiązania zadania decyzyjnego Wykorzystanie oszacowań ocen efektywnych w procesie decyzyjnym. Mechanizm kontroli dokładności oszacowań. Redukcja obliczeń w procesie decyzyjnym. Połączenie metod analitycznych z metodami heurystycznymi. Wykorzystanie zbioru niedopuszczalnego zadania optymalizacji wielokryterialnej – nowatorska modyfikacja idei algorytmów ewolucyjnych. 28 Podsumowanie Podsumowanie Potencjalne kierunki dalszych badań Modyfikacja wiodących algorytmów heurystycznych optymalizacji wielokryterialnej dla potrzeb wyznaczania szkieletów dolnych i aproksymacji górnych. Przyjęcie i zbadanie własności alternatywnych definicji zbiorów aproksymujących zbiór wariantów efektywnych od dołu i od góry. Zbadanie skłonności decydentów do podejmowania decyzji w oparciu o oszacowania wartości współrzędnych ocen. Hybrydyzacja ze względu na trudne zadania optymalizacji wielokryterialnej. 29 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ Janusz Miroforidis [email protected] 30 Wzory dla oszacowań parametrycznych yi ( ) Li ( , S ) max{max y f ( S ) ( y i max j * i 1 j ( y y j )), Li } * j yi ( ) U i ( , S ) min{min y f ( S ) {minlI ( ) ( y l ( y ))},Ui } * l gdzie I(τ) to podzbiór I={1,…,k}, trzeba wyznaczyć. I(τ) oraz l ( y ) 31 Warunki osiągnięcia dowolnie bliskich aproksymacji zbioru wariantów efektywnych. Warunek 1 dla szkieletu górnego SG : x E ( X 0 ) N ( x) x n \ X 0 : x x, gdzie N ( x) to otoczenie x. Warunek 2 dla szkieletu górnego SG : x E ( X 0 ) N ( x) x X 0 : x x. 32