Przemiany termodynamiczne gazów doskonałych

przemiany_gazu_dosk
Charakterystyczne przemiany gazu doskonałego
1. Przemiana politropowa
Przemianą politropową nazywamy przemianę o równaniu
pv z  idem
(1.1)
lub
pV z  idem
(1.2)
gdzie v  V / m .
W równaniach (1.1) i (1.2) z jest wykładnikiem politropy. Podstawowe przemiany gazu doskonałego można rozpatrywać jako szczególne przypadki politropy. W zależności od wartości
z politropa może być przemianą przy stałym ciśnieniu, przemianą przy stałej objętości, przemianą przy stałej temperaturze, czy przemianą przy stałej entropii.
2. Izobara
Dla wykładnika politropy z  0 jest
pv 0  p  1  p  idem
czyli politropa jest w tym przypadku przemianą przy stałym ciśnieniu nazywaną izobarą.
Równanie przemiany izobarycznej ma postać
p  idem
(2.1)
Na rys. 4.4 i 4.5 przedstawiono ekspansję izobaryczną. Podczas ekspansji izobarycznej zwiększa się objętość
gazu oraz wzrasta temperatura. Ciepło jest doprowadzane do gazu a praca wyprowadzana. Na rys. 4.5 dla porównania narysowano też przemianę izochoryczną, która jest linią bardziej stromą. Funkcja T(s) dla v = idem lub
1
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
p = idem jest funkcją wykładniczą. Przemianę izobaryczną można zrealizować w cylindrze zamkniętym przesuwnym tłokiem, na który działa stała siła, doprowadzając (ekspansja) lub odprowadzając (kompresja) ciepło.
Termiczne równanie stanu dla początku 1 przemiany izobarycznej 1-2
pv1  RT1
(2.2)
Termiczne równanie stanu dla końca 2 przemiany izobarycznej 1-2
pv2  RT2
(2.3)
Po podzieleniu równania (2.3) przez równanie (2.2) dostajemy
v 2 T2

v1 T1
(2.4)
Równanie (2.4) można przekształcić do postaci
v1 v2

T1 T2
(2.5)
Z równania (2.5) wynika, że objętość gazu podgrzewanego izobarycznie wzrasta proporcjonalnie do temperatury. Jeżeli temperatura gazu wzrośnie dwukrotnie, to również jego objętość
wzrośnie dwukrotnie.
Jednostkową pracę bezwzględną przemiany wyznaczymy z ogólnej zależności
l1 2 
v2
 p(v)dv
[J/kg]
(2.6)
v1
gdzie dla przemiany izobarycznej funkcja p(v) ma postać
p  idem
(2.7)
Po podstawieniu (2.7) do równania (2.6) i scałkowaniu otrzymujemy
l12  p(v2  v1 )
(2.8)
Równanie (2.8) jest słuszne dla dowolnego czynnika termodynamicznego, czyli także dla gazów rzeczywistych, cieczy i ciał stałych.
Jednostkowa praca techniczna przemiany
p2
p
p1
p
lt1 2    v ( p )dp    v( p )dp  0 [J/kg]
(2.9)
Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, cp, ma dla określonego gazu doskonałego wartość
stałą. Stąd jednostkowe ciepło przemiany izobarycznej jest równe
q1 2  c p (T2  T1 )
[J/kg]
(2.10)
Przyrost właściwej energii wewnętrznej
2
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
u12  cv (T2  T1 )
[J/kg]
(2.11)
Zależność (2.11) jest słuszna dla dowolnej przemiany gazu doskonałego, ponieważ energia
wewnętrzna jest parametrem stanu, czyli jej przyrost nie zależy od rodzaju przemiany.
Przyrost entalpii właściwej
i1 2  c p (T2  T1 )
[J/kg]
(2.12)
Zależność (2.12) jest słuszna dla dowolnej przemiany gazu doskonałego, ponieważ entalpia
jest parametrem stanu, czyli jej przyrost nie zależy od rodzaju przemiany.
Pierwsza postać pierwszej zasada termodynamiki (I ZT)
q12  u12  l12
(2.13)
Druga postać pierwszej zasada termodynamiki
q12  i12  lt12  i12
(2.14)
Przyrost entropii właściwej można obliczyć z zależności
s1 2  cv ln
T2
v
 R ln 2
T1
v1
[J/(kg·K)]
(2.15)
T2
p
 R ln 2
T1
p1
[J/(kg·K)]
(2.16)
lub
s1 2  c p ln
Zależności (2.15) i (2.16) są słuszne dla dowolnej przemiany gazu doskonałego, ponieważ
entropia jest parametrem stanu, czyli jej przyrost nie zależy od rodzaju przemiany. Dla przemiany izobarycznej równanie (2.16) upraszcza się do postaci
s1 2  c p ln
T2
T
p
 R ln  c p ln 2
T1
p
T1
(2.17)
Ponieważ równanie (2.17) wykorzystuje zależność p1  p2  p , jego stosowalność została
ograniczona do przemiany izobarycznej gazu doskonałego.
Dla całkowitej ilości substancji w układzie
L1 2 J   mkg l1 2 J / kg
 

 nkmol l1 2 J / kmol  Vu um 3  l1 2 J / um 3

(2.18)
Lt1 2  mlt1 2
(2.19)
Q12  mq12
(2.20)
U12  mu12
(2.21)
I12  mi12
(2.22)
S12  ms12
(2.23)
3
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
3. Izochora
pv z  idem
(3.1)
1
p z v  idem
(3.2)
Wykładnik politropy
z
(3.3)
Równanie przemiany
v  idem
(3.4)
Przemiana przedstawiona na rys. 4.2 oraz 4.3 jest sprężaniem izochorycznym, ponieważ podczas przemiany
wzrasta ciśnienie. Przemianę izochoryczną można zrealizować w zbiorniku o stałej objętości doprowadzając do
czynnika (sprężanie) lub wyprowadzając (rozprężanie) ciepło.
Termiczne równanie stanu dla stanu początkowego 1
p1v  RT1
(3.5)
Termiczne równanie stanu dla stanu końcowego 2
p2v  RT2
(3.6)
Po podzieleniu stronami równania (3.6) przez równanie (3.5) dostajemy
p2 T2

p1 T1
(3.7)
4
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
p1 p2

T1 T2
(3.8)
Z równania (3.8) wynika, że ciśnienie gazu podgrzewanego izochorycznie wzrasta proporcjonalnie do temperatury. Jeżeli temperatura gazu wzrośnie dwukrotnie, to również jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie.
Jednostkowa praca bezwzględna przemiany
v2
v
v1
v
l1 2   p(v)dv   p(v)dv 0
[J/kg]
(3.9)
Jednostkowa praca techniczna przemiany
p2
lt1 2    v( p)dp  v( p1  p2 )
[J/kg]
(3.10)
p1
Praca techniczna dana równaniem (3.10) nie ma sensu fizycznego dla pojedynczej przemiany. Pracę taką należałoby doprowadzić (w przypadku sprężania) do maszyny przepływowej, aby przetłoczyć czynnik ze zbiornika, w
którym panuje ciśnienie p1, do zbiornika, w którym panuje ciśnienie p2. W przypadku przemiany izochorycznej
wzrost ciśnienia wynika nie ze zmiany objętości, lecz ze zmiany temperatury (podgrzanie gazu od temperatury
T1 do temperatury T2).
Jednostkowe ciepło przemiany
q1 2  cv (T2  T1 )
[J/kg]
(3.11)
Przyrost właściwej energii wewnętrznej
u12  cv (T2  T1 )
[J/kg]
(3.12)
Przyrost entalpii właściwej
i1 2  c p (T2  T1 )
[J/kg]
(3.13)
Pierwsza zasada termodynamiki (I ZT)
q12  u12  l12  u12
(3.14)
q1 2  i1 2  lt1 2
(3.15)
Przyrost entropii właściwej
s12  cv ln
T2
v
T
v
T
 R ln 2  cv ln 2  R ln  cv ln 2
T1
v1
T1
v
T1
s1 2  c p ln
T2
p
 R ln 2
T1
p1
[J/(kg·K)]
[J/(kg·K)]
(3.16)
(3.17)
4. Izoterma
pv z  idem
(4.1)
Niech wykładnik politropy będzie równy
z 1
(4.2)
5
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
Wówczas równanie przemiany politropowej (4.1) ma postać
pv  idem
(4.3)
Termiczne równanie stanu dla początku 1 i końca 2 rozważanej przemiany
p1v1  RT1
(4.4)
p2v2  RT2
(4.5)
Z równania (4.3) wynika, że lewe strony równań (4.4) i (4.5) są sobie równe
p1v1  p2 v2
(4.6)
stąd również prawe strony tych równań są sobie równe
T1  T2  T
(4.7)
czyli przemiana politropowa z wykładnikiem politropy jest równy jedności jest przemianą,
podczas której nie zmienia się temperatura gazu. Przemiana taka nazywana jest izotermą.
T  idem
(4.8)
Jednostkowa praca bezwzględna przemiany
l1 2 
v2
 p(v)dv
(4.9)
v1
Z równania (4.6) wyznaczamy funkcję p(v)
6
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
p (v ) 
p1v1
v
(4.10)
Prawą stronę równania (4.10) podstawiamy do równania (4.9) i całkujemy
l1 2 
v2
p1v1
v
v
dv  p1v1 ln 2  RT ln 2
v
v1
v1

v1
(4.11)
Jednostkowa praca techniczna przemiany
p2
lt1 2    v( p)dp
(4.12)
p1
Z (4.6)
v( p) 
p1v1
p
(4.13)
(4.13) do (4.12)
p2
lt1 2   
p1
p1v1
p
dp  p1v1 ln 1
p
p2
(4.14)
Z (4.6)
p1 v2

p2 v1
(4.15)
(4.15) do (4.14)
lt 1 2  p1v1 ln
v2
v1
(4.16)
Z porównania (4.16) z (4.11) wynika, że
lt1 2  l1 2
(4.17)
Ciepło właściwe przemiany izotermicznej
cT 
q1 2
q
 1 2  
T2  T1 T  T
(4.18)
Przyrost właściwej energii wewnętrznej
u1 2  cv (T2  T1 )  cv (T  T )  0
(4.19)
Przyrost entalpii właściwej
i1 2  c p (T2  T1 )  c p (T  T )  0
(4.20)
Pierwsza zasada termodynamiki (I ZT)
q12  u12  l12  l12
(4.21)
q1 2  i1 2  lt1 2  lt12
(4.22)
Przyrost entropii właściwej
7
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
s1 2  cv ln
T2
v
T
v
v
 R ln 2  cv ln  R ln 2  R ln 2
T1
v1
T
v1
v1
(4.23)
s1 2  c p ln
T2
p
T
p
p
 R ln 2  c p ln  R ln 2  R ln 1
T1
p1
T
p1
p2
(4.24)
5. Adiaterma odwracalna - izentropa
pv z  idem
(5.1)
Wykładnik politropy
z
cp
cv

(5.2)
Równanie przemiany
pv  idem
(5.3)
Z (5.3) dla dwóch dowolnych stanów
p 2  v1 
 
p1  v 2 

(5.4)
Termiczne równanie stanu
p1v1  RT1
(5.5)
p2 v2  RT2
(5.6)
(5.6)/(5.5)
p 2 v 2 T2
 
p1 v1 T1
(5.7)
(5.4) do (5.7)
 v1 
 
 v2 
 1
T2
T1

(5.8)
1
v1  T2   1
 
v2  T1 
(5.9)
(5.9) do (5.7)
p2
p1
T 
  2 
 T1 
(5.10) //
 p2 
 
 p1 

1
 1

T2
T1
(5.10)
 1

 1


T2
T1
(5.11)
8
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
Jednostkowa praca bezwzględna przemiany
l1 2 
v2
 p(v)dv
(5.12)
v1
Z (5.4)
p(v ) 
p1v1
v
(5.13)
Prawą stronę równania (5.13) podstawiamy do prawej strony równania (5.12) za funkcję p(v)
l1 2 
v2

v1
 1
p1v1
p1v1   v1  
dv 
1    
v
  1   v2  


(5.14)
Jednostkowa praca techniczna przemiany
p2
lt1 2    v ( p )dp
(5.15)
p1
Z (5.4)
1
v( p) 

p1 v1
(5.16)
1
p
(5.16) do (5.15)
1
p2
lt1 2   
p1
p1 v1
1
p

p 
p v
dp  1 1 1   2 
  1   p1 

 1

 1



  p1v1 1   v1  
   1   v2  



(5.17)
Porównanie (5.14) z (5.17) prowadzi do zależności
lt1 2   l1 2
(5.18)
Dla gazów doskonałych jest
c p  c v  R
 c
 p 
 c
 v
(5.19)
Po rozwiązaniu układu (5.19) ze względu na cp i cv otrzymujemy
cv 
R
 1
(5.20)
cp 
R
 1
(5.21)
Przyrost entropii właściwej
s1 2  cv ln
T2
v
 R ln 2
T1
v1
(5.22)
9
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
(5.8) do (5.22)
s1 2
v 
 cv ln  1 
 v2 
 1
 R ln
v2
v
v
 cv   1ln 2  R ln 2
v1
v1
v1
(5.23)
Po uwzględnieniu (5.20) dostajemy
s1 2   R ln
v2
v
 R ln 2  0
v1
v1
(5.24)
czyli
s2  s1  s  idem
(5.25)
Ciepło przemiany izentropowej
s2
s
s1
s
q1 2   T ( s )ds   T ( s )ds 0
(5.26)
Ciepło właściwe przemiany izentropowej
cs 
q1 2
0

0
T2  T1 T2  T1
(5.27)
Przyrost właściwej energii wewnętrznej
u1 2  cv (T2  T1 )
(5.28)
Przyrost entalpii właściwej
i1 2  c p (T2  T1 )
(5.29)
Pierwsza zasada termodynamiki (I ZT)
10
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
q12  u12  l12
(5.30)
q1 2  i12  lt1 2
(5.31)
Po uwzględnieniu (5.26)
l12  u12  u1  u2
(5.32)
Z (5.32)
l1 2  cv (T1  T2 ) 
RT1  T2 
1  
  1  T1 
(5.33)
(5.11) do (5.33)
l1 2
 1
 1




RT1   p2    p1v1   p2   

1  

1  
  1   p1     1   p1  




(5.34)
6. Politropa - ogólnie
pv z  idem
(6.1)
Z (6.1) dla dwóch dowolnych stanów
p2  v1 
 
p1  v 2 
z
(6.2)
Termiczne równanie stanu
p1v1  RT1
(6.3)
p2 v2  RT2
(6.4)
(6.4)/(6.3)
p 2 v 2 T2
 
p1 v1 T1
(6.5)
(6.2) do (6.5)
 v1 
 
 v2 
z 1

T2
T1
(6.6)
1
v1  T2  z 1
 
v 2  T1 
(6.7)
(6.7) do (6.5)
p2
p1
T 
  2 
 T1 
(6.8) //

1
z 1

T2
T1
(6.8)
z 1
z
11
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
 p2 
 
 p1 
z 1
z
T2
T1

(6.9)
Jednostkowa praca bezwzględna przemiany
l1 2 
v2
 p(v)dv
(6.10)
v1
Z (6.2)
p1v1z
p( v )  z
v
(6.11)
(6.11) do (6.10)
l1 2 
v2

v1
z 1
p1v1z
p1v1   v1  
dv 
1    
vz
z  1   v2  


(6.12)
(6.6) i (6.3) do (6.12)
l1 2 
RT1  T2 
R
T1  T2 
1  

z  1  T1  z  1
(6.13)
Jednostkowa praca techniczna przemiany
p2
lt1 2    v ( p )dp
(6.14)
p1
Z (6.2)
1
v( p) 
p1z v1
p
(6.15)
1
z
(6.15) do (6.14)
1
p2
lt1 2   
p1z v1
p1
p
1
z
z 1


zp1v1   p2  z 
dp 
1  
z  1   p1  


(6.16)
Porównanie (6.12) z (6.16) przy uwzględnieniu (6.2) daje
lt1 2  zl1 2
(6.17)
Przyrost właściwej energii wewnętrznej
u1 2  cv (T2  T1 )
(6.18)
Przyrost entalpii właściwej
i1 2  c p (T2  T1 )
(6.19)
Ciepło przemiany
12
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
q12  cT2  T1 
(6.20)
gdzie c jest ciepłem właściwym przemiany politropowej.
Pierwsza zasada termodynamiki (I ZT)
q12  u12  l12
(6.21)
q1 2  i1 2  lt1 2
(6.22)
(6.20) i prawa strona (6.13) do (6.21)
c(T2  T1 )  cv (T2  T1 ) 
R
(T1  T2 )
z 1
(6.23)
(6.23)/ T2  T1 
c  cv 
R
z 1
(6.24)
Wniosek: ciepło właściwe politropy jest wielkością stałą.
R  cv (  1) do (6.24)
c  cv
z 
z 1
(6.25)
7. Ciepło właściwe politropy gazu doskonałego
c  cv
z 
z 1
(7.1)
2. z  0 (p = idem, izobara)
c  cv
0 
 cv  c p
0 1
(7.2)
2. z   (v = idem, izochora)
c  cv
1

z c
v
1
1
z
(7.3)
3. z  1 (T = idem, izoterma)
c  cv
z 
 z
 1
 cv
 cv

z 1
1 z
11
(7.4)
4. z   (s = idem, izentropa)
13
29.09.2016 10:24:00
przemiany_gazu_dosk
c  cv
z 
 
 cv
0
z 1
 1
(7.5)
Na rys. 5.14 oraz 5.15 wykładnik politropy jest oznaczony jako m.
Na rys. 4.9 wykładnik politropy jest oznaczony jako n.
14
29.09.2016 10:24:00