dla gimnazjalistów

matematyka
dawniej ii gimnazjum
dziœ
szko³a podstawowa
Nowe zadania
dla gimnazjalistów
n AGNIESZKA WOJCIECHOWSKA
O
d roku 2012 maj¹ siê pojawiæ
nowe typy zadañ na egzaminie
gimnazjalnym. Prawdopodobnie
takie zadania bêd¹ zdarza³y siê równie¿
na maturze. A wiêc czas najwy¿szy zacz¹æ æwiczyæ ich rozwi¹zywanie.
Dobieranie
Po³¹cz nazwê wielok¹ta z sum¹ miar
jego k¹tów. W miejsce znaku ? wpisz brakuj¹c¹ nazwê odpowiedniego wielok¹ta.
Wielok¹t:
Suma miar k¹tów:
A) kwadrat
1) 180°
B) szeœciok¹t
2) 360°
C) trójk¹t
3) 720°
D) siedemnastok¹t
4) 540°
E) ?
5) 2700°
Po³¹cz nazwê wielok¹ta z liczb¹ jego
przek¹tnych. W miejsce znaku ? wpisz brakuj¹c¹ nazwê odpowiedniego wielok¹ta.
Wielok¹t:
Liczba przek¹tnych:
A) piêciok¹t
1) 54
B) trójk¹t
2) 14
C) siedmiok¹t
3) 9
D) dwunastok¹t
4) 5
E) ?
5) 0
Dzielnikiem w³aœciwym liczby naturalnej n nazywamy liczbê, przez któr¹
n dzieli siê bez reszty i która jest ró¿na
od n i od 1. Po³¹cz liczbê z liczb¹ jej
dzielników w³aœciwych. W miejscu znaku ? wpisz najmniejsz¹ odpowiedni¹
liczbê wiêksz¹ od 1.
Liczba:
Liczba dzielników
w³aœciwych:
A) 16
1) 0
B) 33
2) 1
C) 24
3) 2
D) 121
4) 3
E) ?
5) 6
Uzupe³nianie
W miejsce kropek wpisz odpowiedni¹ liczbê, by otrzymaæ zdanie prawdziwe.
A) 32% liczby 25 to . . . . . . .
B) Liczba . . . . . . . stanowi 24% liczby 125.
C) Liczba 45 stanowi . . . . . . .% liczby 72.
D) Liczba 12 stanowi 30% liczby . . . . . . .
E) Liczba
stanowi . . . . . . .% liczby 100.
W miejsce kropek wstaw brakuj¹cy znak < lub =, lub > tak, aby otrzymana równoœæ b¹dŸ nierównoœæ by³a prawdziwa.
Wiêcej o nowej formule gimnazjalnego egzaminu matematyczno-przyrodniczego mo¿na
przeczytaæ w tekœcie Tomasza Mas³owskiego, Egzamin gimnazjalny, „Matematyka” 3/2011.
30
matematyka
matematyka dawniej i dziœ
szko³a podstawowa i gimnazjum
A) 17% z 130 . . . . . . . 13% z 170
.......
B)
C) -5,7 . . . . . . . -7,5
D) 0,666666 . . . . . . .
E) 3,14 . . . . . . .
W miejsce znaku ? wpisz brakuj¹cy
wyk³adnik potêgi – bêd¹cy liczb¹ ca³kowit¹ – tak, aby otrzymaæ zdanie prawdziwe.
A) Najwiêksz¹ potêg¹ dwójki mniejsz¹ od
33 jest liczba 2?.
mniejsz¹
B) Najwiêksz¹ potêg¹ liczby
"
jest liczba »ª ±² od
½ Õ
C) Najmniejsz¹ potêg¹ dwójki wiêksz¹ od
1000 jest liczba 2?.
wiêksz¹
D) Najmniejsz¹ potêg¹ liczby
"
lub równ¹ 1 jest liczba »ª ±² .
½Õ
1
Mamy dany uk³ad równañ
Å [ + \ = ­
® [ + \ = W przypadku ka¿dego z zadañ I–V
a) uzupe³nij treœæ zadañ tak, aby pasowa³
do niej podany uk³ad równañ.
b) Odpowiedz na zadane pytania.
I. Maleñstwo i Prosiaczek maj¹ ³¹cznie
12 lat, a Mama Kangurzyca i Kubuœ Puchatek maj¹ razem . . . . . . . . . lata. Oblicz,
ile lat ma ka¿dy zwierzak je¿eli wiesz, ¿e
1
Eureka. Matematyka. Zbiór zadañ dla II klasy
gimnazjum, Wydawnictwo Szkolne PWN,
Warszawa 2009.
5/2011
Mama Kangurzyca jest cztery razy starsza od Maleñstwa, a Prosiaczek jest . . . . . .
razy m³odszy od . . . . . . . . . ?
II. Po podwórku chodz¹ sobie zwierzaki.
Ile wœród nich jest kur, a ile królików, je¿eli wiesz, ¿e na podwórku jest . . . . . . . . .
g³ów oraz . . . . . . . . . nogi?
III. Profesor Mokry (oceanograf) wzi¹³
pewn¹ liczbê kilogramów wody z Morza
. . . . . . . . . i pewn¹ z Morza Czerwonego,
³¹cznie . . . . . . . . . kilogramów, wymiesza³
i odparowa³. Pozosta³o mu 340 g soli. Ile
kilogramów wody z Morza Czarnego,
a ile z Czerwonego wzi¹³ naukowiec?
zbiornik wodny
zasolenie
Morze Czarne
ok. 20‰
Morze Ba³tyckie
ok. 10‰
Morze Czerwone
ok. 40‰
najbardziej zasolony zbiornik
wodny na ziemi: Morze Martwe
œrednio
260‰
IV. Obwód równoleg³oboku wynosi 24
dm. Obwód równoleg³oboku, w którym
jeden bok pozostawiono bez zmiany,
a drugi . . . . . . . . . wynosi . . . . . . . . . Podaj
d³ugoœci boków obu równoleg³oboków.
V. Suma licznika i mianownika szukanego u³amka wynosi 12. Gdy licznik u³amka powiêkszymy cztery razy, mianownik
zaœ dwa razy, to otrzymamy u³amek o 1
mniejszy ni¿ u³amek o takim samym mianowniku, jak szukany u³amek i liczniku
wynosz¹cym . . . . . . . . . Podaj wszystkie
wystêpuj¹ce w zadaniu u³amki.
Test wielokrotnego wyboru
Które z podanych wyra¿eñ nie przyjmuje wartoœci 0 dla ¿adnej wartoœci x:
C. [ - E.
.
A. x 2 + 2,
[
B. - [ D. |x| + 4,
31
matematyka
dawniej ii gimnazjum
dziœ
szko³a podstawowa
Dla ka¿dego n naturalnego parzysta
jest liczba:
C. 3n + n,
E. 3n + 5n + n.
A. 2n,
D. 3n + 5n,
B. 3n + 1;
2
Wska¿ zdania prawdziwe:
A. Ka¿dy równoleg³obok jest trapezem.
B. Ka¿dy trapez o prostopad³ych przek¹tnych jest kwadratem.
C. Ka¿dy czworok¹t, który ma dwie pary
boków jednakowej d³ugoœci, jest równoleg³obokiem.
D. Ka¿dy prostok¹t jest trapezem.
E. Ramiê trójk¹ta równoramiennego jest
zawsze d³u¿sze od podstawy.
Trójk¹t ABC ma dwa boki o d³ugoœci 3 i 5.
A. Trzeci bok mo¿e mieæ d³ugoœæ 1.
PRAWDA
FA£SZ
B. Trójk¹t ABC mo¿e byæ ostrok¹tny.
PRAWDA
FA£SZ
D. Dwie liczby, których iloczyn jest parzysty.
PRAWDA
PRAWDA
FA£SZ
D. Trójk¹t ABC mo¿e byæ rozwartok¹tny.
PRAWDA
FA£SZ
E. Trójk¹t ABC mo¿e byæ równoramienny.
PRAWDA
FA£SZ
Dane s¹ cztery ró¿ne liczby ca³kowite dodatnie. Wœród nich zawsze s¹:
A. Dwie liczby, których suma jest parzysta.
PRAWDA
FA£SZ
B. Dwie liczby, których suma jest nieparzysta.
PRAWDA
FA£SZ
C. Dwie liczby, których ró¿nica jest parzysta.
PRAWDA
2
32
FA£SZ
Na podstawie Matematyka 1, Matematyka z
plusem, GWO, Gdañsk 2009.
FA£SZ
3
Trójk¹t ABC ma pole równe 12 cm2,
|AB| = 5 cm, |BC| = 6 cm.
A. Jedna z wysokoœci trójk¹ta ABC mo¿e
mieæ d³ugoœæ 2 cm.
PRAWDA
FA£SZ
B. Jedna z wysokoœci trójk¹ta ABC mo¿e
mieæ d³ugoœæ 4,8 cm.
PRAWDA
FA£SZ
C. Trójk¹t ABC mo¿e byæ równoramienny.
PRAWDA
FA£SZ
D. Obwód trójk¹ta wynosi 16 cm.
PRAWDA
FA£SZ
E. Trójk¹t ABC mo¿e byæ prostok¹tny.
PRAWDA
C. Trójk¹t ABC mo¿e byæ prostok¹tny.
PRAWDA
FA£SZ
E. Dwie liczby, których suma jest podzielna przez 3?
FA£SZ
Dowodzenie
Wykazaæ, ¿e maj¹c monety dwutalarowe i piêciotalarowe, mo¿na wyp³aciæ
A) 4 talary;
B) 19 talarów;
C) ka¿d¹ liczbê talarów, wiêksz¹ od 3.
Pan Podró¿ny wyliczy³, ¿e po wybudowaniu autostrady z A do B czas przejazdu t¹ tras¹ skróci siê o 120%. Uzasadnij, ¿e nie mia³ racji.
Uzasadnij, ¿e iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli siê zawsze
przez 6.
3
Na podstawie Matematyka 1, Matematyka z
plusem, GWO, Gdañsk 2009.
matematyka
matematyka dawniej i dziœ
szko³a podstawowa i gimnazjum
Uzasadnij, ¿e wœród czterech ró¿nych, dodatnich liczb ca³kowitych zawsze
istniej¹ dwie liczby, których ró¿nica jest
podzielna przez 3.
Odpowiedzi
1. A2, B3, C1, D5, E4 (piêciok¹t)
2. A4, B5, C2, D1, E3 (szeœciok¹t)
3. A4, B3, C5, D2, E1 (2)
4. A) 8; B) 30; C) 62,5; D) 40; E) 0,625
5. A) =; B) >; C) >; D) <; E) <
6. A) 5, B) 5, C) 10, D) 0
7. I 34, dwa, Puchatka; odpowiedŸ: Maleñstwo: 5, Puchatek 14, Prosiaczek 7,
Mama Kangurzyca: 20.
II 12, 34; odpowiedŸ: 5 królików i 7 kur.
III Czarnego, 12; odpowiedŸ: z M. Czarnego 7 kg, z M. Czerwonego 5 kg.
IV Zwiêkszono dwukrotnie, 34 dm; odpowiedŸ: 5 i 7, 10 i 7.
V 17; odpowiedŸ: 8. A, D, E
9. B, D
10. A, D
11. Prawda: B, C, D, E
12. Prawda: A, C
13. Prawda: B, C, D
14. A) 4 = 2 + 2
B) 19 = 5 + 5 + 5 + 2 + 2
C) Ka¿d¹ parzyst¹ liczbê talarów otrzymujemy wyp³acaj¹c wielokrotnie dwuta-
5/2011
larówki. Nieparzyst¹ liczbê talarów
wiêksz¹ ni¿ 3 wyp³acamy u¿ywaj¹c jednej
piêciotalarówki, a pozosta³¹ parzyst¹ liczbê talarów wyp³acaj¹c dwutalarówkami.
15. 100% to ca³oœæ, zatem zmniejszaj¹c jak¹kolwiek wielkoœæ o 100% otrzymujemy
zero (czyli nic). Wobec tego ¿adnej wielkoœci nie mo¿emy zmniejszyæ o wiêcej ni¿
100% (nie mo¿na otrzymaæ mniej ni¿ nic).
16. Wœród dwóch kolejnych liczb ca³kowitych jedna musi byæ parzysta (bo co druga liczba jest parzysta). Wœród trzech kolejnych liczb ca³kowitych jedna musi byæ
podzielna przez 3 (bo co trzecia liczba jest
podzielna przez 3). Wobec tego iloczyn
trzech kolejnych liczb ca³kowitych jest podzielny przez 2 (bo jeden z jego sk³adników jest parzysty) i jest podzielny przez 3
(bo jeden z jego sk³adników jest podzielny
przez 3), zatem jest podzielny przez 6.
17. Ka¿da z czterech liczb daje jedn¹ z
trzech mo¿liwych reszt z dzielenia przez
3, czyli 0, 1 lub 2. Poniewa¿ liczb jest
wiêcej ni¿ reszt, wiêc dwie spoœród czterech liczb musz¹ dawaæ tê sam¹ resztê
z dzielenia przez 3. Wtedy ró¿nica tych
dwóch liczb daje resztê 0 z dzielenia przez
q
3, czyli jest podzielna przez 3.
AGNIESZKA WOJCIECHOWSKA
redaktor naczelny „Matematyki”
33