Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier II termin
Transkrypt
Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier II termin
Egzamin z Algorytmicznych Aspektów Teorii Gier II termin [email protected], x 10 . Osoby, które uzyskaj¡ ocen¦ co Rozwi¡zania prosz¦ przesyªa¢ e-mailem do 10 marca godz. 23:59 na adresy [email protected] w formacie .pdf. Skala ocen: x pt. ≈ 2+ najmniej 4 mog¡ poprawi¢ si¦ na egzaminie ustnym 12 marca, godz. 16. (10 punktów) Barman i klient graj¡ w nast¦puj¡c¡ gr¦. Zadanie 1. w dwóch kolorach: czerwonym lub niebieskim. Obaj maj¡ zwyczaj nosi¢ krawaty Je±li okazuje si¦, »e obaj zaªo»yli krawaty w tym samym kolorze, to klient otrzymuje za darmo jeden drink, je±li jest to kolor czerwony, a dwa drinki, gdy jest to kolor niebieski. Je±li jednak zaªo»yli krawaty w ró»nych kolorach, klient pªaci kwot¦ otrzymuj¡c). Zakªadamy, »e warto±¢ drinka jest 1. Ile powinno wynosi¢ Zadanie 2. 1 (gra w zapalanie ±wiateª ) Dana jest plansza rozmiaru znajduje si¦ »arówka. Na dole ka»dej z znajduje si¦ wajcha. n x (nic przy tym nie x, by gra byªa sprawiedliwa ? n na n. W ka»dym polu planszy kolumn znajduje si¦ wajcha. Na lewym kra«cu ka»dego wiersza Ka»da wajcha mo»e by¢ w pozycji 0 lub 1. Ka»da »arówka mo»e by¢ wª¡czona lub wyª¡czona. W grze w zapalanie ±wiateª gracz I wybiera stan pocz¡tkowy planszy, to znaczy decyduje, które »arówki s¡ wª¡czone, a które wyª¡czone. W stanie pocz¡tkowym wszystkie wajchy znajduj¡ si¦ w pozycji 0. Przestawienie wajchy w danej kolumnie/wierszu powoduje wyª¡czenie wszystkich wª¡czonych »arówek i wª¡czenie wszystkich wyª¡czonych »arówek. Zadaniem gracza II jest wybranie takiej sekwencji przeª¡cze«, »eby zmaksymalizowa¢ ró»nic¦ mi¦dzy liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek. 1. (5 punktów) Wyka», »e dla dostatecznie du»ych n istnieje strategia dla gracza I, która zapewnia, »e niezale»nie od strategii gracza II ró»nica mi¦dzy liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek jest nie wi¦ksza, ni» 1.66n3/2 . 2. (5 punktów) Podaj algorytm wielomianowy wzgl¦dem wielko±ci planszy, który dla danego ruchu gracza I wylicza optymalny ci¡g ruchów gracza II gwarantuj¡cy, »e dla dostatecznie du»ych liczb¡ wª¡czonych i wyª¡czonych »arówek wynosi co najmniej n ró»nica mi¦dzy 0.79n3/2 . Uwaga. B¦dziemy równie» przyjmowa¢ rozwi¡zania z gorszymi staªymi. Dana jest plansza Zadanie 3. G = (Vmax , Vmin , E, w) do gry meanpayo, V = Vmax ∪ Vmin . Poni»ej G przy pomocy metody potencjaªu (por. Cormen, Leiserson, przedstawiony jest algorytm, który dla danej gry Rivest, Wprowadzenie do Algorytmów, rozdziaª 18.3) oblicza zbiór wierzchoªków, dla których warto±¢ gry jest ±ci±le ujemna. funkcji d : V → R. Metoda potencjaªu polega na modyfkowaniu wag kraw¦dzi w grae Mianowicie, do wagi kraw¦dzi z wierzchoªka d(v). Attr(wd ) i odejmujemy warto±¢ potencjaªu d niech niezale»nie od zagra« gracza wag wd u v G przy pomocy d(u) wd . Przy danej funkcji gracz min ma pewno±¢, »e do wierzchoªka dodajemy warto±¢ Tak zmodykowan¡ funkcj¦ wag kraw¦dzi oznaczamy to zbiór tych wierzchoªków w grae gry, w których max, rozgrywka osi¡gnie kraw¦d¹ o warto±ci ±ci±le ujemnej wzgl¦dem funkcji nie przechodz¡c wcze±niej przez kraw¦d¹ o warto±ci ±ci±le dodatniej wzgl¦dem wd . v ∈ Vmax to ext(wd , v) = max(v,u)∈E wd (v, u), je±li v ∈ Vmin , to ext(wd , v) = min(v,u)∈E wd (v, u). ext(wd , v) to lokalnie najkorzystniejsza kraw¦d¹ z punktu widzenia gracza, do którego nale»y 0 wierzchoªek v . Dla danego zbioru wierzchoªków X , funkcji potencjaªu d oraz liczby δ przez d = d + δX rozumiemy funkcj¦ potencjaªu, która na elementach zbioru X jest powi¦kszona o warto±¢ δ . Mówimy, »e wagi wd0 s¡ monotoniczne wzgl¦dem wag wd , je±li Je±li Intuicyjnie • ∀v∈V |ext(wd0 , v)| ≤ |ext(wd , v)|, • ∀v∈V liczby ext(wd0 , v) i ext(wd , v) albo obydwie s¡ nieujemne, albo obydwie s¡ niedodatnie. Maj¡c zgromadzone powy»sze denicje, mo»emy przedstawi¢ algorytm: 1 Reguªy gry opracowane w laboratoriach rmy Bell. 1 function mpattr (G) δ0 = 0 d = 0 repeat X := Attr(wd ) δ0 := sup{δ : wagi wd0 s¡ monotoniczne wzgl¦dem wd , gdzie d0 := d + δX} i f δ0 < ∞ d := d + δ0 X until δ0 = ∞ return X ] zbiór wierzchoªków, dla których warto±¢ gry jest ±ci±le ujemna. Wyka», »e: 1. (2 punkty) Krok znajduj¡cy supremum mo»e by¢ efektywnie zrealizowany. 2. (5 punktów) Konstruuj¡c odpowiedni niezmiennik wyka», »e algorytm jest zgodny ze specykacj¡ podan¡ na pocz¡tku zadania. 3. (3 punkty) Oszacuj czas dziaªania i porównaj z algorytmem Zwicka i Patersona podanym na wykªadzie. Zadania zaczerpni¦te s¡ z literatuty przedmiotu. 2